高二数学《导数的应用-单调性与极值》教学案例分析课题计划（范文大全）

第一篇：高二数学《导数的应用-单调性与极值》教学案例分析课题计划

高二数学《导数的应用-单调性与极值》教学案例分析课题计划

本节课的内容是苏教版选修1-1第一章第二部分的内容（文科）。这一知识点在高考中是热点，06年、08、09年广东、江苏高考均以解答题出现，从这节课中我有以下反思：

一、有明确的教学目标

（一）知识目标（考试大纲与考试说明）

1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．

2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函

数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（注：对多项式函数一般不超过三次）．

３、生活中的优化问题．会用导数解决某些实际问题．

（二）能力目标：让学生具有解高考题的能力。

（三）情感目标：通过本节课的教学，让学生知道数学来源于生活。并且应用于生活。通过研究导数的实际应用增强学生的数学应用意识体现数学价值；另一方面，在近几年高考中导数应用几乎连连出现。

二、能突出重点、分散难点

本课的教学重点是：（1）利用导数研究函数的性质；（2）导数在实际生活中的应用。这是由于：一方面，通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。本课的教学难点是：函数的单调性与导数的关系；极值概念的理解。由于选修课本没有极值概念而用极限引入导数，导致许多学生不理解导数的本质，因此学习中只能将导数作为一种规则。然而新课程强调对导数本质的认识，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想方法来学习。另外，由于当时高二下学期时间紧，教学时仅仅让学生知道如何解题而已，而对于相互间的关系和概念的理解很少涉及，因此在现在复习中很有必要解决这些问题。在教学中采用选择题或填空题形式在基础题中先让学生练习找出问题及出错原因，然后通过知识整合加以总结，再通过典型例题分析加以强化，从而真正突破难点。

三、善于应用现代化教学手段并结合学案教学。

应用多媒体教学和学案教学，（一）有效地增大堂课的课容量，（二）减轻板书的工作量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；

（三）是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。

四、根据具体内容，选择恰当的教学方法

本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用导思点拨等教学方法。高三学生通过前面复习与练习已经对相关内容有了一定的认识，但是在解题规范性与运算技巧的掌握等细节上仍存在问题，因此课堂上教师多给学生练习时间，再通过适时讲评实现总结与提高。当然对综合题的解决与解题突破口的选择也需要老师在课堂上适时和适当的点拨。

课堂上还将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛。

五、关爱学生，及时鼓励

本节课的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。

六、充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极

性

学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。

在这节课中，我尽量少讲，让学生多动手，动脑操作

7、渗透教学思想方法，培养综合运用能

力

常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。本节课我采用了数形结合的思想、转化的思想。

8、对教学效果的反思

教学的预设目标完成，特别是知识目标，学生能更好地掌握“导数的单调性与极值”这一概念，并会利用概念求函数的单调性与极值。当然也存在很多不足：对呼之欲出的“单调性与极值概念”没有及时给出，有关数学思想与方法的落实有所欠缺；教学中还是有些紧张，语言个别地方表述不清楚等。如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。

第二篇：导数的应用单调性教学反思

（一）教学整体设计

导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．

情境引入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲.合作探究

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

典例应用

在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”，规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后数形结合再次画出原函数图象加以验证，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

（二）教学中存在的不足

教师语言感染力度不够。一节课下来，语言起伏度较低，未能将重点知识通过起伏的语言方面传递出来。同时课堂评价语言单调，不能够起到鼓励学生的作用。作为一名新教师，教学基本功不够扎实，仍需多加练习，增加听课频率，多像优秀教师学习教学技能和技巧。

教学重难点内容的安排形式有待改善。本节重点知识在于为什么用导数研究函数的单调性，怎样用导数研究函数的单调性。怎样引导学生将导数的正负与函数单调性之间建立联系。实际上，这节课的重点，我觉得教师必须讲清楚函数在一个区间上的任一点出的导数为正时，在任一点处的切线斜率为正，函数在这个区间上的任一点处呈上升趋势，所以函数在整个区间上单调递增。但根据上课效果来看，学生并没有这样层次的理解，对于知识的认知还停留在表面，所以我提醒自己在今后的教学过程中应该加强数学知识本质的教学，让学生知其然，知其所以然。

