2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理

第一篇：2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理

[第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

x1．[2013·韶关调研] 函数y＝xe的最小值是()

1A．－1B．－eC．不存在 e

322．f(x)＝x－3x＋2在区间[－1，1]上的最大值是()

A．－2B．0C．2D．4

3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

1332629关系可近似地用如下函数给出：y＝－t－t＋36t则在这段时间内，通过该路段用844

时最多的时刻是()

A．6时B．7时C．8时D．9时

4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()3

A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件

能力提升

5．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()

3333A．12 cmB．15 cmC．18 cmD．16 cm

26．[2013·湖南卷] 设直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()

152A．1B.D.222

37．[2013·全国卷] 已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()

A．－2或2B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

8．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()

A．1B.3C．2D．3

9．[2013·辽宁卷] 若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()

1112x2A．e≤1＋x＋xB.1－x＋x 241＋x

1212C．cosx≥1D．ln(1＋x)≥x－ 2810．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为

________．

ex＋1ex

11．[2013·厦门质检] 设函数f(x)＝，g(x)＝x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，xe

g（x1）f（x2）不等式k的取值范围是________．

kk＋1

12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售

量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P.则该商品零售价定为________时，毛利润L最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．

13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，（梯形的周长）记S＝S的最小值是________．

梯形的面积

14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用3x＋5

与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

15．(13分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求实数a的取值范围．

难点突破

16．(12分)已知函数f(x)＝lnx－(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

ax

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为a的值；

(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y＝x的图象恒在函数f(x)的图象的上方．

课时作业(十五)

【基础热身】

x

1．C [解析] y′＝(x＋1)e，令y′＝0，得x＝－1.因为x<－1时y′<0；x>－1时

y′>0，所以x＝－1时，ymine

2．C [解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0

3．C [解析] y－＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)

828

或t＝8，当6≤t<8时，y′>0，当8

4．C [解析] 因为y′＝－x＋81，所以当x>9时，y′<0；当00，所以

函数y＝－＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函

数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．

【能力提升】

5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8

510322

－2x)(5－2x)x＝4x－26x＋40x0

23

(舍去)，则V极大值＝V(1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.6．D [解析] 用转化的思想：直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx图象分别交于M，N，而|MN|的最小值，实际是函数F(t)＝t2－lnt(t>0)时的最小值．

122

令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－舍去)．

t2222

F(t)＝t－lnt有最小值，即|MN|达到最小值，故选D.2

7．A [解析] 由f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0⇒x＝±1，结合f(x)的图象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故选A.1222

8．C [解析] 设底面边长为a，则高h＝SA－a＝12－2，所以体积V

22

故t＝121

＝h＝33

164

12a－a.21643535

设y＝12a－a，则y′＝48a－3a，当y取最值时，y′＝48a－3a＝0，解得a＝0(舍

212

12－a＝2.332

9．C [解析] 验证A，当x＝3时，e>2.7＝19.68>1＋3＋3＝13，故排除A；验证B，去)或a＝4，故a＝4时体积最大，此时h＝

当x＝2

6111113391 5211 536166而1＋＝＝故排除B；

***3

1＋

验证C，令g(x)＝cosx－1＋x，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，显然g″(x)>0

恒成立，所以当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)时，g(x)＝cosx－11212

＋为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－恒成立；验证D，令h(x)＝22

121xx（x－3）

ln(1＋x)－x＋x，h′(x)＝1h′(x)<0，解得0

8x＋144（x＋1）

0

10.4V [解析] 设底面边长为x，则高为h＝∴Sx＋2×x＝22

4x3x3x＋32，2

43V3

∴S′＝－23x，令S′＝0，得x＝4V.x

333

当04V时，S′>0，故当x＝4V时，S取得最小值． 11．k≥1 [解析] ∵k为正数，g（x1）f（x2）g（x）≤f（x）∴对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立⇒kk＋1kmaxk＋1

.min

x＋2

e（1－x）

由g′(x)＝＝0得x＝1.e

x∈(0，1)，g′(x)>0，x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，g（x）＝g（1）＝e∴kkkmax

ex－11

同理f′(x)＝0⇒x＝，2

xe

11x∈0，f′(x)<0，x∈，f′(x)>0，ee

1f

f（x）＝e2ee2e，k>0⇒k≥1.∴kk＋1k＋1mink＋1k＋1

12．30 23 000 [解析] 由题意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)

