优秀教案 函数单调性教案

第一篇：优秀教案 函数单调性教案

1.3.1 函数的单调性

教学目标：

1、理解函数单调性的定义，会判断和证明简单函数的单调性。

2、培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力，体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。教学重点：

形成增、减函数的形式化定义。教学难点：

形成增、减函数概念的过程中如何从图像的直观认识过渡函数增、减的数学符号；用定义证明函数的单调性。

一、复习旧知识

区间的有关知识及其表示方法。

二、讲授新课

1、观察下面各个函数的图像，并说出函数图像的特点。

yyy

1-1 x-1O1x OxO

22、研究一次函数f(x)2x1和二次函数f(x)x的单调性。

y2 f(x)xyY=2x+

1o xOx

不同的函数，图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间的变化趋势也不同，通过描述这两个函数图像的性质，引出本节课题——函数的单调性。

3、深入研究二次函数f(x)x的图像，从特殊到一般引出增、减函数的定义。

2yf(x)x2Ox

(,0]上f(x)随x的增大而减小，[0,)上f(x)随x的增大而增大

增函数：x1,x2D,当x1x2时，有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在D上是增函数。减函数：x1,x2D,当x1x2时，有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在D上是减函数。

区间D叫做yf(x)的单调区间。

三、例题演练

例1 下图是定义在-6,9上的函数yf(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数。

例2 证明函数f(x)2x1在R上的单调性。

四、随堂练习

证明：

（1）函数f(x)3x2在R上是单调减函数。（2）函数f(x)x1在(0,)上是增函数。

五、课堂小结

1、增、减函数的的形式化定义是什么？

2、如何用定义证明函数的单调性？

六、作业布置

A：证明：函数f(x)121在(,0)上的单调性。xB：探究一次函数的ymxb(xR)的单调性，并证明你的结论。

第二篇：函数单调性教案(简单)

函数单调性

一、教学目标

1、建立增（减）函数及单调性、单调区间的概念

2、掌握如何从函数图象上看出单调区间及单调性

3、掌握如何利用定义证明一段区间上的函数单调性

二、教学重难点

1、了解增（减）函数定义

2、用定义法证明一段区间上的函数单调性

三、教材、学情分析

单调性是处于教材《数学•必修一》B版第二章第一节，初中对单调性有着初步感性认识，到这节课我们给单调性严格的定义。单调性是对函数概念的延续和扩展，也是我们后续研究函数的基础，可以说，起到了承上启下的作用。

四、教学方法

数形结合法、讲解法

五、教具、参考书

三角尺、PPT、数学必修

一、教师教学用书

六、教学过程

（一）知识导入

引入广宁县一天气温变化折线图

询问学生今天的温度是如何变化的？

学生答：气温先上升，到了14时开始不断下降。

由此导入函数图像的上升下降变化，给出f（x）=x和f（x）=x²的图像，询问学生，这两个函数图象是如何变化的？

学生答：前一个不断上升，后一个在y轴左边下降，在y轴右边上升。再询问学生并提醒学生回答：从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同，函数图像的变化规律就是函数性质的反映。

教师：那么这就是我们要研究的单调性。

（二）给出定义。

教师：首先我们来看一下一元二次函数y=x²的图象的对应值表，当x从0到5上变化时，y是如何变化的。生：随着x的增大而增大

教师：那么我们在这段上升区间中任取两个x1，x2，x1

教师顺势引导出增函数的概念，再由增函数类比画图演示，引导出减函数的概念。强调增（减）函数概念，尤其是在区间内任取x1，x2这句话的理解。由增（减）函数可以引出单调区间的定义，不作很详细讲解。给出例题让学生思考作答，进一步巩固知识点。

（三）证明方法

让学生们思考例二（思想为用定义法证明一段区间的单调性）并尝试解答，一段时间后教师给学生讲解。

讲解完例题后，引导学生归纳用定义法正明一段区间的单调性的方法：

1、设元。

2、做差。

3、变形。

4、断号。

5、定论。

（四）巩固深化

思考：函数y=1/x 的定义域I是什么？在定义域I上的单调性是怎样的？

通过这道问题的讲解说明，让学生们意识到单调性是离不开区间的且单调区间不能求并。

（五）课堂小结

再次对

1、增（减）函数定义。

2、增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间。

3、怎样用定义证明函数的单调性？三个问题进行阐述，牢固学生记忆和理解。

（六）布置作业。

第三篇：函数的单调性教案

函数的单调性

教学目标

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化？

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；

（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当图3）；

⑵若当图4）。<时，都有f（）>f（）,则f(x)在这个区间上是减函数（如<时，都有f（）

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1 f(x2)y随x增大而减小。

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。

（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

判断2：定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)> f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数。（×）