小组讨论环节有待改善。本次课的小组讨论环节实际上是让班级学生分小组互相列举一些基本初等函数验证导数的正负和单调性的关系。但在实际教学中没有达到应该有的效果。每个学生自己单独完成了这个过程，并没有合作探究。课后我反思了这一过程，主要是和班级学生的熟悉程度不够，也是我在教学中引导过度不够自然，没有引起共鸣。通过这节课的教学，我有一个这样的疑惑，在数学教学中小组讨论，合作探究这个过程对学生的学习是否一定需要，是否一定会起到正面的效果，我觉得这是一个可以深入思考的问题。

板书设计有待改进。本节课板书不太理想，客观原因上课班级黑板不好使用，当然我对于本节课的板书设计确实准备不足，应该将情境引入部分整体思路理清楚，本节课的重点知识展示清晰。

经过这次的组内赛课，我感触颇深，也意识到自己教学技能的薄弱，对教研和教学认识的浅薄。关于教学，还有很多需要我学习的地方。不论是教研水平还是教学技能，我都急需向组内各教师好好学习，以期成为一名具有强大的语言功底、丰富的知识储备、强悍的课堂驾驭能力的优秀教师。我相信在各位同仁的指导帮助下，自己一定能够取得进步。

第三篇：函数单调性教学案例分析

“函数的单调性”案例分析 连江一中数学组 李锋

数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析：

一、案例

课题：函数的单调性（第一课时）

二、实施过程（注：课堂实录已经简化）

1．问题引入

师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x);x[0,24]

师： “在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?”（很快得出正确答案。）

师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。2．定义探究

师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。

提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？

生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。

师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确）

生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．还有没有其他的关键词语？

生2：还有定义中的“任意”和“都有”也是关键词语． 生3：“属于” 也是关键词。师：能解释一下为什么吗？

生3：“属于”就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

师：能不能构造一个反例来说明“任意” 和“都有”呢？

（让学生思考，但有些学生仍有困难，我设计了三个判断题）提出问题3：判断下列命题的真假：

①函数y=x2 在(-∞,0)上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，所以函数 y=x2 在定义域R上是增函数或是减函数。

②已知函数f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，则x1f(x2)，所以函数在区间[-2，2]上是减函数。

③若函数y=1/x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）也单调递减，则该函数在定义域内单调递减。

（三个问题的提出，引起很大凡响，学生发言踊跃，互相讨论、补充，把本节课推向高潮）师：因此，要判定一个函数的增减性，主要途径就是依照定义，抓住关键，在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定。3．定义应用

提出问题4：判断函数f(x)=1/x在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明。解：略

师：易知函数f(x)=1/x在（-∞,0）上也是单调递减函数，请同学归纳一下要证明一个函数在某个区间上单调性的方法和步骤？ 第八组：①设量；②作差；③判断；④定论。

4．课堂小结（由学生回答）（略）

5．布置作业

（略）

三、案例分析

（一）本节课的设计思路 1．知识目标设计：

（1）在探究中，寻求函数单调性规律并形成概念。

（2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。2．能力目标设计：

（1）通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生的数学意识、逻辑思维能力;（2）通过本节课的教学探究，培养学生用数学语言代替文字语言的表达能力。提高对数学美的鉴赏能力;（3）对学生进行由“特殊”到“一般”的辩证唯物主义教育。3．教学过程设计：

针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：

（1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。

（2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。

（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规律。

（二）本案例课堂教学的特点

1、抓住课堂教学的基本原则

(1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。

(2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代替文字语言的表达能力，提高对数学美的鉴赏力。这一教学过程使学生认识到看似简单的定义中有很多值得去推敲，去研究的东西，通过对问题的分析、总结，把包含在概念中的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里，深入清晰地揭示出概念的本质。因为学生理解程度的差异，老师提出问题4，这是本节课的亮点，简单的三个判断题，再一次揭示了概念的本质。把函数单调性概念的探究推向高潮，通过反向思维使学生的思维素质得以提升，促使学生能够在获得对概念理解的同时，逐步学会学习和思考，增长经验和智慧。这一部分课堂效果非常好。

(3)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应用只设计了问题5，典型的反比例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主订正，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题5的提出起到前后呼应，加深印象、画龙点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。

(4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取，勇于创新。

2、体现能力培养的指导思想

概念教学有利于培养学生的发现能力；有利于培养学生的创新精神；有利于培养学生的实践能力。概念教学的基本目标是帮助学生形成概念，而学生形成概念的关键是发现事物的本质属性或规律。发现是创造的一种重要形式，创造需要一种实践活动的过程。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”由此可以看出，学生用自己的头脑去亲自获得知识也是一种发现。在过程中发现，在发现中创新。因此，在数学教学中，教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会，给学生充分的思考空间，让学生在观察、实验、归纳、分析的过程中去理解数学概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造，培养学生的发现能力和创新能力。