＝(8 300－170P－P)(P－20)

＝－P－150P＋11 700P－166 000，∴L′(P)＝－3P－300P＋11 700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．

因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0，∴L(30)是极大值．

根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．

323 [解析] 设DE＝x，由ED∥BC，△ABC为正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC

－x)，梯形的周长为BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面2

＝1－x.过D作DF⊥BC，DF＝

133（3－x）2

积为(x＋1)×(1－x)＝－x)．S＝(0<

x<1)．

22432

（1－x）4

24（2x－6）（1－x）－（34（2x－6）（1－3x）S，2222

（1－x）（1－x）331

令S′＝0，解得x＝3(舍去)，311132300，∴x＝时，Smin.3333

14．解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝3x＋5

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5

而建造费用为C1(x)＝6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40800

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋54002 400

(2)f′(x)＝6－f′(x)＝0，即6.（3x＋5）（3x＋5）25

解得x＝5或x＝－(舍去)．

当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应

800的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.15＋5

故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

15．解：(1)由题意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝.e

111①当0

11此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f.ee

②当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，e

此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.(2)由题意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x＋ax＋2，则y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，等价于a＝－lnx＋2x－1有两个不同的实根x1，x2，等价于直线y＝a与函数G(x)＝－lnx＋2x－1的图象有两个不同的交点．

111由G′(x)＋2，知G(x)在0上单调递减，在上单调递增，x22

画出函数G(x)图象的大致形状如图，k

1由图易知，当a>G(x)min＝G＝ln2时，2

x1，x2存在，且x2－x1的值随a的增大而增大． 而当x2－x1＝ln2时，lnx1－2x1＋a＋1＝0，由题意得

lnx2－2x2＋a＋1＝0.

两式相减可得ln2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，4

代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1，2ln2此时实数aln2－ln－1，33

2ln2所以实数a的取值范围为a>ln2－ln－1.33

【难点突破】

1ax＋a

16．解：(1)f′(x)＋22(x>0)．

x2x1

xxx

当a>0时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，33

f(x)min＝f(1)＝－a＝a＝－(舍)．

②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，a3e

则f(x)min＝f(e)＝1－＝a(舍)．

e22

③当－e0，f(x)在(x0，e)上为增函数．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－e，2综上知，ae.(3)由题意得x>lnx－在(1，＋∞)上恒成立，即a>xlnx－x在(1，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝xlnx－x(x>1)，则g′(x)＝lnx－3x＋1.12

令h(x)＝lnx－3x＋1，则h′(x)＝6x，32

ax

x

当x>1时，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝lnx－3x＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g′(x)

第二篇：2013届高考理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

课时作业(十四)

第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

[时间：35分钟分值：80分]

lnx1．函数y＝()x

B．eC．e2D.e

32．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为()

A．36B．18C．25D．

423．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

13629关系可近似地用如下函数给出：y3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时844

最多的时刻是()

A．6时B．7时C．8时D．9时

4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()1334VB．2VC.4VD.2

能力提升

1－x15．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在2，2上的最大值和最小值之和是()x

A．0B．1－ln2C．ln2－1D．1＋ln2

322x＋3x＋1x≤0，6．[2011·哈三中三模]函数f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为2，则ex>0

a的取值范围是()

ln2ln2B.0 A.22

ln2 C．(－∞，0]D.2

7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为()

A．20 km/hB．25 km/h

C．19 km/hD．km/h 基础热身

图K14－

18．[2011·江苏四市联考]今有一块边长为a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为()

2aaaA．aB.C.D.326

9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的1关系式为：p＝24 200－x2，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)．则该厂每月生产

5________ t产品才能使利润达到最大．(利润＝收入－成本)

10．[2011·潮州模拟]在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．

图K14－2

11．[2011·宁化模拟]如图K14－2，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a取________时，漏斗的容积最大．

12．(13分)[2011·无锡模拟]甲、乙两村合用一个变压器，如图K14－3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？

难点突破

13．(12分)[2011·长沙模拟]广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似地为x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万

美元(其中m为该时段美元的贬值指数，m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)ln(2x＋

1)－mx(万美元)．

(1)若某时期美元贬值指数m＝，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该

200

企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？

(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x万美元，已知该

企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

课时作业(十四)

