导数应用复习

第一篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x32、已知f(x)xsinxx

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

第二篇：导数的应用一复习

本节主要问题：

1、利用导数判断函数单调性的法则：

如果在(a,b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间内是增函数，(a,b)为f(x)的单调增区间； 如果在(a,b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间内是减函数，(a,b)为f(x)的单调减区间；

2、如何利用导数判断函数单调性（求单调区间）：

①先求定义域；②求导—分解因式 ；③解不等式；④下结论（注意单调区间的写法，不能写集合，也不能用并集）。

3、如何利用导数证明不等式f(x)g(x)？

构造函数(x)f(x)g(x)，利用(x)的单调性证明(x)0即可。

4、已知函数的单调性求参数范围

找出函数yx34x2x1的单调区间。

例

3、当x1时，证明不等式xln(x1)。

例

4、若函数f(x)axxx5在(,)上单调递增，求a的取值范围。

第三篇：浅谈导数的几点应用

浅谈导数的几点应用

导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

一、利用导数求曲线的切线方程

例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。

解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上

∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）

所求切线方程为9x-y+16=0。

二、讨论方程的根的情况

例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。

解：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=3x2-2ax。

当a>3，x∈［0，2］时f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。

三、求参数的范围

例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。

解:由题意有f'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。

四、利用导数求解函数的单调性问题

例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。

解：函数f（x）的导数f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。

（2）当m-1>1即m>2时，函数f'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。

五、利用导数求解函数的极值

例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f'（x）>0

当x∈（-1，1）时，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。

六、利用导数研究函数的图象

例6.若函数y=f（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则y=f（x）在［a，b］图象可能是：（C）

解析：依题意f'（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则f（x）的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，观察四哥选项中的图象，只有C满足要求，故选C。

七、利用导数证明不等式

例7.对于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

设f（x）=x-ln（x+1），（x>0），则有f'（x）=

证明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0处连续，f（x）在［0，+∞］上单调递增，∴x>0时，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用导数求数列的前n项和

例8.求数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和。

解：设数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和为Sn，则

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即为数列nxn-1（x≠0，1）的前n项和。

九、利用导数解决实际应用问题

例9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：（1）（fx）=p•qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）。

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式。

（注：函数的定义域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此类推）

（作者单位 四川省达县石桥中学）

第四篇：导数应用一例

导数应用一例

石志群

13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。„„„„„„„„„„„„„„„„（1）33

这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a

11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？

一是函数思想在处理不等式问题中的作用不可忽视，本题就是以函数观点为突破口展开思维过程的。二是从简单情形开始，不断探索有效信息，并充分发挥所得到的信息的作用。本题中先从区间端点入手，对a的取值范围作初步控制，而这个控制为后续思维的展开提供了依据：它确定了极值点的位置，为对a作进一步的限制提供了可能。三是要学会运用等与不等的辩证关系从不等中构造相等关系。本题给出的全是不等式，不等之中怎么能找到确定a的值的等式呢？聪明的你一定会想到，肯定是由区间端点与极值点这些可能取得最值的点之间的制约关系，构造出需要的几个不等式，并用这样的不等式“夹”出a的值。

第五篇：2018年考研数学导数的复习重点及应用

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【导数定义和求导要注意的】

第一，理解并牢记导数定义。导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：

1)在某点的领域范围内。

2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。

4)掌握导数定义的不同书写形式。

第二，导数定义相关计算。这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

第三，导数、可微与连续的关系。函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。这也常常应用在做题中。

第四，导数的计算。导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。2)求导法则。求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。3)常见考试类型的求导。通常在考研中出现四种类型：幂指函数、隐函数、参数方程和抽象函数。这四种类型的求导方法要熟悉，并且可以解决他们之间的综合题，有时候也会与变现积分求导结合，94年，96年，08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目。

第五，高阶导数计算。高阶导数的计算在历年考试出现过，比如03年，07年，10年，都以填空题考查的，00年是一道解答题。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶导数，二阶，三阶的方法来找出他们之间关系的。这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的，00年出的题目就是考察的这两个知识点。

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【导数的应用】

导数的应用主要有以下几种：(1)切线和法线;(2)单调性;(3)极值;(4)凹凸性;(5)拐点;(6)渐近线;(7)(曲率)(只有数一和数二的考);(8)经济应用(只有数三的考)。我们一一说明每个应用在考研中有哪些注意的。

▶切线和法线

主要是依据导数的几何意义，得出曲线在一点处的切线方程和法线方程。

▶单调性

在考研中单调性主要以四种题型考查，第一：求已知函数的单调区间;第二：证明某函数在给定区间单调;第三：不等式证明;第四：方程根的讨论。这些题型都离不开导数的计算，只要按照步骤计算即可。做题过程中要仔细分析每种的处理方法，多加练习。

▶极值

需要掌握极值的定义、必要条件和充分条件即可。

▶凹凸性和拐点

考查的内容也是其定义、必要条件、充分条件和判别法。对于这块内容所涉及到的定义定理比较多，使很多同学弄糊涂了，所以希望同学们可以列表对比学习记忆。

▶渐近线

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

考研中会考察给一曲线计算渐近线条数，计算顺序为垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

▶条数计算

垂直渐近线就直接算就可以了，有几条算几条，而水平渐近线和斜渐近线要分别x趋于正无穷计算一次，和x趋于负无穷计算一次，当趋于正无穷和负无穷的水平渐近线或者斜渐近线相同则计为一条渐近线，若是不同，则计为两条渐近线。另外，在趋于正无穷或者负无穷时，有水平渐近线就不会有斜渐近线。

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▶曲率

这块属于导数的物理应用，这块是数一数二的同学考的，需要掌握曲率、曲率半径、曲率圆。理解并记清楚公式。

▶导数的经济应用

导数的经济学应用是数三特考的，这个主要是考察弹性，边际利润，边际收益等。记住公式会计算即可。

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