(三)本案例课堂教学引发的反思

1、概念教学的方法应灵活多样 中学数学教材展现在学生面前的往往是由概念到定理，法则再到例题的三步曲，这在一定程度上掩盖了数学概念和思想方法的形成，发展过程，从而也掩盖了数学发现、数学创造、数学应用所经历的思维活动过程，抽象的概念也会给学生造成厌恶的感觉。所以数学概念教学不应简单地给出定义，而应加强概念的引入和概念属性的感知，本案例的引入，从实际生活中提炼，通俗易懂，平易近人。教学时应创设情境，方法灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与教学活动中来，亲身体验、主动建构，使学生了解知识的发生与发展的背景和过程，使学生对数学的学习感到乐趣。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表达，在对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程，这一过程需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。

2、正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾

探究活动比较费时间，教师都很重视课堂效率，而且对调控教学节奏，颇有一些办法，是不是一发现学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程？由于教学时间的限定，如果探究的不够完美、透彻，或本节课的教学内容没有全部完成，那么总感到一种缺憾，所以在这个矛盾的驱使下，往往追求进度，多讲几个例题，忽略学生的经历。而新课程标准则强调让学生经历“直观感知”、“观察发现”……等思维过程来形成思维能力。这就要求我们要以学生体验、理解、掌握知识为中心，重视数学概念的构作，数学思维的建立，数学意识的形成，所以，教师应设计好每节课的内容与容量，本案例延长了概念的探究过程，重视学生的数学意识、思维品质的培养，使学生懂得数学的意义与价值。虽然只有一个例题，但非常典型，同样收到很好的效果。

落实新课程改革精神，并不是

一、两节课的事，应该体现在课堂教学的每个环节和过程，教师要更新观念，转换角色，力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。使课堂教学由知识型向能力型和实践型转化，全面提高学生数学素养。能力增强了，学习成绩自然不会差，以人为本的思想也得到了落实。

第四篇：“函数的单调性”教学案例分析初稿

“函数的单调性”教学案例分析初稿

江西省新余市第四中学 刘金华

第Ⅰ部分：教学准备

一、教学分析：

（1）中学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性。高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础。（2）函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程。因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据。

（3）函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、重难点分析：

教学重点（1）函数单调性的概念；

（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性。

教学难点 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性。

三、学情分析：

本节课是一节概念课。函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一。另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达。

围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题： 1、重视学生的亲身体验。具体体现在两个方面：

① 将新知识与学生的已有知识建立了联系。如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对 “y 随 x 的增大而增大”的理解；

② 运用新知识尝试解决新问题。如：对 函数 的讨论。

在定义域上的单调性2、重视学生 发现的过程。如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程。、重视学生的动手实践过程。通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义。、重视课堂问题的设计。通过对问题的设计，引导学生解决问题。

四、文献检索：

1.《高中数学优秀教案》 南方出版社 任志鸿著 2.《教材完全解读》 接力出版社 王后雄著

第Ⅱ部分：教学设计

一、教学方式：

采用启发式、问题式、探究式相结合的教学法。

二、教学内容及教学过程：

（一）创设情境，引入课题

为了预测共和国 60 年国庆当天的天气情况，数学兴趣小组研究了 2000 年到 2008 年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年 10 月 1 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图。

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低。

教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等。

归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是 随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。

〖 设计意图 〗 由生活情境引入新课，激发兴趣。

（二）归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。1.借助图象，直观感知

问题 1 ：分别作出函数

自变量变化时，函数值的变化规律？ 的图象，并且观察

预案：(1)函数，在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大； 函数，在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小。(2)函数，在

上 y 随 x 的增大而增大，在

上 y 随 x 的增大而减小。

(3)函数 增大而减小。，在 上 y 随 x 的增大而减小，在 上 y 随 x 的引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。

问题 2 ：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗 ? 预案：如果函数 说函数

在某个区间上 随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们

在某个区间上随自变量 x 的在该区间上为增函数；如果函数

增大，y 越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数。

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识。

〖 设计意图 〗 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。2.抽象思维，形成概念 问题 1 ： 如图是函数 区间为增函数和减函数吗？ 的图象, 能说出这个函数分别在哪个

学生的困难是难以确定分界点的确切位置。

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。

〖 设计意图 〗 使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。

问题 2 ：如何从解析式的角度说明 在 上为增函数？

预案：(1)在给定区间内取两个数，例如 2 和 3，因为 22 <32，所以 在 上为增函数。

(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以 函数。

(3)任取 , 即 , 因为，所以

在

在 为增

上为增函数。

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 , 使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。〖 设计意图 〗 把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫。问题 3 ：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗 ?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①。

