导数在高中数学中的应用

第一篇：导数在高中数学中的应用

导数在高中数学中的应用

导数是解决高中数学问题的重要工具之一，很多数学问题如果利用导数的方法来解决，不仅能迅速找到解题的切入点，甚至解决一些原来只是解决不了的问题。而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，化难为易，事半功倍的效果.如在求曲线的切线方程、方程的根、函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，所以它始终贯穿着函数思想。随着课改的不断深入，新课程增加了导数的内容，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经在高考中占有很重要的地位，导数已经成为解决问题的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究导函数其图像性质，来研究原函数的性质。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

导数在高中数学中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，尤其函数的单调性和函数的极值及最值，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求切线方程

方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。

第二篇：导数在高中数学教学中的应用

导数在高中数学教学中的应用

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数证明不等式

证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证

(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna

在0-lna时,t′(x)>0

t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数

则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数

则p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一个常数x0=-lna(0

导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。

第三篇：导数在不等式中的应用

指导教师：杨晓静

摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。

关键字：导数的应用不等式证明方法

引言

不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。

拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f()'f(b)f(a)

ba 应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)f(a)M(ba)或 证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。

（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)f(a)f()(ba)，(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)M，xa,b，则由上述等式得到不等式

f(b)f(a)M(ba)，或由的不确定性，计算出若f'(x)的取值范围m,M,xa,b,则进而有不等式m(ba)

例：证明nbn1f(b)f(a)M(ba)(ab)ab

nnnnan1(ab)证明：构造函数f(x)x，则显然f在区间b,a上满足拉格朗日中值定理，且

f(x)nx

nn'n1，n1有abn(ab)，又

第四篇：高中数学教学论文 导数及其应用教学反思

湖北省宜昌市第十八中学高中数学教学论文 导数及其应用教学反思

1.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入

导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。

这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，自然水到渠成。

新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。

2.反思“变化率问题”课堂教学的课堂语言 “令”。这里的“令”，应该说成“习惯上用

表示，即

”。

关于气球膨胀率问题，应该补充说明：“我们把气球近似地看成球体”.这一点，两位教师都没有说明。

应该补充例题：“已知两点求经过两点的直线的斜率，在函数的图像上，”。因为它是联系平均变化率和导数概念的枢纽，同时，还有利于学生在亲身体验数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化中理解平均变化率的概念、切线斜率的概念和导数的概念等。

3.反思“变化率问题”课堂教学中对计算问题的处理

在课堂教学中，对计算问题的处理，要注意避免两种极端：过分强调学生的计算；以计算机代替学生的计算。

既要培养学生的运算能力，又要提高单位时间的教学效率，可选择两个地方让学生计算。其一，计算0～1秒或1～2秒的平均速度问题。因为计算时花费的时间不多，同时，既能促进学生对平均速度的理解，又能为理解瞬时速度做好充分的准备。其二，计算0~65平49均速度问题。因为学生通过这一问题的计算，既能发现问题：“用平均速度表示这段时间内运动员的运动情况存在问题”，又能促进学生思考问题：“用什么东西才能更好地描述运动员在这个时间段的运动状态？”自然学生会想到物理中学过的瞬时速度。这样的处理省时，能够提高单位时间的效率，同时，不影响主体知识（平均速度、平均变化率、导数的概念）的学习。

第五篇：导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用

引言

不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。

一、利用导数的定义证明不等式

定义 设函数ffx在点x0的某领域内有定义,若极限

fxfx0 存在 limxx0xx0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0 令 xx0x，yfx0xfx0，则上式可改写为

fx0xfx0ylimf'x0

x0xx0xlim所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比

y的极限。这个增量比称为函x数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数f'x0则为f在x0处关于x的变化率。

以下是导数的定义的两种等价形式：

1（1）f'x0limxx0fxfx0

xx0fxxfx0

x（2）f'x0limx0例1: 设fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，并且fxsinx，证明：r12r2nrn1

