2011年数学第一轮复习专题(理)第四章 第一单元2导数在研究函数中的应用

第一篇：2011年数学第一轮复习专题(理)第四章 第一单元2导数在研究函数中的应用

第二节导数在研究函数中的应用

一、选择题

1．(2009年广州一模)设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a

()

A．f(x)g(b)>f(b)g(x)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(x)>f(b)g(b)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系

中，不可能正确的是()

23．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)

≥0，则f1()f′053A．3B.C．2D.2

24.(2009年韶关调研)已知函数f(x)的定义域为[－2,4]，且f(4)

＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象

(a0)

如下图所示．则平面区域b0所围成的面积是()

f(2ab)

1A．2B．4C．5D．8

5．(2009年天津重点学校二模)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0.30.30)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝3f(3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝(log3)f(log3)，则a，b，c的大小关系是()

A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b

二、填空题

26．函数f(x)＝x－2ln x的单调减区间是________．

127．若f(x)＝－＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．

28．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙

脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为________．

三、解答题

129．已知函数f(x)＝＋ln x－1.2

(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；

1919

(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝的图象的下方．

nnn*

(3)(理)求证：[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N)．

10．已知a为实数，f(x)＝(x－4)(x－a)．

(1)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．

参考答案

1．C 2.D

3．解析：f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0对于任意实数x都有f(x)≥0得a>0，b－4ac≤0，∴b≤4ac，∴c>0，f1a＋b＋ca＋cac

1≥＋1≥1＋1＝2，当取a＝c时取等号．

f′0bbb

答案：C

4．B 5.C

22(x1)

6．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－≤0及x>0知0

b

7．解析：由题意可知f′(x)＝－x<0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，即b

当下端移开1.4m时，t0＝，315112

又s′＝－(25－9t)－·(－9·2t)＝9t

227

所以s′(t0)＝9·

1259t，1259（72)15

＝0.875(m/s)．

答案：0.875(m/s)

9．解析：(1)∵f′(x)＝x＋

x

当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，121

∴f(x)max＝f(e)＝，f(x)min＝f(1)＝－221223

(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＋ln x－1－

x12x(1x)(1x2x)12

则F′(x)＝x2x＝＝.xxx

∵当x>1时F′(x)<0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，12

∴F(x)

232

即在(1，＋∞)上，f(x)

∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．

(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋，x

当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，∵[f′(x)]n－f′(xn)＝(x)(x

n2n3

＝C1＋C2＋„＋Cnnxnxn

－

－

－1

x

nn

1)xn

x

①

[f′(x)]n－f′(xn)＝Cnn

－1

x

1n－211n－2，② －Cn－＋„＋Cnx

x

11n2112n1n

①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝((xn2)Cn)≥CnCC22 nn2x

(当且仅当x＝1时“＝”成立)．

∴当n≥2时，不等式成立．

nnn

综上所述得[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N＋)．

10．解析：(1)由原式得f(x)＝x－ax－4x＋4a，∴f′(x)＝3x－2ax－4.1

由f′(－1)＝0得a＝，此时有f(x)＝(x－4)(x)，f′(x)＝3x－x－4.12

由f′(x)＝0得x＝或x＝－1，当x在[－2,2]变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：

∵f(x)极小＝f()f(x)极大＝f(－1)＝，2723

又f(－2)＝0，f(2)＝0，950

所以f(x)在[－2,2].227

(2)法一：f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，4a＋8≥0即

8－4a≥0，∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2]．

aa＋12

法二：令f′(x)＝0即3x－2ax－4＝0，由求根公式得：x1,2＝(x1

第二篇：“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

5、板书字体过小，照顾不及后排同学。

第三篇：导数在研究函数问题中的应用

龙源期刊网 http://.cn

导数在研究函数问题中的应用

作者：朱季生

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第04期

函数是高中数学的重要内容和主干知识，而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述.一、函数的凹凸性与拐点的有关性质

第四篇：1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤

2.教学重点/难点

【教学重点】：

利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】：

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤

3.教学用具

多媒体

4.标签

1．3．3函数的最大（小）值与导数

教学过程

第五篇：3．3 导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。过程与方法

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程．

情感、态度与价值观

通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．

2.教学重点/难点

教学重点

探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 教学难点

探索函数的单调性与导数的关系。

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

复习引入

请同学们思考函数单调性的概念？ 函数 y = f(x)在给定区间 D上，D=(a , b)当 x

1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时

①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，则 f(x)在D上是增函数； ②都有 f(x 1)＞ f(x 2)，则 f(x)在D上是减函数；

若 f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间，则 f(x)在D 上具有严格的单调性。

【师】判断函数单调性有哪些方法？

①定义法;

②图象法;

③已知函数

以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究

[1]函数的单调性与其导函数的关系 【合作探究】

探究1 函数的单调性与其导函数的关系

【师】请同学们思考高台跳水运动员高度函数与速度函数之间的关系？ 【板演/PPT】

下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象, 图

(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.【活动】思考交流。

探究2：运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地，②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地，【思考】以上情况是否具有一般性呢？

观察下面函数的图像（图1.3-3），探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

近单调递减． 【结论】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间（a,b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=h(x)在这个区间内单调递增； 如果f'(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．

探究3 如果在某个区间内恒有h'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内有什么特征？

【提示】特别的，如果在某个区间内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数．

探究4．求解函数y=f(x)单调区间的步骤：（1）确定函数y=h(x)的定义域；

（2）求导数y'=h'(x)；

（3）解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 【典例精讲】

例1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3－3－1所示，则导函数y＝f′(x)可能为()

【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确． 【答案】 D 【小结】判断导数与函数图象间的关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象；其次要注意函数的单调性与其导函数的正负的关系． 【变式训练】(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()

【解析】从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确． 【答案】 B 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

【小结】根据导数确定函数的单调性步骤： 1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.例3．已知函数＋∞)上是单调递增时，求a的取值范围．

当函数f(x)在x∈[2，【小结】在某个区间上，f′(x)>0(或f′(x)<0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)>0(或f′(x)<0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．

【变式训练】若将本例中的x∈[2，＋∞)改为x∈(－∞，2]，且使f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是什么？ 当堂检测

1．函数y=3x－x3的单调增区间是（）(A)(0，+∞)

(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)

(D)(1，+∞)2．设

则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)

(B)(－2，0)

(C)(－∞，)(D)(，0)3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是（）(A)单调增函数

(B)单调减函数

(C)在(0,)上是减函数，在(, 1)上是增函数

(D)在(, 1)上是减函数，在(0,)上是增函数

4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是

.5．函数f(x)=cos2x的单调区间是

。【参考答案】 1.C 2.C 3.C 4.(－2，0)；(－∞，－2)及(0，+∞)5.课堂小结 【课堂小结】

1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f'(x)。

(2)解不等式f'(x)>0(或h'(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）

2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f'(x)(2)确认f'(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P31习题1.3 A组1,2,3.板书