天津市2013届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数中的应用 4、利用导数研究不等式证明(学生版)

第一篇：天津市2013届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数中的应用 4、利用导数研究不等式证明(学生版)

导数在研究函数中的应用4——利用导数研究不等式证明

思路点拨：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式fxgx在区间D上成立，等价于函数fxgx在区间D上的最小值等于零；而证明不等式fxgx在区间D上成立，等价于函数fxgx在区间D上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。

1、当eabe2时，证明不等式ln2bln2a

2、①当0t1时，证明不等式lnt1t；②k为正的常数，当a0时，曲线 21t4(ba)2e

C:yekx上有两点Pa,eka,Qa,eka，试证明过点P的C的切线与过点Q的C的切线的交点的横坐标是正的。

3、设a0，函数f(x)x1ln2x2alnx,(x0)。

F(x)在(0,)内的单调性并求极值； 0（1）令F(x)xf(x)，讨论

（2）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1。

4、已知函数f(x)ln(x1)x。

（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）若x1，证明：1

1ln(x1)x。x

15、已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0。设两曲2线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同。

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：f(x)g(x)(x0)。

6、已知函数f(x)xex(xR)。

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；

（3）如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22。

第二篇：天津市2013届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数中的应用 课堂验收(教师版)（推荐）

导数在研究函数中的应用

解答下列各题。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1、设a0，求函数f(x)

全解P2472、已知函数f(x)x

实验班P

53xxln(xa)(x(0,))的单调区间。2xa(2lnx),a0，讨论f(x)的单调性。

3、已知函数f(x)(xk)ek。2

（1）求f(x)的单调区间。

（2）若x(0,),f(x)

实验班P53

1e，求k的取值范围。

第三篇：导数在研究不等式中的应用举例

导数在研究不等式中的应用举例

陕西张磊

导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线,常见的题型有四种.基本方法:构造函数,利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1比较两个函数值大小(尤其比较两抽象函数)

(1)设函数f(x), g(x)在(a ,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当a

(A)f(x)> g(x)(B)f(x)+ g(a)> g(x)+ f(a)

(C)f(x)< g(x)(D)f(x)+ g(b)> g(x)+ f(b)

解构造函数F(x)= f(x)− g(x),则F′(x)=f′(x)− g′(x)>0 ,故函数F(x)在区间[a ,b]上递增 ,又a

(2)若函数y= f(x)在(0 ,+∞)上可导,且不等式xf′(x)> f(x)恒成立,又常数a ,b满足a>b>0 ,则下列不等式一定成立的是()

(A)bf(a)>af(b)(B)bf(a)bf(b)(A)af(a)

x

2f(a)a>0 , 故函数F(x)= ,即选A f(x)x 在区间(0 ,+∞)上递增,又a>b>0 ,从而

2求解不等式 >f(b)b

(3)设f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 ,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()

(A)(−3 ,0)∪(3 ,+∞)(B)(−3 ,0)∪(0 ,3)

(C)(−∞ ,−3)∪(3 ,+∞)(D)(−∞ ,−3)∪(0 ,3)解

构造函数F(x)= f(x)g(x),则F(x)= f(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 , 故函数F(x)在R上递增,又f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数且g(-3)=0结合题意提供的信息作出大致图像如图示,不难得到不等式解集为D 3含参不等式恒成立问题

解不等式恒成立问题的基本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求得参数的取值范围;也可分离变量构造函数,直接把问题转化为函数最值问题.(4)已知函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e为自然对数的底数),g(x)=x2−bx−2

①求函数f(x)的解析式

②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求实数b取值范围.解:①依题, 函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线的斜率k=2,即f′(e)=2又f′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,得a=1,∴f(x)= xlnx

②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,∴ 3 xlnx≥x2−bx−2在x∈(0 ,e]上恒成立.即b≥x−3lnx−在x∈(0 ,e]上恒成立,(分离变量法)

x2

令h(x)= x−3lnx−x∈(0 ,e]则h′(x)=

xx−1(x−2)

x2

由h′(x)=0

得x=1或x=2∴x∈(0 ,1)时h′(x)>0h(x)单调递增;x∈(1 ,2)

时h′(x)<0 ,h(x)单调递减 x∈(2 ,e)时, h′(x)>0 , h(x)单调递增

∴h(x)极大值=h(1)=-1,而h(e)=e−3−2e−1<-1 ∴h(x)max=h(1)=-1 ∴b≥h(x)max=-

1故实数b的取值范围为[-1 ,+∞)

(5)已知函数f(x)=ax+−2a(a>0)的图像在点(1 ,f(1))处的xb

切线与直线y=2x+1平行.①求a ,b满足的关系式

②若f(x)≥2lnx在[1 ,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解①f(x)=a−,根据题意f′(1)=a−b=2 ,即b=a−2

x

′

b

② 由①知, f(x)=ax+

a−2x

+2−2a

a−2x

令g(x)= f(x)−2lnx= ax+

则g(1)=0 ,g′(x)=a−当0

+2−2a−2lnx ,x∈[1 ,+∞),2−a

−x

a x−1(x−

>1 若1

2−aa

x2−aa，则g′(x)<0 , g(x)在[1 ,)上为减函数

2−aa

所以g(x)< g(1)=0 , f(x)≥2lnx在[1 ,当a≥1时,2−aa)上恒不成立

≤1 ,当x>1时, g′(x)>0 , g(x)在[1 ,+∞)上为增

函数,又g(1)=0 ,所以f(x)≥2lnx

综上所述,所求a的取值范围是[1 ,+∞)4利用导数证明不等式

对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.(6)设函数f(x)=x+ax2+blnx ,曲线y=f(x)过P(1 ,0),且在点P处的切线斜率为2

(i)求a ,b的值(ii)证明f(x)≤2x−2

f 1 =0b1+a=0解(i)f′(x)=1+2ax+由已知条件得 ′即

xf1=21+2a+b=2解得a=-1b=

3(ii)由(i)知 f(x)=x−x2+3lnx设g(x)= f(x)−(2x−2)= 2−x−x2+3lnx 则g′(x)=-1−2x+ =−

x3

x−1(2x+3)

x

当00;当x>1时 g′(x)<0

所以g(x)在(0 ,1)上单调递增,在(1 ,+∞)内单调递减 ，而g(1)=0 故当x>0时 , g(x)≤0 ,即f(x)≤2x−2

解题心得:利用导数证明不等式成立,重点是构造适当的函数,利用导数的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式.(7)已知f(x)=x2+lnx ,求证:在[1 ,+∞)上,f(x)的图像总在21

g(x)=x3的图像的下方.解析: 本题等价于证明:当x≥1时,不等式x2+lnx

构造函数F(x)= x+lnx− x ,则F(x)=x+−2x=

x

3′

1−x(1+x+2x2)

x

因为x≥1 所以F′(x)≤0 故F(x)在区间[1 ,+∞)上是减函数,从而 F(x)≤ F(1)=-即x2+lnx

第四篇：天津市2013届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数极值、最值中的应用 课堂验收(教师版)

导数在研究函数极值、最值中的应用

解答下列各题。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1、若函数f(x)ax3bx2cxd在x1时有极大值5，在x1时有极小值1，试确定函数f(x)的解析式。

学案P1142、设a0，f(x)

（1）求a的值；

（2）证明f(x)在(0,)是增函数。

学案P1083、设a0，求函数f(x)x2

学案P114

ax(x1)的单调区间，并在有极值时，求出极值。exaaex是R上的偶函数。

第五篇：“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

5、板书字体过小，照顾不及后排同学。