高中数学知识点津2函数反函数与基本初等函数的图像与性质

第一篇：高中数学知识点津2函数反函数与基本初等函数的图像与性质

高中数学知识点津2函数反函数与基本初等函数的图像与性质

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t2x1exx，求f(x).x1，则t0

∴xt∴f(t)et21t21

∴f(x)ex21x21x0

12.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x

如：求函数f(x)2x1x0的反函数

x0x1x1）

（答：f(x)xx0

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

ylog1x2x的单调区间

如：求

22

（设ux2x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图： u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大 值是（）

A.0

3B.1 2 C.2 D.3

（令f'(x)3xa3xaax0 33

则xaa 或x33a1，即a3

3由已知f(x)在[1，)上为增函数，则

∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a

如：若f(x)2x

1（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1）

即2012x，又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x

（令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)x x41142xx41

又f(0)0，∴f(x)x24x1

17.你熟悉周期函数的定义吗？

x(1，0)x0x0，1）

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)yf(xa)

yf(xa)b上移b(b0)个单位

 yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象 y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：y的双曲线。

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b)xxa2b4acb2

（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线 2a4a2b4acb2b

顶点坐标为，，对称轴x

4a2a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a

a0，向下，ymax4acb2

4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2

如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1 

（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“对勾函数”yxkk0 x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ y k O k x

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a1(a0)，amnnmmn0p

1(a0)pa

aa(a0)，a1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logaM1nlogMlogN，logMlogaaaaM Nn

对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：logab

logcbnlogambnlogab

logcam

第二篇：2、函数的图像与性质

高考必备：

二、函数的图像和性质

要点强记

思想方法：

1、函数与方程的思想：若问题中含有解析式，应考虑使用函数的图像和性质解决问题，若不含解析式，可构造函数，再用函数的图象和性质解题。

2、形结合的思想：把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，或者把图形问题转化为数量关系问题来处理，数形结合的思想在解选择、填空题具有得天独厚的优势。

3、等价转化的思想：等价转化要求转化前后互为充要条件。

4、分类讨论思想：当问题不能进行统一，则应分类研究。

常规方法

1、定义域：定义域分默认型（式子有意义）、实际型（由实际有意义定）、规定型（无条件规定）。求函数表达式时务必写出定义域。对于复合函数，如：已知fgx的表达式，求此时关于x定义域就是gx的值域；已知fx的表达式，求fgx的fx表达式，表达式，此时关于x定义域就是使得gx的值域为fx的定义域的全体x的取值。

2、值域：函数的最值问题是函数各种性质的综合反映，求函数的值域和最值的常用方法有常数分离法（一次分式法）、配方法（二次函数）、换元法（包括三角换元）、判别式法（二次分式函数）、单调法、，利用重要不等式、导数法、图象法，利用几何意义等。

3、解析式：求解析式的方法有换元法和配凑法两种，近几年分段函数是高考的热点。

4、函数的图像：有些函数虽然不能画出其正确的图像，但是我们可以通过对导函数的研究，画出原函数的图像走向，这样我们仍然可以求出函数的极值、最值等。

5、奇偶性：判断函数的奇偶性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式。奇偶性的应用主要是通过局部看整体。

奇函数若在x=0处有定义，则f00。

6、单调性：①求单调区间时，必须先挖定义域，常用的方法有：定义法、导数法、图象法、复合函数单调性质和利用重要不等式法。②作为单调性的应用，主要有：比大小，求最值，求值域。③有了导数这一工具后，给求函数的单调性带来了极大的方便。

7、周期性：①判断函数的周期性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式；②周期性的应用是通过局部看整体。

8、对称性：有两种对称，关于点对称和关于直线对称。若求对称后的曲线（与原曲线不同）的方程，通常利用间接法（转移法）。若要证明曲线自身关于点或直线对称，通常是先设曲线上一点，再求出对称点，然后证明对称后的点也的在曲线上。

9、抽象函数的性质：①若fxfx,则函数图像关于y轴对称；②若fxfx,则函数图像关于原点对称；③若fxafbx,则函数图像关于x④若fab对称；2xafab,0对称；⑤若bx函数图像关于点,则

