2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)

第一篇：2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)

2013届高考数学（理）一轮复习教案：第三篇导数及其应

用

专题一 高考函数与导数命题动向

高考命题分析

函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．

高考命题特点

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：

(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．

(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．

(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．

(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．

(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．

高考动向透视

函数的概念和性质

函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．

【示例1】►(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()．

A．－3B．－1C．1D．

3解析 法一 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二 设x＞0，则－x＜0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案

A

本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇

函数的性质，直接通过f(1)＝－f(－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x＞0时f(x)的解析式，再计算f(1)．

指数函数、对数函数、幂函数

指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．

1【示例2】►(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝5log30.3，则()．

A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b

1010

解析 因为c＝5－log30.3＝5log33，又log23.4＞log3 3.4＞log331＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案

C

本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利

用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．

函数的应用

函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．

【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．

A．6B．7C．8D．9

解析 由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案

B

本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化

与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．

导数的概念及运算

从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．

【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．

解析 由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x0

－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)． 答案

(1,0)

本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力． 利用导数求函数的单调区间、极值、最值

从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．

【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 22

当x＝3时，y＝f(x)有极值，则f′3＝0，可得

4a＋3b＋4＝0②

由①②解得a＝2，b＝－4.设切线l的方程为y＝3x＋m 10

由原点到切线l的距离为10，|m|10则＝，解得m＝±1.3＋110∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，10

2x＝时，y＝f(x)10

3∴f′(x)＝3x＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：

229

5在x＝3处取得极小值f3＝27又f(－3)＝8，f(1)＝4，95

∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解

函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

突出以函数与导数为主的综合应用

高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．

【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28„是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．

(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直

1

线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最

大的实数M；若不存在，说明理由． 解(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x.从而f′(x)＝aln x.因为a≠0，故

①当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1； ②当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x.1

由(2)可得，当x在区间e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：



m＝1，21

又2－e2，所以函数f(x)x∈ee的值域为[1,2]．据此可得，若则

M＝2.1

对每一个t∈[

m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈ee都有公共点；

1

并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都

没有公共点．

综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t1

∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都有公共点．



本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括

能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．

第二篇：2012届高考数学一轮复习教案：13.1 导数的概念与运算

*第十三章 导数

●网络体系总览

导数实际背景导数定义导函数基本导数公式求简单函数的导数导数的应用导数运算法则判断函数的单调性判断函数的极大(小)值求函数的最大(小)值导数几何意义 ●考点目标定位

1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南

在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.第1页（共7页）

13.1 导数的概念与运算

●知识梳理

1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率

y.xx0（3）取极限，得导数f（x0）=limy.x2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.3.求导公式

－(c)=0，(xn)=n·xn1（n∈N*）.4.运算法则 如果f（x）、g（x）有导数，那么［f（x）±g（x）]=f（x）±g′（x），［c·f（x）]= cf（x）.●点击双基

1.若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于

A.4

B.4x

yx

C.4+2Δx

D.4+2Δx2 y=4+2Δx.x解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，答案：C 2.对任意x，有f（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为

A.f（x）=x4－2

B.f（x）=x4+2 C.f（x）=xD.f（x）=－x4 解析：筛选法.答案：A 3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为 A.6

B.18

C.54

D.81 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.答案：C 4.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.6c又P（－2，6+c），∴=－5.2∴c=4.答案：4 5.设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是两两不等的常数），则

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abc++=________.f(a)f(b)f(c)解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴f（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又f（a）=（a－b）（a－c），同理f（b）=（b－a）（b－c），（c－b）.f（c）=（c－a）代入原式中得值为0.答案：0 ●典例剖析

【例1】（1）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，A.［0，π］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为 411］

B.［0，］ a2a C.［0，|

b|］ 2a D.［0，|

b1|］ 2a（2）（2004年全国，3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y=3x－4

B.y=－3x+2

C.y=－4x+3

D.y=4x－5 41（3）（2004年重庆，15）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是______.33（4）（2004年湖南，13）过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－