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

具有任意性，例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出函数。的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说

是增函数还减

注意：

（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f(x)=3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的 由

于是

即

所以。

在R上是增函数。，得，且，则

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差

0，则为减函数）

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例

3、证明函数

证明：设，且

在(0,+)上是减函数.，则

由

又由

于是

即。，得，得即

（*）。

所以，函数

问题1 ：

在区间

在上是单调减函数。

上是什么函数？(减函数)在定义域

上是减函数？（学生讨论

问题2 ：能否说函数得出）

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第1、3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

课本60页习题2.3 ：第4、5、6题。

第四篇：函数的单调性(教案)

函数的单调性（教案）

一、教学目标

1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

二、重点、难点分析

1、重点：函数单调性的概念、判断及证明。

2、难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

三、教学过程

1、学生动手作图，引入课题：结合函数图像画法的相关知识，让学生实际动手操作，分别画出函数f(x)x,f(x)x,f(x)x2,f(x)x2的图像。如下：

图1 图2

图3 图4

2、借助图像，直观感知：引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。并让学生回答以下两个问题：

（1）以上4个函数图像中，随自变量x的变化，函数值f(x)发生了怎样的变化？

① 图1中，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小； ② 图2中，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大；

③ 图3中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。

④ 图4中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。

（2）如何用数学语言描述上述函数中，函数值f(x)随自变量x的变化情况？

① 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

② 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

③ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

④ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

3、归纳探索，形成概念：引导学生归纳总结出增函数和减函数的定义：

（1）增函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

（2）减函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

4、例题讲解，巩固定义；归纳总结，寻求一般证明步骤：讲解例题，引导学生归纳证明函数单调性的步骤（设元、求差、变形、断号，定论）。

k例题1：证明波意耳定律P,(k为正常数)为减函数。

Vk 证明：按题意，只要证明函数P在区间(0,)上是减函数即可。

V V1,V2(0,)，当V1V2时，有：

设元

P(V1)P(V2)kk

求差 V1V2V2V

1变形 VV1 k

又V1,V2(0,)，V1V2

VV120,V1V20，同时，k0，断号

P(V1)P(V2)0

即，P(V1)P(V2).所以，函数Pk在区间(0,)上是减函数。定论 V3

5、通过例题，强调关键点：提出课文中容易误解和忽略指出，予以提醒。

1（1）例题2：“已知f(x)，因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数。”

x这种说法对吗？

解析：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

2（2）例题3：能否直接观察函数f(x)x,(x0)的图像（如下），说出这

x个函数分别在哪个区间为增函数和减函数？

图5

解析：学生难以确定分界点的确切位置。从而，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。

（3）例题4：如何从解析式的角度说明f(x)x2在[0,)为增函数？

222法一： 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12,所以f(x)x[0,)为增函数。

法二：仿法一，取很多组验证均满足，所以f(x)x2在[0,)为增函数。法三：任取x1,x2[0,)且x1x2，因为x12x22(x1x2)(x1x2)0,即x12x22，所以f(x)x2在[0,)为增函数。

解析：自变量不可能被穷举，证明函数的单调性时，要在给定的区间内任意取两个自变量。

（4）例题5：“若函数f(x)满足f(2)f(3)，则函数在区间[2,3]上为增函数。”这种说法对吗？

解析：对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。

（5）例题6：“若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数。”与“因为函数f(x)减函数，所以f(x)1在区间(,0]和(0,)上都是x1在(,0]和(0,)上是减函数”这两种种说法对吗？ x解析：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在Ab上是增（或减）函数。

四、作业布置

教材p39 A组：第2题、第5题、第6题； B组：第1题、第3题。

第五篇：函数的单调性教案

数学必修一

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、教学目标

1)通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2)理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3)能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4)通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、教学过程

(一)引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？

(二)作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数

 图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为下降）称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x222、x2，则

f(x1)x12，f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

（三）定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为I

a)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，那么说函数f(x)在区间D上为增函数

xxx1x2b)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，那么说函数f(x)在区间D上为减函数

（四）单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D为yf(x)的单调区间

（五）举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a)书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b)对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c)函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的

例

2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数 证明：

设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a)设值，设任意的1、b)作差变形，xx2，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等 的正负 c)判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d)下结论，由定义得出函数的单调性

（六）课堂练习证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2(对分子有理化详细讲解）又0x1

给学生时间做Ｐ32　　练习4

解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+１)-(-2x2+１)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0　f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x1在R上为单调减函数

（七）课堂小结

a)增函数、减函数的定义 b)图像法判断函数的单调性

（由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数）c)证明单调函数的步骤

（设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..）

（八）作业

P39　习题1、3　　A　组

1、题2

判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？