证明 fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，可得出f00，因为 f'xr1cosx2r2cos2xnrncosnx, 则 f'0r12r2nrn 又由导数的定义可知

limx0fxf0fxfx limlimx0x0x0xxsinx1 xf'0limx0所以 f'01，即可得 r12r2nrn1.1221ylny，求证: y1,y2y2lny.232211分析 令hyy2y2lny，y(1,)，因为h10, 326例

2、已知函数fy要证当x1时，hx0,即hxh10,只需证明hy在(1,)上是增函数。证明 令hy22121yylny，则h'y2y2y，32y'2y3y21(y1)(2y2y1)因为 当y1时, hy0 ，yy所以hy在(1,)上是增函数，就有hyh11210,y3y2lny0，632 2 21即可得y1,y2y2lny.32注:证明方法为先找出x0，使得yf'x0恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。

二、利用微分中值定理证明不等式

证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商不等式，则可尝试利用中值公式

fbfaf'

bafbfafbfa或的bagbgafbfaf'或者 'gbgag并做适当的放缩到待证不等式中 1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 若函数满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'fbfa

ba例

3、证明对一切h1,h0成立不等式

hln1hh 1h证明 设fxln1x，则ln1hln1hln1当h0时，由01可推知

11h1h，h，01 1hhhh 1h1hhhh 1h1h当1h0时，由01可推得

11h1h0,从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2．使用柯西中值定理证明不等式 定理 设函数f和g满足(i)在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；

(iii)f'x和g'x不同时为零；(iv)gagb，f'fbfa则存在(a,b)，使得' ggbga例

4、证明不等式

ln1yarctany(y0)1y分析 该不等式可化为

1yln1y1(y0)

arctany可设 fy1yln1y，gyarctany，fyf0注意到f0g00，故可考虑对使用柯西中值定理

gyg0证明 如上分析构造辅助函数fy和gy，则对任意y0，由柯西中值定理，存在(0,y)，使得

1yln1yfyf0f'1ln(1)

1arctanygyg0g'12[1ln(1)](12)1.4

三、利用函数的单调性证明不等式

证明思路 首先根据题设条件及所证不等式，构造适当的辅助函数fx，并确定区间[a,b]；然后利用导数确定fx在[a,b]上的单调性；最后根据fx的单调性导出所证的不等式.1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式

例5 证tany2siny3y，其中y[0,)

2分析 欲证f(y)f(a)(ayb)，只要证f(y)在[a,b]上单调递增，即证f'(y)0即可．

若f'(y)的符号不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)进一步判定.证明 令fytany2siny3y，则 f'ysec2y2cosy3，f''y2sinysec3y1

于是y[0,)时，f''y0，有f'y单调增加

2所以f'yf'00,有fy单调增加，可推得fyf00，即tany2siny3y.2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 例

6、已知b,cR,be，求证：bccb为(e自然对数的底)证明 设fxxlnbblnx(xbc)

b则 f'xlnb，就有 be，xb

xb因为 lnb1,1, x所以 f'x0，则f'x在(e,)上递增；

又因cb，所以fcfb，就有clnbblncblncblnc0 从而有clnbblnc，即bccb.注: 对于一些不易入手的不等式证明, 可以利用导数思想,先通过特征不等式构 造一个函数, 再判定其函数单调性来证明不等式成立,这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。

构造辅助函数有以下几种方法: 1.用不等式的两边“求差”构造辅助函数；  2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数； 3.根据不等式两边结构构造“形似”辅助函数； 