π］，4bbb的距离d=x0－（－）=x0+.2a2a2a又∵f（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［b1bb1，］.∴d=x0+∈［0，］.2a2a2a2a（2）∵点（1，－1）在曲线上，y′=3x2－6x，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y+1=－3（x－1）.41（3）∵P（2，4）在y=x3+上，33又y′=x2，∴斜率k=22=4.∴所求直线方程为y－4=4（x－2），4x－y－4=0.（4）y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.∴所求直线方程为y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.答案：（1）B（2）B（3）4x－y－4=0（4）2x－y+4=0 评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用? 答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

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剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x－54，此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=

1×2×54=54.2评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标.剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.y解：∵直线过原点，则k=0（x0≠1）.x0由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03－3x02+2x0，y∴0=x02－3x0+2.x0又y′=3x2－6x+2，∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=f（x0）=3x02－6x0+2.∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2.整理得2x02－3x0=0.解得x0=3（∵x0≠0）.231这时，y0=－，k=－.84因此，直线l的方程为y=－

133x，切点坐标是（，－）.428评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

1.函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是 A.x2－x+1

B.（x+1）（2x－1）

C.3x2 D.3x2+1 解析：∵f（x）=x3+1，∴f（x）=3x2.第4页（共7页）

答案：C 2.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则 A.f（x0）>0

B.f（x0）<0 C.f（x0）=0

D.f（x0）不存在 解析：由题知f（x0）=－3.答案：B 3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若f（－1）=4，则a的值等于________.解析： f（x）=3ax2+6x，从而使3a－6=4，∴a=答案： 10 310.34.曲线y=2x2+1在P（－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P（－1，3）在曲线上，k=f（－1）=－4，y－3=－4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=0 5.已知曲线y=x2－1与y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解：在x=x0处曲线y=x2－1的切线斜率为2x0，曲线y=3－x3的切线斜率为－3x02.1∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=3.61答案： 3

66.点P在曲线y=x3－x+

2上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.3解：∵tan=3x2－1，∴tan∈［－1，+∞）.当tan∈［0，+∞）时，∈［0，当tan∈［－1，0）时，∈［∴∈［0，π）； 23π，π）.4π3π）∪［，π）.24培养能力

7.曲线y=－x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；

（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）kAB=40=－2，24∴y=－2（x－4）.∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.（2）y=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.8.有点难度哟！

若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3－a求导数是

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y=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.（1）当x=1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.（2）当x=－1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.综上可知，实数a的值为－3或1.9.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：y=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，∴b=－2.又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究创新

10.有点难度哟！

曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.●思悟小结

1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.●教师下载中心 教学点睛 1.f（x0）=lim(x0x)f(x0)的几种等价形式：

x0xf(x)f(x0)f（x0）=limxx0xx0h0=lim=limf(x0h)f(x0)

hf(x0)f(x0h)

hh02.曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为 y－f（x0）=f（x0）（x－x0）.3.若质点的运动规律为s=s（t），则质点在t=t0时的瞬时速度为v=s（t0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.第6页（共7页）

拓展题例

【例题】 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=－2x2－1相切，求点P的坐标.解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±273，y0=.332723，）或（－

333∴P点的坐标为（3，7）.3第7页（共7页）

第三篇：高考二轮复习数学理配套讲义15 函数与方程、函数的实际应用

微专题15　函数与方程、函数的实际应用

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T9·函数的零点

2018·全国卷Ⅲ·T15·函数的零点

2018·浙江高考·T11·方程组的实际应用

2017·全国卷Ⅲ·T11·函数的零点

从近5年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。

考向一

判断函数零点的个数或所在区间

【例1】(1)函数f

(x)＝log2x－的零点所在的区间为()

A．

B．

C．(1,2)

D．(2,3)