【基础热身】

lnx′x－lnx·x′1－lnx

1．A [解析] 令y＝0，得x＝e，当x>e时，y′<0；当xx11

x0，故y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.ee

x

3－，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，2．A [解析] 令f(x)＝x2y＝x23可以验证x＝6时f(x)有最大值36.333

3．C [解析] y′＝－2－＋36t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，828

当6≤t<8时，y′>0，当8

4V

4．C [解析] 设底面边长为x，则高为h＝

3x2

4V4V∴S表＝3×x＋2×2＝x2，2·4x23x

4V∴S′表＝－3x，令S′表＝0，得x＝4V.x

经检验知，当x＝4V时S表取得最小值． 【能力提升】

x－1

5．B [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝.x

1

(1)若x∈2，1，则f′(x)<0；(2)若x∈(1,2]，则f′(x)>0，1

故x＝1是函数f(x)在区间2，2上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0；

11又f＝1－ln2，f(2)＝－ln2，22

1lne3－ln163所以f2－f(2)＝－2ln2＝，22

因为e3>2.73＝19.683>16，1所以f2－f(2)>0，1即f2>f(2)，112上最大值是f.即函数f(x)在区间2211，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在2上的最大综上知函数f(x)在区间22

值和最小值之和是1－ln2.6．D [解析] 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即ln2ln2a≤(0,2]上恒成立，故a≤.x2

7．A [解析] 设船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得33

k＝，∴Q3，500500

331396696x＋96x2＋，∴总费用y＝y′＝x－令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)500x500x500x时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20 km/h的速度行驶每千米的费用总和最小．

a30

x，设容积为V，则

V＝Sh＝(a－2x)2x，23

2a

＝x3－ax2＋x，a22

V′＝3x－2ax＋，4aaaaa

令V′＝0得x＝或x＝舍去)，当00；当

aaaa4aa∴xV最大＝＋6216362421654

9．200 [解析] 每月生产x吨时的利润为f(x)＝24 200－2x－(50 000＋200x)＝－x3

＋24 000x－50 000(x≥0)．

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯

一的极大值点，也是最大值点．

R [解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，那么h＝RR－x，解2

得

x2＝h(2R－h)，于是内接三角形的面积为 S＝x·h＝2Rh－h·h＝2Rh－h，1从而S′＝Rh3－h4)－Rh3－h4)′

h23R－2h113423

＝(2Rh－h)－Rh－4h)＝ 222R－hh3

令S′＝0，解得h＝，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R)上列表如下：

由此表可知，当x＝时，等腰三角形面积最大．

2611.[解析] 解法一：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么由r2＋h2＝

R2，Ra＝2πr，2R3121Ra2a24代入V＝πrh，得V＝π·2πR－2π＝a－，3312π4π

65a3a

再令T(a)＝a4T′(a)＝4a3－T′(a)＝0.4π2π5

2633a即4a－＝0，求得a＝，2π3

222检验，当00；当a<2π时，T′(a)<0，所以当a＝π时，333

T(a)取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T(a)取得最大值时，V也就取得最大值，2所以当a＝π时，漏斗的容积最大．

解法二：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝r2h

＝πr2R－r＝πr－r(0

再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝，可以检验当r＝R时，T(r)取得最大值，33

66226

也就是当r＝时，V(r)取得最大值．再把rR代入Ra＝2πr得a＝所以当a＝

3333

π时，漏斗的容积最大．

12．[解答] 设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．

由题意知所需输电线的长l为：l＝AC＋BC＝1＋x＋1.5＋3－x(0≤x≤3)，－23－x2x

l′＝，1＋x21.5＋3－x3－xx

令l′＝0，得＝0，1＋x1.5＋3－x3－xx

即，1＋x1.5＋3－x

3－x2x，1＋x1.5＋3－x1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x，2．5x＝3，x＝1.2，故当CD＝1.2(km)时所需输电线最短． 【难点突破】

13．[解答](1)由已知m＝，200

1x

f(x)ln(2x＋1)x>0，2200

199－2x11

∴f′(x)＝＝2x＋12002002x＋1

由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0

(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有ln(2x＋1)－mx≥x，220

ln2x＋1111

由ln(2x＋1)－mx≥x，得＋m≤220202x

ln2x＋1

令g(x)＝x∈[10,20]，2x2x－ln2x＋12x＋1

则g′(x)＝

2x2x－2x＋1ln2x＋1＝.2x2x＋1

令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，22ln2x＋1＋2x＋1则h′(x)＝2－2x＋1＝－2ln(2x＋1)<0，