4.如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.四、利用泰勒公式证明不等式

证题思路 若fx在(a,b)内具有(n+1)阶导数，x0(a,b)，则

fxfx0f'x0xx0

f''x02xx0 2!fnx0fn1nn1xx0xx0 n!n1!其中介于x0与x之间．

例

7、设fy在[0,1]上二阶可导，f010,且maxfy1，求证：存在y[0,1](0,1)，使得f''y8.证明 因fy在[0,1]上二阶可导，故在[0,1]上连续, 据最值定理，必c(0,1)使得fc为最大值，即fc=1，且有f'c0.而fy在y=1的一阶泰勒展式为

f''2 fyfcfcycxc，其中介于c与y间

2'分别在上式中令y0与y1得

f011''f1c20,1(0,c)，2 6

1''2f21c0,2(c,1).212故当c(0,]时，f''128，2cf1112当c(,1)时, f''28，221c所以存在(1或2)(0,1),使得f''y8.注: 用泰勒展式证明不等式的方法是将函数fx 在所给区间端点或一些特点(如区间的中点，零点)进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如当使用的不等式中含有积分号时,一般要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方便简捷。

五、利用函数的最值(极值)证明不等式

由连续函数在[a,b]上的性质,若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大,最小值提供了理论保证。

若函数f的最大(小)值点x0在区间(a,b)内,则x0必定是f的极大(小)点。又若f在x0可导,则x0还是一个稳定点。所以我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到f在[a,b]上的最大值与最小值。证明方法：先构造辅助函数，再求出fx在所设区间上的极值与最大、最小值，进而证明所求不等式。

例

8、已知: 0x1，证明当r1时，有

r1rrx1x1 r12证明 令fxxr1x，0x1，则f0f11

1，2111111则f()r(1)rrrr1

222222令fx0，求得x因为 f'xrxr1r1xr1，7 令 f'x0,求得驻点为x又因为当r1时，11, r121，2所以fx在[0,1]上的最小值为从而

1，最大值为1, 2r11rrx1x1，0x1，r>1.2r1例

9、证明：当y1时, ey证明 作辅助函数 1yfy1xey，则f'yyey,y0是fy在(,1)内的唯一驻点，且当y0时，f'(y)0 ；当0y1时，f'y0.故y0是fy的极大值点，f01是fy的极大值.因为当y由小变大时，fy由单调增变为单调减, 故f01同时也是fy的最大值, 所以，当y1时，fy1 , 即ey1.1y注:在对不等式的证明过程中，可以以不等式的特点为根据，以此来构造函数，从而运用导数来得出函数的最值，而此项作用也是导数的另一个功能，即可以被用作求函数的最值。例如，当此函数为最大或最小值的时候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永远成立的，从而可以将证明不等式的问题转化到求函数最值的问题上来。

六、利用函数的凹凸性质证明不等式

证明思路 若f''x0(axb)，则函数yfx的图形为凹的，即对任意x1，x2(a,b)，有f(fx1fx2x1x2)，当且仅当x1x2时成立． 22 8 例

10、设r0，h0，证明rlnrhlnh(rh)ln成立．

分析 将欲证的不等式两边同除以2，变形为

rlnrhlnh(rh)rhln 222rh，且等号仅在rh 时2由上式看出，左边是函数fkklnk在r，h两点处的值的平均值，而右边是它在中点rh处的函数值．这时只需证f''k0即可． 2证明 构造辅助函数

fkklnk(k0)，那么就有：

f'k1lnk,f''k故由不等式:

10 成立.kfrfhrhf()

22rlnrhlnh(rh)rhln 222rh也即 rlnrhlnh(rh)ln

2可得

且等号仅在rh 时成立.例

11、已知: 0,0, 332，求证：2.证明 设fyy3,y(0,)，则 f'y3y2,f''y6y0 就有fyy3,y(0,)是凸函数

1，y1,y2，211)则f1y12y2f()f(222设12就有如下式子成立: f1y12y2f(2)1fy12fy211ff 22 9 而又因为有

83(2)3f(2)，ff33111 ff2222所以

83f(2)11ff1 成立 22故2.小结:通过对导数证明不等式的研究，我可以看出不等式的证明方法很多，但各种方法都不尽相同。我们要充分理解各种方法的应用原理，挖掘导数的各种性质。多做此类难题，不但有利于我们在学习和考试中轻松解决同类问题，更有利于培养我们的数学思维和推理论证能力。因而导数在不等式证明当中的应用很有研究价值。