选修2-2
1.2.2
第2课时
基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()
A．x4
B．x4－2
C．4x3－5
D．x4＋2
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是()
A.B.C.D.[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，顶点在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()
A．6x5＋12x2
B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2
D．2(2＋x3)·3x
[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1
B．－2
C．2
D．0
[答案] B
[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2
要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()
A．0
B．－1
C．－60
D．60
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()
A．2cos
B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x
D．2cos
[答案] A
[解析] y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()
A．3
B．2
C．1
D.[答案] A
[解析] 由f′(x)＝－＝得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()
A．－
B．0
C.D．5
[答案] B
[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)
∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)
即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.二、填空题
11．若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]，1＋sin2
[解析] f[φ(x)]＝＝
＝|sinx＋cosx|＝.φ[f(x)]＝1＋sin2.12．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]
[解析] f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案] 32x(1＋2x2)7
[解析] 令u＝1＋2x2，则y＝u8，∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x
＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x的导数为________．
[答案]
[解析] y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋)；
(3)y＝；(4)y＝.[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝·(x＋)′
＝(1＋)＝
.(3)y′＝＝
.(4)y′＝
＝
＝.16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)；
(2)y＝cosx·sin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2.[解析](1)y′＝[cos2(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋logae.(4)y′＝′log2e＝log2e
＝.17．设f(x)＝，如果f′(x)＝·g(x)，求g(x)．
[解析] ∵f′(x)＝
＝[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，又f′(x)＝·g(x)．
∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f；(2)y＝f()．
[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝，则y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·＝－f′.解法2：y′＝′＝f′·′＝－f′.(2)解法1：设y＝f(u)，u＝，v＝x2＋1，
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