可知h(x)在[10,20]上单调递减． 从而h(20)≤h(x)≤h(10)，又h(10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0.故可知g(x)在[10,20]上单调递减，ln41ln411

因此g(x)min＝m404020

ln41－2

故当美元的贬值指数m∈0时，该企业加工生产不会亏损．

40

第三篇：2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版

[第5讲 函数的单调性与最值]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是()

1A．f(x)＝x

B．f(x)＝(x－1)

xC．f(x)＝e

D．f(x)＝ln(x＋1)

12．函数f(x)＝1－在[3，4)上()2x

A．有最小值无最大值

B．有最大值无最小值

C．既有最大值又有最小值

D．最大值和最小值皆不存在3．[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为()

A．y＝cos2x，x∈R

B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

x－xe－eC．y＝x∈R2

3D．y＝x＋1，x∈R

4．函数f(x)＝x

x＋1________．

能力提升

5．[2013·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝()

A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}

C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}

6．[2013·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，5则f－＝()211A24

11C.D.42

1x27．[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y＝2

1A．(－∞，1)B.，1 2

11C.，1D.，＋∞ 22

x的值域为()

8．[2013·惠州二调] 已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()

A．(2－2，2＋2)B．[22，22] C．[1，3]D．(1，3)

xa（x<0），9．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)＝满足对任

（a－3）x＋4a（x≥0）

f（x1）－f（x2）

意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是()

x1－x2

A．(3，＋∞)B．(0，1)1C.0D．(1，3)4

1110．若函数y＝f(x)的值域是，3，则函数F(x)＝f(x)＋________． f（x）2

112

11．若在区间，2上，函数f(x)＝x＋px＋q与g(x)＝x＋在同一点取得相同的最小

x2

值，则f(x)在该区间上的最大值是________．

12．函数y＝

x

x＋a

(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．

1＋x

13．函数y＝的单调递增区间是________．

1－x14．(10分)试讨论函数f(x)＝

15．(13分)已知函数f(x)＝a－|x|

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

x

x＋1

难点突破

16．(12分)已知函数f(x)＝

x2

x－2

x∈R，且x≠2)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)＝x－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．

课时作业(五)

【基础热身】

1．A [解析] 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而反比例函数f(x)＝在x

(0，＋∞)上是减函数．故选A.2．A [解析] 函数f(x)在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.3．B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C，D，又∵y＝cos2x为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.方法二：由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增．

1x4.[解析] 因为x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝2x＋1111＝x＋2，当且仅当x＝1时等号成立，所以f(x)≤12xx＋

x

【能力提升】

5．A [解析] 由题意，结合函数性质可得x>1时f(x)>0，x<1时f(x)<0；x<0或x>4时g(x)<0，00，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．

5111

6．A [解析] 因为函数的周期为2，所以f＝f2＋＝f2222

155∴f－＝－f＝－A.222

11111t1011t2

7．C [解析] 因为x＋1≥1，所以0<21，令t＝2，则≤<，≤<1，x＋1x＋122222

所以≤y<1.故选C.x22

8．A [解析] 由题可知f(x)＝e－1>－1，g(x)＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1≤1，若

有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b＋4b－3>－1，解得22

9．C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数，所以x<0时，f1(x)＝a为减函

数，则a∈(0，1)；x≥0时，f(x)＝(a－3)x＋4a中a－3<0，且f(0)＝(a－3)×0＋4a≤a，11

得a≤综上知0

1101110.2，[解析] 令f(x)＝t，t∈3，问题转化为求y＝t＋t∈，3的值

3t22

域．

1110因为y＝t＋在1上递减，在[1，3]上递增，所以y∈2，.3t2

x·2，当x＝1时等号成立，所以x＝1时，g(x)

xx

p4q－p的最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，所以－12.解得p＝－2，q＝3.11．3 [解析] g(x)＝x＋≥2

12

所以f(x)＝x－2x＋3，所以f(x)在区间2上的最大值为3.2

12．a≥2 [解析] y＝

x

x＋a

1－

a

x＋a

(－2，＋∞)上为增函数，所以a>0，所以得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使y＝增函数，只需－2≥－a，即a≥2.x

x＋a

在(－2，＋∞)上为

1＋x

13．(－1，1)[解析] 由得函数的定义域为(－1，1)，原函数的递增区间即为

1－x

1＋x1＋x2

函数u(x)＝在(－1，1)上的递增区间，由于u′(x)＝′＝2故函数u(x)

