天津市2013届高三数学总复习之模块专题：21 不等式证明(教师版)

第一篇：天津市2013届高三数学总复习之模块专题：21 不等式证明(教师版)

不等式证明

证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法。均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧。不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查。例1：若0x1，证明loga(1x)loga(1x)，（a0且a1）。

分析1：用作差法来证明。需分为a1和0a1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明。

解法1：当a1时，因为01x1,1x1，所以loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0。当0a1时，因为01x1,1x1，所以loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0。综上，loga(1x)loga(1x)。

分析2：直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号。解法2：作差比较法。因为loga(1x)loga(1x)

1lga

lg(1x)lga



lg(1x)lga

2

lg(1x)lg(1x)

1lga

lg(1x)lg(1x)

1lga

lg(1x)0，所以loga(1x)loga(1x)。

说明：解法1用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法2用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快。

补充：（比较法）已知a2，求证：log解法1：log

a1alog

a1

alog

a

a1。

1log

a

a1a

1log

a

a1

log

a1a

a1logaa1。

logaa1

因为a2，所以，logaa10,logaa10，所以，log

logaa1logaa1





a1logaa1a

2a





loga



1



log

a

a

2

1

所以，log

a1

alog

a

a10，命题得证。

解法2：因为a2，所以，logaa10,logaa10，所以，loglog

a

a1a



a1

a11，

logaa1logaa1logaa1

log

a

由解法1可知：上式1。故命题得证。例2：设ab0，求证：aabbabba.分析：发现作差后变形、判断符号较为困难。考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式。证明：

abab

ba

ba

abab

b

aba

a

ab

b

ba

aabaa，∵ab0，∴1,ab0.∴()ab1 ()bbb

a

b

b

a

∴1.又∵ab0，∴abab.。

b

a

说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法)。作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小。例3：对于任意实数a、b，求证

ab

2（ab2)（当且仅当ab时取等号）。

分析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有（ab2)，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：ab2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：∵ a2b22ab（当且仅当a2b2时取等号）

两边同加(ab):2(ab)(ab)，即：

ab2

4（ab2

22)（1）

又：∵a2b22ab（当且仅当ab时取等号），两边同加(a2b2):2(a2b2)(ab)2 ∴

ab2

（ab2)，∴（ab2

22)（ab2)（2）

由（1）和（2）可得

ab2

（ab2

。)（当且仅当ab时取等号）

说明：此题参考用综合法证明不等式。综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。

例4：已知a、b、cR，abc1，求证

a1

1b1a1c9.1b1c

分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式

变得较复杂而不易得到证明。由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如

ab

ab，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧。证明：∵abc1∴

(1

baca)（ab1

cb

1a



1b

a

c





1cb

c



abc

a



abc

bab)（ca



abc

cac)（cb

bc))(1)3（ba



∵∴

ba



1a

ab



1b

1c

cacb

2，同理：2，2。acbc

32229.

说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式。题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的。

例5：已知abc，求证：

1ab



1bc



1ca

0。

分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程。（分析法书写过程）证明1：为了证明只需要证明

1ab



1bc



1ab



1bc



1ca

0

1ac

1ab

1ca,1

0

∵abc∴acab0,bc0∴∴

1ab



1bc



acbc

0

1ac

成立∴

1ab



1bc

成立

（综合法书写过程）证明2：∵abc∴acab0,bc0 ∴

1ab



1ac，1bc



0，∴

1ab



1bc



1ac

成立，∴

1ab



1bc



1ca



成立

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚。例6：已知ab0，求证：

(ab)8a



ab2

ab

(ab)8b。

分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好。证明：欲证

(ab)8a



ab2

ab

(ab)8b，只须证

ab2a

aab

(ab)4a

ab2ab

(ab)4b。

ab即要证

2a(aabb)

2b

2，即要证

ab

ab2b。

即要证

a2aba

b

1

a2bab

b，即要证

2

ab

b。

即要证1

21，即

ba

1

ab，即要证

ba

1

ab

（*）

∵ab0，∴（*）显然成立，故

(ab)8a



ab2

ab

(ab)8b

说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件。分析法通常

采用“欲证—只要证—即证—已知”的格式。例7：设n是正整数，求证

12

1n11n1



1n21n2



12n12n

1。

分析：要求一个n项分式

的范围，它的和又求不出来，可

以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围。证明：由2nnk当k当k

1时，n(k1,2,,n)，得

1n

12n12n



1nk1n2



1n1n

。......12n

nn1。

12n12n



n11

；当k，∴

2

时，n2n



n

时，1n

nn



1n1



1n2



说明1：用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境。例如证明





1n



。由

1k



1k1



1k，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如

果从第2项放缩，可得小于2。当放缩方式不同，结果也在变化。

说明2：放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。例8：求证1证明：∵

1n213





1n

2。

1n(n2)