(2)函数f

(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________。

解析(1)函数f

(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f

(x)在(0，＋∞)上为增函数。f

＝log2－＝－1－2＝－3<0，f

(1)＝log21－＝0－1<0，f

(2)＝log22－＝1－＝>0，f

(3)＝log23－>1－＝>0，即f

(1)·f

(2)<0，所以函数f

(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内。故选C。

(2)f

(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f

(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示。令ln(x＋1)＝1，则x＝e－1。观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f

(x)有2个零点。

答案(1)C(2)2

(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：

①函数零点值大致存在区间的确定。

②零点个数的确定。

③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定。

(2)判断函数零点个数的主要方法：

①解方程f

(x)＝0，直接求零点。

②利用零点存在定理。

③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题。

变|式|训|练

1．(2018·南宁摸底)设函数f

(x)＝lnx－2x＋6，则f

(x)零点的个数为()

A．3

B．2

C．1

D．0

解析　令f

(x)＝0，则lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f

(x)零点的个数，容易看出函数f

(x)零点的个数为2，故选B。

答案　B

2．已知函数f

(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f

(x＋2)＝f

(x)；③当x∈[－1,1]时，f

(x)＝－|x|＋1，则方程f

(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()

A．5　　　　B．6

C．7　　　　D．8

解析　画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解。故选A。

答案　A

考向二

根据函数的零点求参数的范围

【例2】　已知函数f

(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()

A．－　　　B．

C．　　　D．1

解析　解法一：令f

(x)＝0，则x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，则g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝。故选C。

解法二：f

(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f

(x)，所以f

(x)的图象关于x＝1对称，而f

(x)有唯一的零点，则f

(x)的零点只能为x＝1，即f

(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故选C。

答案　C

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解。

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解。

(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。

变|式|训|练

已知在区间(0,2]上的函数f

(x)＝且g(x)＝f

(x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

解析

由函数g(x)＝f

(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f

(x)，y＝mx在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点。当y＝mx与y＝－3在x∈(0,1]相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，结合图象可得当－

(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点。故选A。

答案　A

考向三

函数的实际应用

【例3】(1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论错误的是()

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1

450。已知每件产品的售价为0.05万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元。

解析(1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动较大。故选A。

(2)因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.05×1

000x＝50x(万元)。①当0

450－250＝1

200－≤1

200－2＝1

200－200＝1

000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1

000万元。由于950<1

000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1

000万元。

答案(1)A(2)1

000

解决函数实际应用题的2个关键点

(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。

(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解。

变|式|训|练

1．(2018·昆明调研)下图是1951～2016年我国年平均气温变化图。

根据上图，下列结论正确的是()

A．1951年以来，我国年平均气温逐年增高

B．1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高

C．2000年以来，我国年平均气温都高于1981～2010年的平均值

D．2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值

解析　由1951～2016年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以A错误；2016年的年平均气温不是最高的，所以B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以C错误；2000年以来，只有2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正确。故选D。

答案　D

2．(2018·马鞍山一模)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入。若该高校2017年全年投入科研经费1

300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2

000万元的年份是________。(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()

A．2020年

B．2021年

C．2022年

D．2023年

解析　若2018年是第一年，则第n年科研费为1

300×1.12n，由1

300×1.12n>2

000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2

000万元。故选B。

答案　B

1．(考向一)(2018·昆明调研)已知函数f

(x)＝则函数f

(x)的零点个数为________。

解析　解法一：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f

(x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时，因为f

(x)＝x3－3x＋1，所以f

′(x)＝3x2－3，由f

′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因为当x<－1时，f

′(x)>0，当－1≤x≤1时，f

′(x)≤0，所以x＝－1为函数f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点，因为f

(－1)＝3>0，f

(1)＝－1<0，且当x→－∞时，f

(x)→－∞，所以函数f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点。综上，函数f

(x)的零点个数为3。

解法二：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图①所示，当x≤1时，由f

(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x3和y＝3x－1的图象如图②所示，由图①，②可知函数f