1－x1－x（1－x）

1＋x＝的递增区间为(－1，1)，即为原函数的递增区间． 1－x

14．解：f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，x1x2（x1－x2）（1－x1x2）

有f(x1)－f(x2)2－2＝，2

x1＋1x2＋1（x21＋1）（x2＋1）22

其中x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.①当x1，x2∈(－1，1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，则x1x2＜1，1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为增函数． ②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，所以f(x)为减函数．

综上所述，f(x)在(－1，1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．

15．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a

x

设00，x2－x1>0.1111x1－x2

∴f(x1)－f(x2)＝a－a＝－<0.1

(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，x1x2x2x1x1x2

∴f(x1)

x

设h(x)＝2x＋，则a

x

可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以a≤h(1)，即a≤3.所以a的取值范围为(－∞，3]． 【难点突破】

x2[（x－2）＋2]4

16．解：(1)f(x)＝＝(x－2)＋4，x－2x－2x－2

令x－2＝t，由于y＝t＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增，t

在(－2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0，2)，(2，4)．

(2)∵f(x)在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]，即x∈[0，1]时，g(x)∈[－1，0]．

∵g(0)＝0为最大值，∴最小值只能为g(1)或g(a)，a≥1，若g(1)＝－1，则⇒a＝1；

1－2a＝－11≤a≤1，若g(a)＝－1，则2⇒a＝1.－a2＝－1

综上得a＝1.

第四篇：高三数学教案：高考数学总复习第一讲：函数与方程.

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com 高考数学总复习第一讲：函数与方程

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．

在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．

一、例题分析

例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．

分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．

例2．已知0

分析：为比较aα与(aα)α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a＜aα，从而aα<(aα)α．

比较aα与(aα)α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数

是减函数，由于1>a，得到aα<(aα)α．

由于a＜aα，函数y=ax(0(aα)α．

综上，．

解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．

例3．关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围．

分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0

高考网www.xiexiebang.com 现要求0

若将ax=3变形为，令，现研究指数函数a=3t，由0

通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．

例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（）．

（A）f(x)=x+4（B）f(x)=2-x

（C）f(x)=3-|x+1|（D）f(x)=3+|x+1|

解法

一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．

又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．

解法

二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，∵函数周期是2，∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．

∵函数是偶函数，∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．

于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：

即

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．

解法

三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，∵函数周期是2，学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com ∴f(x+4)=f(x)．

而f(x+4)=x+4，∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．

当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，且-x+2∈[2,3]．

∵函数是偶函数，周期又是2，∴

，于是在［–2，0］上，．

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．

本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．

例5．已知y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）．

（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，+∞］

分析：设t=2-ax，则y=logat，因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．

解法

一、由于a≠1，所以（C）是错误的．

又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的． 当0

于是应选（B）．

解法

二、设t=2-ax，y=logat

由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在［0，1］上才是减函数；

又x=1时，y=loga(2-a)，依题意，此时，函数有定义，故2–a>0

综上可知：1

例6．已知则g(5)=_____________-

，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，解法

一、由 去分母，得，解出x，得，故，于是，设，去分母得，解出x，得，学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com ∴ 的反函数 ．

∴ 解法

二、由 ∴，∴

．

，则

．

，即 根据已知： 的反函数为

，∴ ．

解法

三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．

故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，∴ ．

本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出

二、巩固练习

（1）已知函数值．

在区间 上的最大值为1，求实数a的（1）解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，得，故此解舍去．

，而顶点横坐标，最大值在顶点外取 当最大值为f(2)时，f(2)=1，合理．

，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com 当最大值在顶点处取得时，由，解得，当，此时，顶点不在区间内，应舍去．

综上，．

（2）函数 的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．

当a0，应舍去．

有，解得：a=1，b=2．

当a<0

当a0，应舍去． 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com 有，解得：a=1，b=2．

当a<0

，所以最小，解得：，综上，或

（3）求函数 的最小值．

解（3）分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求 的最小值．

（3）解法一：∵，∴x>2．

设，则，由于该方程有实根，且实根大于2，∴ 解之，μ≥8．

当μ=8时，x=4，故等号能成立．

于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3．

解法二：∵，∴x>2 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.xiexiebang.com 设，则 =

∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．

故 的最小值是3．

（4）已知a>0,a≠1，试求方程 有解时k的取值范围． 4）解法一：原方程 由②可得：

③，当k=0时，③无解，原方程无解；

当k≠0时，③解为，代入①式，．

解法二：原方程 原方程有解，应方程组

，即两曲线有交点，那么ak<-a或00)

∴k<-1或0

高考网www.xiexiebang.com（Ⅰ）解不等式f(x)≤1

（Ⅱ）求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．

5）解（Ⅰ），不等式f(x≤1)，即 由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，∴原不等式 即

∴当0

（Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1

∴ 又 ∴

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．

（ⅱ）当0

满足f(x1)=1,f(x2)=1，即

第五篇：2014届高三数学一轮复习《函数模型及其应用》理 新人教B版

[第12讲 函数模型及其应用]

(时间：35分钟 分值：80分)

基础热身

1．某种细胞，每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4 096个需经过()

A．12 hB．4 hC．3 hD．2 h

22．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是()

A．54B．58C．64D．68

3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()

A．800 m B．900 m C．1 000 m D．1 200 m

4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(h)的函数表达式是________．

能力提升

5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示是（）

6．某商品1月份降价10%，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则连续上涨三次的价格平均回升率为()310310A.1B.＋1 99

1033－1D.9

37．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月运送货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()

A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处

8．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()

2A．y＝100xB．y＝50x－50x＋100

xC．y＝50×2D．y＝100log2x＋100 C．

9．用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为________．

210．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x

和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．

11．[2013·北京朝阳区二模] 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此

*外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N)件．当x≤20时，年销售总

2收入为(33x－x)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产

品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)

a0.1＋15lnx≤6），a－x12．(13分)有时可用函数f(x)＝ x－4.4x－4x>6），描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．

(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

难点突破

13．(12分)[2013·泉州四校联考] 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝2x－a＋2a＋2，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈01，若用每天x＋123

f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

(1)令t＝*x

x＋1，x∈[0，24]．求t的取值范围．

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标．

课时作业(十二)

【基础热身】

121．C [解析] 2＝4 096，分裂了12次．

2．C [解析] 当t＝12时，f(t)max＝43，当t＝4时，f(t)min＝－21，最大温差为43－(－21)＝64.40 00040 0003．A [解析] 设这个广场的长为x m，所以其周长为l＝2xxx

≥800，当且仅当x＝200时取等号．

60t（0≤t≤25），4．x＝150（2.5

2.5

【能力提升】

5．A [解析] 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3106．A [解析](1－0.1)(1＋x)＝1⇒x1.93

7．A [解析] 设仓库建在离车站x km，则y1＝y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1

x

k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和y＝＋0.8x≥8，等号当且仅当x＝5时成立． x

8．C [解析] 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．

9．长3 m，宽1.5 m [解析] 设窗的长与宽分别为x，y，据题意

22x＋4y＝12，S＝xy＝(6－2y)y＝－2y＋6y(0

10．45.6 [解析] 设甲地销量为x辆，则乙地销量为15－x辆，总利润为y(单位：万

2元)，则y＝5.06x－0.15x＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)，2函数y＝－0.15x＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)的对称轴为x＝10.2.∵x∈N，故x＝10时y最大，最大值为45.6万元．

2*－x＋32x－100，020，x∈N

[解析] 只要把成本减去即可，成本为x＋100，故得函数关系式为y＝2*－x＋32x－100，020，x∈N.

当020时y<140，故年产量为16件时，年利润最大．

0.412．解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝.（x－3）（x－4）

而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故f(x＋1)－f(x)单调递减，∴当x≥7时，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降．

(2)由题意可知0.1＋15lne0.0520＝0.85，整理得＝ea－6a－6aa0.05，解得a＝×6＝20.50×6＝123.0，123.0∈(121，127]． e－1

由此可知，该学科是乙学科．

【难点突破】

13．解：(1)当x＝0时，t＝0；

1当0

∴tx＋12x110，即t的取值范围是0，.122x1x

21(2)当a∈0，时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋ 32

2－t＋3a＋t≤a，3则g(t)＝ 21t＋a＋，a

1∵g(t)在[0，a]上单调递减，在a上单调递增，2

21711且g(0)＝3ag＝ag(0)－g＝2a32624

71a＋，0≤a≤，644故M(a)＝∴当且仅当a≤时，M(a)≤2.92113a＋，a≤.342

441故当0≤a≤时不超标，当