1n



1n



1n(n1)



1n1，∴1



1n

1111111

122。

n1223n1n

说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻。本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法。这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键。例9：证明不等式：1

1213

1n

2n，nN。

讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。解法1：①当n1时命题成立。②假设nkkN时命题成立，即：1

121313

1k

2k。

则当nk1时，不等式的左端1不等式的右端2k1。由于2k12k





2k11



1k



1k1

2k

1k1

k1k



1k1



2k1

k



1k1



2k1

k1



1k1

0。

所以，2k

k1

2k1，即nk1时命题也成立。

由①②可知：原不等式得证。

从上述证法可以看出：其中用到了k

2k1

k

k1这一事实，从而达到了

和

1k1

之间的转化，也即2k1k和

1k1

之间的转化，这就

提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，若直接证明，直接化简是不可能的，但如果利用则可以达到目的，由此得解2。解法2：因为对于任意自然数k，都有

12

1n2

1k



2k

k1

2



k

k1进行放缩，

1k



2k

k1

2



k

k1，所以，

12



2



02



322



nn1

，从而不等式得证。

2n

第二篇：【天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列(文)(学生版)

数列（文）

考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。

1、已知数列xn的首项x13，通项公式xn2npnq（nN,p,q为常数），且x1,x4,x5成等差数列，求：（1）p,q的值；

（2）数列xn的前n项的和Sn的公式。

2、在数列an中，a11，an12an2n。（1）设bnan。证明：数列bn是等差数列； 2n1（2）求数列an的前n项和Sn。

3、设数列an的前n项和为Sn，已知ban2nb1Sn（1）证明：当b2时，ann2n1是等比数列；（2）求an的通项公式

4、已知数列{an}的首项a122an，an1，n1,2,3,…。3an11（1）证明：数列1是等比数列；

an

n（2）数列的前n项和Sn。

an

15、设数列{an}满足a11，a22，an(an12an2)，(n3,4,3)。数列{bn}满足b11,bn(n2,3,)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有1bmbm1bmk1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cnnanbn(n1,2，nn

6、数列{an}的通项公式为ann2cos2sin2，其前n项和为Sn。

33)，求数列{cn}的前n项和Sn。

（1）求Sn；（2）设bn

满足a11,a22,an2(1cos27、数列{an}满足

nn)ansin2,n1,2,3,22.。S3n，求数列{bn}的前n项和Tn。n4n（1）求a3,a4,并求数列an的通项公式；（2）设bn

8、已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an3n6，bn2n7，nN*，若将**集合{x|xan,nN}{x|xbn,nN}中的元素从小到大依次排列，构成一个a2n1,Snb1b2a2n1bn.。证明：当nn6时，6时，Sn2。.n新的数列{cn}。

（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,（3）求数列{cn}的通项公式。

9、在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0。（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn。,a2n,；

an1ak1（3）证明：存在kN，使得对任意nN*均成立。anak*

10、已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1，n2,q0。

(nN*)*，证明bn是等比数列； nN（1）设bnan1an，（2）求数列an的通项公式；

（3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项。

11、已知等差数列an的公差为d不为0，设Sna1a2qanqn1，Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN*。

（1）若q1,a11,S315，求数列an的通项公式；（2）若a1d且S1,S2,S3成等比数列，求q的值；

2dq(1q2n)（3）若q1，证明1qS2n1qT2n，nN*。21q

12、在数列an中，a10，且对任意kN*，a2k1,a2k,a2k1成等差数列，其公差为2k。

（1）证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列an的通项公式；

32232n2（3）记Tn...，证明2nTn2n2。

2a2a3an

3(1)n13、已知数列{an}与{bn}满足：bn1anbnan121，bn，nN*，2n且a12。

（1）求a2,a3的值；

（2）设cna2n1a2n1，nN*，证明cn是等比数列；（3）设Sn为{an}的前n项和，证明

SSS1S21...2n12nn，nN*。a1a2a2n1a2n3

第三篇：【天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列(理)(学生版)

数列（理）

考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。

1、在数列an中，a11，an12an2n。（1）设bnan。证明：数列bn是等差数列； n12（2）求数列an的前n项和Sn。

2、设数列an的前n项和为Sn，已知ban2nb1Sn（1）证明：当b2时，ann2n1是等比数列；（2）求an的通项公式

3、已知数列{an}的首项a122an，an1，n1,2,3,…。3an11（1）证明：数列1是等比数列；

ann（2）数列的前n项和Sn。

an

4、已知数列an满足：an1，a122cnan1an，nN。

1222，31an121an，记数列bn1an，2（1）证明数列bn是等比数列；（2）求数列{cn}的通项公式；

（3）是否存在数列{cn}的不同项ci,cj,ck，ijk，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项ci,cj,ck，ijk；若不存在，请说明理由。