2fxaf⑥若fxafxb,则函数还是周期xb,则函数为周期函数。函数。

10、抽象函数解题策略：①利用函数的单调性，作等价转化，最后脱离函数符号f；②利用函数的对称性，通过数形结合，使抽象函数具体化；③利用函数的周期性，以点推面，回归已知；④合理赋值，构造方程，解出抽象函数的表达式。

11、图像的变换：常见的变换有平移、放缩、对称，这些变换可以用间接法求之，要学会用向量法解决平移问题。另外还要掌握yfx的图像与yfx,yfx,yfx,y|fx|,yf1x,yf'x之间的关系。

特别警示

1、研究函数的性质，要注意先确定函数的定义域，如奇函数的必要条件是定义域关于原点对称。

2、函数的单调性是对某一个区间而言的。如函数f(x)在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是增函数，但在

（-1，0）∪（0，1）上却不一定是增函数。

3、在反函数的运算中，要注意yfx1与yf反函数是

1x1不是互为反函数；yfx1的yf1x1；yf1x1是函数yf1x中自变量x换为x1的结果。

第三篇：函数性质培优教案2(映射、反函数)

函

数（2）

映 射

逆映射：如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给bB，规定g(b)a，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f —1.显然有（f —1）—1= f，即如果f是A与B之间的一一对应，则f —1是B与A之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：设A={a,b,c},B={0,1},请写出所有从A到B的映射

变式1：设集合A＝1,0,1,2集合B＝1,0,1。

（1）从集合A到集合B可以构造多少不同的映射？（2）从B到A的映射有多少个？

（3）若B中每个元素都要有原象，这样的映射有多少个？

例2：假设集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x)是奇数”，这样的映射有多少个？

变式2：设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件 ：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少？

变式3：设集合X＝

1,0,1，Y＝2,3,4,5,6，映射f：

XY，使得对任意的xX，都有x+fx+xfx是奇数，这样的映射f有多少个？

例3：已知：集合M{a,b,c}，N{1,0,1}，映射f:MN满足f(a)f(b)f(c)0，那么映射f:MN的个数是多少？

例4：设集合A＝1,0,1，集合B＝2,1,0,1,2。若A中的元

素x对应B中元素f（x），且满足fxfx2，则这样的映射有

多少个？

变式4：知集合M＝

x,y,z，N＝1,0,1，由集合M到N的映射f满足：fx＝fy+fz，那么这样的映射有多少个？

反 函 数

1．反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．

3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数． 典例分析

例1：求下列函数的反函数：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知点（1，2）既在y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a、b．

例3：函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（）.A、关于直线y=x对称

B、关于直线y=x+1对称

C、关于直线y=x-1对称

D、关于直线y=-x对称

例4：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f-1(x+1)的图象关于y=x

对称，求g(3)的值．

例5：函数y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).课后练习

1．定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与

y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.A、关于直线y=x+a+b对称

B、关于直线x=y+a+b对称

C、关于直线y=x+a-b对称

D、关于直线x=y+a-b对称

2．设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．设有三个函数，第一个函数式y=f(x)，第二个函数是它的反函数，而第三个函数的图象关于直线x+y=0对称。则第三个函数是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点________．

5．已知f(x)2x3，则f1(x1)______________．

6．已知f(x)2x3，则f(x1)的反函数为_____________．

7．已知yf(x)反函数为yf1(x)，则f(x3)的反函数

_____________．

8．已知yf(x)的图象过点（0,1），则函数yf(4x)的反函数图象过点____________． 9．若函数图象yf1(x)过点（-2,0），则函数图象yf(x5)过点___________． 10．若函数f(x)x,则f11x2(3)=______________． 参 考 答 案

映射

例

1、从A到B的映射共有2^3=8个：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

变式

1、分析 这个问题是要建立没有限制条件的映射。它的关键是正确理解映射的概念。对于映射f：AB，集合A中的任何一个元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解为放球模型)，因此，建立从A到B的映射就是给A中的每个元素找到一个象，而A中的每个元素都有3种对应方式，根据乘法原理，共有34个不同的映射。

