第一篇:2014年人教A版选修1-1教案 3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.3函数的最大(小)值与导数
一、教学目标
知识与技能:1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件。
3.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的思想方法和步骤。过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点:利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点:利用导数研究函数最大值、最小值的问题
三、教学过程:
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.我们以导数为工具,对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便.
四、学情分析
我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法 发现式、启发式
新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备:
2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
七、课时安排:1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
提问1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点
2.极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 4.判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f(x0)0,x且在0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值
5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值
(二)情景导入、展示目标。
设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。
1.函数的最大值和最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.⑴在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数f(x)在闭区间a,b上连续,是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个
2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值;⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值
(三)合作探究、精讲点拨。例1.求函数f(x)13x4x1在[0,3]上的最大值与最小值。3(引导学生得出解题思路:求导 →
令f '(x)>0,得函数单调递增区间,令f '(x)<0,得函数单调递减区间 → 求极值,求端点值,下结论)
变式:1 求下列函数的最值:
(1)已知f(x)612xx,x[,1],则函数的最大值为______,最小值为______。(2)已知f(x)6xx2,x[1,2],则函数的最大值为______,最小值为______。(3)已知f(x)x27x,x[3,3],则函数的最大值为______,最小值为______。(4)f(x)3xx,x[1,2]则函数的最大值为______,最小值为______。
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情,让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越332313性。
变式:2 求下列函数的最值:
(1)f(x)6x2x
2(2)f(x)612xx3(学生上黑板解答)
设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式
探究二:例2.已知函数f(x)2x36x2a在[-2,2]上有最小值-37,(1)求实数a的值;(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值。
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。
(课堂实录)
,(四)反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录)教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
第二篇:高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2
【学习目标】
【复习回顾】
1. 极大值、极小值的概念:
2.求函数极值的方法:
【知识点实例探究】 例1.求函数f(x)13x4x1在[0,3]上的最大值与最小值。3
你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗?
变式:1 求下列函数的最值:
(1)已知f(x)612xx,x[,1],则函数的最大值为______,最小值为______。(2)已知f(x)6xx2,x[1,2],则函数的最大值为______,最小值为______。(3)已知f(x)x27x,x[3,3],则函数的最大值为______,最小值为______。(4)f(x)3xx,x[1,2]则函数的最大值为______,最小值为______。变式:2 求下列函数的最值:
(1)f(x)6xx2(2)f(x)612xx 23332313
例2.已知函数f(x)2x36x2a在[-2,2]上有最小值-37,(1)求实数a的值;(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值。
姓名:_____________ 学号:______________
【作业】
1.下列说法中正确的是()
A 函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值 2.函数y|x1|,下列结论中正确的是()
A y有极小值0,且0也是最小值 B y有最小值0,但0不是极小值 C y有极小值0,但0不是最小值
D 因为y在x1处不可导,所以0即非最小值也非极值
3.函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A 0a1 B 0a1 C 1a1 D 0a4.函数f(x)xex,x[0,4]的最小值是()A 0 B 2142 C 4 D 2 eee5.给出下面四个命题:
(1)函数yx5x4,x[1,1]的最大值为10,最小值为29; 4(2)函数y2x24x1,x[2,4]的最大值为17,最小值为1;(3)函数yx312x,x[3,3]的最大值为16,最小值为-16;(4)函数yx312x,x[2,2]无最大值,无最小值。其中正确的命题有
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6.函数f(x)4x,x[2,2]的最大值是__________,最小值是_____________。2x13,x[2,)的最小值为____________。x327.函数yx8.已知f(x)2x6xm(m为常数),在[-2,2]上有最大值3,求函数在区间 [-2,2]上的最小值。
9.(1)求函数f(x)x3x6x2,x[1,1]的最大值和最小值;
(2)求函数f(x)48xx3的极值。
自 助 餐
x2x1.设a0为常数,求函数yee在区间[0,a]上的最大值和最小值。
2. 设f(x)x312x2x5,(1)求函数f(x)的单调递增,递减区间; 2(2)当x[1,2]时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围。
x22xa,x[1,),3.已知函数f(x)x(1)当a
(2)若对于任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围。1,求函数f(x)的最小值; 2
4.已知函数f(x)x3ax23x,(1)若函数f(x)在[1,]上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x
(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点,若存在,求出实数b的取值范围;取不存在,试说明理由。
1是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值; 3
5.当x(1,2]时,函数f(x)值。
1.(1)若0aln2在区间[0,a]上,当xa时,有最大值eax恒大于正数a,试求函数ylg(a2a3)的最小2x1e2a;当x0时,有
1;当x0时,有4最小值0。(2)当aln2,在区间[0,a]上,当xln2时,有最大值最小值0。2.(1)递增区间为(,)和(1,),递减区间为(3.(1)
232,1);(2)m7。37(2)a3。4.(1)a0,(2)f(1)6,(3)b7且b3。21115.当a时,yminlg。
第三篇:偏导数求二元函数最值
偏导数求二元函数最值
用偏导数可以求多元函数的极值及最值,不过要比一元函数复杂很多。
这个在高等数学教材里都有,极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。
求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢?你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值,我们做法是先求极值,再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了,因为一元函数的区间端点只有两个值,可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值,不可能全求出来了,因此边界上我们还需要再求最大最小值,这个叫做条件最值。
如果能代入的话,就是代入求(将条件最值转化为无条件最值)。如果有些函数很复杂不能代入,有另一个方法,叫做拉格朗日乘数法,就是解决条件最值的问题的。
第四篇:11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2
选修2-2
1.3.3
函数的最值与导数
一、选择题
1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)()
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数
∴f′(x)=0,故应选A.2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为()
A.0
B.-2
C.-1
D.[答案] A
[解析] y′=x3+x2+x=x(x2+x+1)
令y′=0,解得x=0.∴f(-1)=,f(0)=0,f(1)=
∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()
A.B.2
C.-1
D.-4
[答案] C
[解析] y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)
令y′=0解得x=或x=-1
当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;
当x=时,y=;当x=1时,y=2.所以函数的最小值为-1,故应选C.4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()
A.最大值为13,最小值为
B.最大值为1,最小值为4
C.最大值为13,最小值为1
D.最大值为-1,最小值为-7
[答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,令y′=0,∴x=,f(-3)=13,f=,f(0)=1.5.函数y=+在(0,1)上的最大值为()
A.B.1
C.0
D.不存在[答案] A
[解析] y′=-=·
由y′=0得x=,在上y′>0,在上
y′<0.∴x=时y极大=,又x∈(0,1),∴ymax=.6.函数f(x)=x4-4x
(|x|<1)()
A.有最大值,无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,有最小值
D.既无最大值,也无最小值
[答案] D
[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1)
∴该方程无解,故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()
A.5,-15
B.5,4
C.-4,-15
D.5,-16
[答案] A
[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y′=0,得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴ymax=5,ymin=-15,故选A.8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于()
A.-
B.C.-
D.或-
[答案] C
[解析] y′=-2x-2,令y′=0得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.