5、已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

a1bna2bn1a3bn2an1b2anb12n1n2。

（1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列；（2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

（3）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求证：i1n13。aibi2)。数列{bn}

16、设数列{an}满足a11，a22，an(an12an2)，(n3,4,3满足b11,bn(n2,3,)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有1bmbm1bmk1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cnnanbn(n1,2,)，求数列{cn}的前n项和Sn。

7、有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk，(m,k1,2,3，n, n≥3)，公差为dm，并且a1n,a2n,a3n，ann成等差数列。

（1）证明dmp1d1p2d2，3mn，p1,p2是m的多项式，并求p1p2的值；（2）当d11, d23时，将数列{dm}分组如下：(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),（每组数的个数构成等差数列），设前m组中所有数之和为(cm)4(cm0)，求数列{2cmdm}的前n项和Sn。

（3）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（2）中的Sn，求使得不等式1(Sn6)dn成立的所有N的值。50

nn

8、数列{an}的通项公式为ann2cos2sin2，其前n项和为Sn。

33（1）求Sn；

S3n，求数列{bn}的前n项和Tn。n4nnn满足a11,a22,an2(1cos2)ansin2,n1,2,3,9、数列{an}满足

22（2）设bn.。

（1）求a3,a4,并求数列an的通项公式；（2）设bna2n1,Snb1b2a2n1bn.。证明：当nn6时，6时，Sn2。.n10、已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an3n6，bn2n7，nN*，若将**集合{x|xan,nN}{x|xbn,nN}中的元素从小到大依次排列，构成一个新的数列{cn}。（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,（3）求数列{cn}的通项公式。

11、在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0。（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn。,a2n,；

an1ak1（3）证明：存在kN，使得对任意nN*均成立。anak*

12、在数列an与bn中，a11,b14，数列an的前n项和Sn满足nSn1(n3)Sn0，且2an1为bn与bn1的等比中项，nN*。

（1）求a2，b2的值；

（2）求数列an与bn的通项公式；

*2nN（3）设Tn(1)1b1(1)2b2…(1)nbn，证明n≥3。NT2n，nn，aaa*

13、已知等差数列an的公差为dd0，等比数列bn的公比为q，且q1。设Sna1b1a2b2anbn，Tna1b1a2b2(1)n1anbn，nN*。

（1）若a1b11，d2,q3求S3的值；

2dq(1q2n)*nN（2）若b11，证明1qS2n1qT2n，； 21q（3）若正整数n满足2nq，设k1,k2，kn和l1,l2,，2，,n ,ln是1的两个不同的排列，c1ak1b1ak2b2...aknbn，c2al1b1al2b2...alnbn，证明c1c2。

14、在数列an中，a10，且对任意kN*，a2k1,a2k,a2k1成等差数列，其公差为dk。

（1）若dk2k，证明a2k,a2k1,a2k2成等比数列；

（2）若对任意kN*，a2k,a2k1,a2k2成等比数列，其公比为qk。

1

①设q11，证明是等差数列；

q1kn3k22n2。

②若a22，证明2n2k2ak15、已知数列{an}与{bn}满足：bnanan1bn1an2且a12,a24。（1）求a3,a4,a5的值；

3(1)n，nN*，0，bn2（2）设cna2n1a2n1，nN*，证明cn是等比数列；

Sk7(nN*)。（3）设Ska2a4a2k，kN，证明6k1ak*4n

第四篇：天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数学归纳法及其应用举例(教师版)

数学归纳法及其应用举例

1、基本概念

学案P38

①

②

③

④

⑤

2、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤 教材P933、应用举例——用数学归纳法证明下列命题

1Snk(n1)(2n1)。①（数学归纳法证明恒等式）6k1n

2教材P9

412Sk[(n1)]②（数学归纳法证明恒等式）。n2k1n

3③（数学归纳法证明不等式）当nN*,n5时，恒有2nn2。学案P39

④（数学归纳法证明整除性问题）试证当nN时，*3n17n1能被9整除。学案P40

⑤（数学归纳法证明几何问题）平面上有n条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线互相分割成n2条线段或射线。学案P404、补充练习——用数学归纳法证明：

①（数学归纳法证明恒等式）1

i1ni121i1n12n1。33

学案P39

②（数学归纳法证明不等式）11112n，nN； 学案P39

讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。

①当n1时命题成立。

②假设nkkN时命题成立，即：11112。则当nk1时，不等式的左端1

不等式的右端2k1。由于22111112 

12112 

1210。所以，2k2k1，即nk1时命题也成立。由①②可知：原不等式得证。

③（数学归纳法证明整除性问题）试证当nN时，3*2n28n9能被64整除。学案P39 ④（数学归纳法证明整除性问题）试证当nN时，11n2122n1能被133整除。