1)变形思考 C234P3＝36个 2)43个

例

2、①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数” f(-1)=-2,0,2 ②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1 ③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数

f(1)=-2,0,2 综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个

变式

2、映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个

变式

3、分析 此题需仔细分析题意，根据映射的定义，要使X中的每个元素都有象，而集合X中只有三个元素，所以我们可以直接对元素进行分类。

1)当x＝－1时，x+fx+xfx＝－1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。

2)当x＝0时x+fx+xfx＝f0，要满足题意，0的象可在3，5中任取一个，有2种可能。3)当x＝1时，x+fx+xfx＝1+2f1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。由乘法原理得：共有映射525＝50个。

例

3、思路提示：满足f(a)f(b)f(c)0，则只可能

00001(1)0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部为0，或0,1,1各取一个．

解：∵f(a)N,f(b)N,f(c)N，且f(a)f(b)f(c)0 ∴有00001(1)0．

当f(a)f(b)f(c)0时，只有一个映射；

当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有32＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7．

评注：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想．

例

4、分析 这是一个要建立有限制条件的映射，所以关键是分析它有何限制条件。由条件fxfx2可知，f1f12＝

f1，也就是说，－1和1应该和同一个元素对应，又f0f02是一定

满足的，所以这样的映射可以有：55＝25个。变式:

4、7个。

反 函 数

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，则y=x2

≥0, x=-.若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函数y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

将x, y互换，∴ f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．

例

2、解：∵点（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵点（1，2）在y=的反函数的图象上，∴点（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

例

3、解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1.故选B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函数f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，这时由题设有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困难，但我们可利用y=f(x)与y=f-1

(x)的图象关系求解．

首先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图所示．因为互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的，故立即可画出y=f-1

(x)的图象，由图可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此可由方程组：

解得 x=2或-2, 从而得方程f(x)=f-1

(x)的解集为{-2,2}． 例

6、解：设f-

1(5)=x0, 则 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.课后练习

1、解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴ f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)-1的图象是把y=f-

1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f(x+4)的图象过(-3,0)点．

5、f1(x1)=12(x4)

6、y12(x1)

7、yf1(x)

38、（1,4）

9、（-5，-2）10、1

第四篇：函数与基本初等函数2.6幂函数(作业)

响水二中高三数学（理）一轮复习作业 第二编 函数与基本初等函数Ⅰ

主备人

张灵芝

总第9期

§2.6幂函数

一、填空题 1.设α∈{-1,1,12α ,3}，则使函数y=x定义域为R且为奇函数的所有的α值为.α2.幂函数f(x)=x(α是有理数）的图象过点（2，m2m214），则f(x)的一个单调递减区间是.3.如果幂函数y=（m-3m+3）x

2的图象不过原点，则m的取值是.4.如图所示，曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次为.21x,5.设函数f(x)=2xx2,312四个值，则相应的曲线C1，C2，x1,x1，则f（1)的值为.f(2)6.设f(x)=x+x,则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 条件.127.当0

2121D上封闭.若定义域D=（0，1），则函数①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封闭的是.（填序号即可）

二、解答题 9.求函数y=x

1m2m1(m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性.

10.已知f(x)=x n22n3（n=2k,k∈Z）的图象在［0，+∞）上单调递增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x24x5211.指出函数f（x）=2的单调区间，并比较f（-）与f(-)的大小.

x4x42

12.已知函数f(x)=xx51313，g(x)=

xx51313.

（1）证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x）的单调区间；

（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有 不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

第五篇：正切函数的性质与图像教案

1．4．3 正切函数的性质和图像

一、教学目标

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

二、课时 1课时

三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具

多媒体、实物投影仪

六、教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？

你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z

2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z 2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域

根据正切函数的定义tanα=

y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+

,k∈Z,所以正切函2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正

且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1

问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性

+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称

22k的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例 略

课堂小结

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业课本习题1.4 A组6、8、9.