②若函数。

③若函数 在区间 上为增函数。

和(2,3)上均为增函数，则函数 在区间(1,3)④因为函数 在区间 上是减函数。

上都是减函数，所以 在

通过判断题，强调三点：

① 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

② 有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。③ 函数在定义域内的两个区间 A , B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数。

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数 ? 〖 设计意图 〗 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。

（三）掌握证法，适当延展

例 1 证明函数 1.分析解决问题

在 上是增函数。

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。证明：任取 ，设元

作差

变形

，断号

∴

∴ 即

∴ 函数 在 上是增函数。

定论

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论。练习：证明函数 在 上是增函数。，且

有 问题：除了用定义外，如果证得对任意的，能断定函数 在区间 上是增函数吗 ? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性。让学生尝试用这种等价形式证明 函数

在 上是增函数。

〖 设计意图 〗 初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。(四)归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。1.小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。(3)数学思想方法：数形结合。2.作业

第五篇：函数的单调性教学案例分析

函数的单调性教学案例分析

一、内容介绍 1.教材内容分析

“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。2.学生分析

本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。

二、教学目标 1.知识与技能

理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。2.过程与方法

掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。

3.情感态度与价值观

通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。

三、教学重难点 1.教学重点

形成增函数和减函数的形式化定义。2.教学难点：

在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。

四、教学基本流程 1.创设情境，引入概念

通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？

师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。设计意图：通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数的单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西。2.合作探究，形成概念

观察两组图像(具备增减性的函数图像)，引导学生尝试归纳增函数和减函数的定义。

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域内I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)是区间D上的单调递增函数。问题一：两组函数有什么特征？

问题二：你能用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗？ 学生讨论，最后由教师给出增函数的定义。由学生类比得到减函数的定义。

对定义进行适当说明：(1)x1,x2的三大特征：属于同一个区间，任意性，有大小；(2)函数的单调性是一种局部性质。

启示：以问题串的方式进行启发、引导学生自己归纳总结，找出函数在代数上的共同点，得到减函数的定义，主要是为了培养学生对图像的观察能力，以及培养学生的归纳概括能力。在总结概念的形式化定义的时候，采用相互讨论的方式，目的是可以通过合作学习的方式对基础较差的学生给予指导，培养学生互相帮助的精神。根据知识的发生发展过程，对学生能力的适当评估；引导学生自己动手得出减函数的定义和图像特征，这个过程将课堂还给学生，营造一种人人参与的氛围。

3.定义应用，概念深化

例1：结合函数图象找到函数的单调区间（注意：单调区间的写法，能否写成并集的形式，单调区间是开区间还是闭区间的问题）例2：函数单调性的证明

（总结利用定义证明函数单调性的步骤：取值、作差变形（常用方法：因式分解，有理化，配方等）、定号、下结论）4.归纳总结，提高认识

教师设置问题，引导学生讨论、交流、总结，让学生充分发表意见。（1）通过函数概念的形成过程，你们学习到了什么？

（2）增函数（减函数）的图像有什么特点？如何根据函数图像得出函数的单调区间（3）怎样利用定义证明函数的单调性？ 5.布置作业（必做题与选做题，设置梯度）

五、教学方法

本节课是函数单调性的起始课，主要采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念。其中使用多媒体投影和计算机辅助教学，充分发挥直观、形象的特点，为学生提供感性的材料，有助于学生的理解和认识。

六、教学反思

新课改强调将课堂还给学生，其实对于教师的要求更加提高。要让一节课的知识点完全由学生自己总结、归纳是不太现实的，所以这需要教师在课堂中起好启发、引导作用。在引导的过程中，需要对于不同难度的问题设置不同数量的问题。如果问题较难，跨度较大，我们需要对问题多设置几个桥梁，减小问题的难度，对于这个度的把握，就需要教师站在一个更高的位置，对知识点和学生的情况有较高的熟悉程度，备课设置问题和相关环节时一定要多考虑学生所有可能出现的情况，在课堂上随时调整。

我们在课堂上的作用是引导学生，但不是牵着学生走；要严格要求学生，但是课堂也不应该过分压抑。新课程改革中我们一定要将学生放在主体地位，让学生参与和完成课堂中的活动，教师在整个授课过程中要起好启发、引导的作用，才可以让学生学会学习、体会学习的乐趣。