全解P102

第五篇：高三数学(理科)二轮复习-不等式

2014届高三数学第二轮复习

第3讲 不等式

一、本章知识结构：

实数的性质

二、高考要求

（1）理解不等式的性质及其证明。

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

（4）掌握某些简单不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析

1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：

（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。

第1页（共6页）

（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。

（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。

四、典型例题

不等式的解法

【例1】 解不等式：解：原不等式可化为：

a

1a x

2(a1)x(2a)

＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.x2

当a＞1时，原不等式与(x－

a2a2a2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若a1a1a

1a2)∪(2，+∞).a1

＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，当a＜1时，若a＜0，解集为（a2a2，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)a1a1

综上所述：当a＞1时解集为(－∞，a2a2)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)； a1a1

a2，2).a1

当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为（【例2】 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值

范围.解：M［1，4］有n种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=

［1，4］(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，a30

f(1)0,且f(4)018187a0

那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4即，解得：2＜a＜，71a4,且0a0

a1或a2

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，18).7

不等式的证明

【例1】 已知a2，求证：loga1alogaa1 解1：loga1alogaa1

1logaa1logaa11

． logaa1

logaa1logaa1因为a2，所以，logaa10,logaa10，所以，logaa1logaa1

logaa1logaa12



loga

a

1

loga

a

1

所以，loga1alogaa10，命题得证．

【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+

2511)(b+)≥.ab

4证：(分析综合法)：欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤

或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证.44

1213

1n

2n(n∈N)

*

【例3】 证明不等式1

证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+

121

1＜2k，则1



3

1k1

2k

1k1



2k(k1)1

k1



k(k1)1

k1

121

2k1,1∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+另从k到k+1时的证明还有下列证法：

＜2n.2(k1)12k(k1)k2(k1)(k1)(kk1)20,2k(k1)12(k1),k10,2k又如:2k12k

2k

1k

12k1.1k1

2k1.

1k1,2k1k



2k1k1

证法二：对任意k∈N*，都有：

2(kk1),kkk1

因此122(21)2(2)2(nn1)2n.2nk1



概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若ab,cd，则acbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若

ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，则

ab

； ）

cd

nn

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则a

b

4．若ab0，ab，则

1；若ab0，ab，则。如 abab

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；③若ab0,则aabb；④若ab0,则⑤若ab0,则

； ab

ba

；⑥若ab0,则ab； ab

ab11

⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。

cacbab

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______（答：13xy7）；（3）已知abc，且abc0,则

1c的取值范围是______（答：2,）

2a

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t

1的大小 logat和loga

21t11t1

（答：当a1时，logatloga（t1时取等号）；当0a1时，logatloga（t1

2222

（1）设a0且a1,t0，比较时取等号））；

1a24a2

（2）设a2，pa，q2，试比较p,q的大小（答：pq）；

a2

（3）比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

4（答：当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜2logx2；当x

3时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17

字方针。如

（1）下列命题中正确的21

A、yx的最小值是2B、y的最小值是

2x4

4C、y23x(x

0)的最大值是2D、y23x(x

0)的最小值是2C）；

xx

xy

（2）若x2y1，则24的最小值是______

（答：；

1（3）正数x,y满足x2y1，则的最小值为______

（答：3；

xy

4.常用不等式有：（1

（2）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；222

2a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若ab0,m0，则

bbm

（糖水的浓度问题）。如 

aam

如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).11111112 nn1n(n1)nn(n1)n

1n

22222

2如（1）已知abc，求证：abbccaabbcca ；

222222

(2)已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

xy11

（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：； 

xaybab

abbcca

(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lglglglgalgblgc；

22222222

2（5）已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

常用的放缩技巧有：

*

(6)若n

N(n

1)

n；

|a||b||a||b|

； 

|ab||ab|

1（8）求证：12222。

23n

(7)已知|a||b|，求证：

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因

式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x2}）；

（2）

不等式(x0的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,8

1)）8

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

5x

； 1（答：(1,1)(2,3)）

x22x

3axb

0的解集为x

2（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式____________（答：(,1)(2,)）.八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

； x|2|x|（答：xR）

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）（4）两边平方：如

若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：}）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

； 1，则a的取值范围是__________（答：a1或0a）

33ax21

（2）解不等式x(aR)（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x或x0}；a0

ax1a

时，{x|x0}或x0}）

a

（1）若loga

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0 的解集为(,1)，则不等式

x2

（－1,2））0的解集为__________（答：

axb

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.如设f(x)xx13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思

想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA 若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

如（1）设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，c的取值范围是____

（答：1,）；

（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：a1）；

2（3）若不等式2x1m(x1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围（答：（

7131,））； 22

(1)n13n

（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（答：[2,)）；

n2

（5）若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA； 若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如

已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：a1）3).恰成立问题

若不等式fxA在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxA的解集为D； 若不等式fxB在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxB的解集为D.