当-1 9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是 () A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3 B.-3 C.-2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为y′=3x2-12,由y′>0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1<-2 A.[3,+∞) B.[-3,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3) [答案] B [解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0在[1,+∞)上恒成立 即a≥-3x2在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选B.二、填空题 11.函数y=x+(1-x),0≤x≤1的最小值为______. [答案] 由y′>0得x>,由y′<0得x<.此函数在上为减函数,在上为增函数,∴最小值在x=时取得,ymin=.12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________. [答案] 不存在;-28 [解析] f′(x)=-36+6x+12x2,令f′(x)=0得x1=-2,x2=;当x>时,函数为增函数,当-2≤x≤时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f=-28,所以最小值为-28.13.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________. [答案] -1 [解析] f′(x)== 令f′(x)=0,解得x=或x=-(舍去) 当x>时,f′(x)<0;当0 当x=时,f(x)==,=<1,不合题意. ∴f(x)max=f(1)==,解得a=-1.14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m=________.[答案] 32 [解析] f′(x)=3x2-12 由f′(x)>0得x>2或x<-2,由f′(x)<0得-2 又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,∴最大值M=24,最小值m=-8,∴M-m=32.三、解答题 15.求下列函数的最值: (1)f(x)=sin2x-x; (2)f(x)=x+.[解析](1)f′(x)=2cos2x-1.令f′(x)=0,得cos2x=.又x∈,∴2x∈[-π,π],∴2x=±,∴x=±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为 f=-,f=-+.又f(x)在区间端点的取值为 f=-,f=.比较以上函数值可得f(x)max=,f(x)min=-.(2)∵函数f(x)有意义,∴必须满足1-x2≥0,即-1≤x≤1,∴函数f(x)的定义域为[-1,1]. f′(x)=1+(1-x2)-·(1-x2)′=1- .令f′(x)=0,得x= .∴f(x)在[-1,1]上的极值为 f=+=.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得f(x)max=,f(x)min=-1.16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值. [解析] f(x)的定义域为.f′(x)=2x+= =.当- 当-1 当x>-时,f′(x)>0,所以f(x)在上的最小值为 f=ln2+.又f-f=ln+-ln-=ln+=<0,所以f(x)在区间上的最大值为 f=ln+.17.(2010·安徽理,17)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.[分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明. [解析](1)解:由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.18.已知函数f(x)=,x∈[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域; (2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围. [解析](1)对函数f(x)求导,得 f′(x)==- 令f′(x)=0解得x=或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,) (,1) f′(x) - 0 + f(x) - -4 -3 所以,当x∈(0,)时,f(x)是减函数; 当x∈时,f(x)是增函数. 当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2). 因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]. 又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]. 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3]. 即 解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤. 课题:常见函数的导数 一、教学目标:掌握初等函数的求导公式; 二、教学重难点:用定义推导常见函数的导数公式. 一、复习 1、导数的定义; 2、导数的几何意义; 3、导函数的定义; 4、求函数的导数的流程图。(1)求函数的改变量yf(xx)f(x) yf(xx)f(x) xxy(3)取极限,得导数y/=f(x)lim x0x(2)求平均变化率本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。(1)、y=x (2)、y=x(3)、y=x 3问题:yx1,yx2,yx3呢? 问题:从对上面几个幂函数求导,我们能发现有什么规律吗? 二、新授 1、基本初等函数的求导公式: ⑴ (kxb)k(k,b为常数) ⑵ (C)0(C为常数) 1 2⑶ (x) ⑷ (x2)x 32⑸ (x)3x ⑹()1x1 2x⑺(x)12x 由⑶~⑹你能发现什么规律? 1⑻ (x)x (为常数) a⑼ (a)xxlana (,a0 111logae(a0,且a1)xxlna1xx ⒀ (sinx)xcos x ⒁ (cos)x-sin x⑾ (e)e ⑿(ln)x⑽(logax)从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。例 1、求下列函数导数。(1)yx5(2)y 4(3)yxxxx (4)ylog3x(5)y=sin(+x) (6)y=sin 23(7)y=cos(2π-x) (8)y=f(1) 例2:已知点P在函数y=cosx上,(0≤x≤2π),在P处的切线斜率大于0,求点P的横坐标的取值范围。 例3.若直线yxb为函数y1图象的切线,求b的值和切点坐标.x变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程 变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程 变式4:已知直线yx1,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.三、小结(1)基本初等函数公式的求导公式(2)公式的应用第五篇:常见函数的导数(选修2-2教案)