(x)的零点个数为3。

答案　3

2．(考向一)(2018·洛阳统考)已知函数f

(x)满足f

(1－x)＝f

(1＋x)＝f

(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f

(x)＝2x－1，则方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和为()

A．8

B．9

C．10

D．11

解析　方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cosπx|与y＝f

(x)在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和。由f

(1－x)＝f

(1＋x)得f

(x)的图象关于直线x＝1对称，由f

(1－x)＝f

(x－1)得f

(x)的图象关于y轴对称，由f

(1＋x)＝f

(x－1)得f

(x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f

(x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f

(x)和y＝|cosπx|在[－1,3]上的大致图象，如图所示。易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y＝f

(x)，y＝|cosπx|的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称，故所有根之和为11。故选D。

答案　D

3．(考向二)已知函数f

(x)＝－kx2(x∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()

A．(－∞，0)

B．(－∞，1)

C．(0,1)

D．(1，＋∞)

解析　因为x＝0是函数f

(x)的零点，则函数f

(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，等价于方程k＝有三个不同的根，即方程＝|x|(x＋2)有三个不同的根。记函数g(x)＝|x|(x＋2)＝由题意y＝与y＝g(x)有三个不同的交点，作图可知(图略)0<<1，所以k>1。故选D。

答案　D

4．(考向二)(2018·四川统考)函数f

(x)＝若关于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五个不同的零点，则a的取值范围是()

A．(1,2)

B．

C．

D．∪

解析

作出f

(x)＝|x|＋1，x≠0的图象如图所示。设t＝f

(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由图象可知，若关于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f

(x)的图象有两个不同的公共点时才满足条件，所以10，解得a≠，综上，得1

答案　D

5．(考向三)(2018·西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14。已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为________。(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析　因为[H＋]·[OH－]＝10－14，所以＝[H＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H＋]<10－7.35，所以10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg100.7＝0.7>lg3>lg2，所以100.7>3>2,10－0.7<<，所以<<。故选C。

答案　C

第四篇：高考二轮复习数学理配套讲义17 数学文化与高考命题

微专题17　命题有章——数学文化与高考命题

教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如，在数学中增加数学文化的内容”。因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读

考|题|统|计

卷别

题型

题号

考查角度

2018年全国卷Ⅰ

选择题

10题

几何概型

2018年全国卷Ⅱ

选择题

8题

古典概型

2018年全国卷Ⅲ

选择题

3题

三视图

2018年北京高考

选择题

4题

等比数列

预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目。

预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数。

预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制、割圆术、阿氏圆等。

预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题。

考向一

数列中的数学文化

【例1】(2018·安徽模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()

A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝

B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝

C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝

D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝

【解析】　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，三者之和为50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故选D。

【答案】　D

本题以《九章算术》为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力。

【美题尝试1】(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

解析　由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前7项和S7＝381，公比q＝2。设塔顶层的灯的盏数为a1，则有S7＝＝381，解得a1＝3。故选B。

答案　B

考向二

三角函数中的数学文化

【例2】　在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sinA＝________。

【解析】　设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得

S＝

＝

＝

≤·＝12，当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号。所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。

【答案】

本题具有一定的综合性，考查的知识点较多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系。求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出△ABC的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值。

【美题尝试2】(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________。

解析　如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin60°＝。

答案

考向三

算法中的数学文化

【例3】(2018·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为()

A．20

B．25

C．30

D．35

【解析】　解法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环。所以输出的n＝25。

解法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，则解得根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。

【答案】　B

《算法统宗》是我国古代一部数学巨著，本题通过“僧人分馒头”体现了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增强了我们的民族自豪感。

【美题尝试3】　秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()

A．20　　　B．61

C．183

D．548

解析　初始值n，x的值分别为4,3，程序运行过程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循环，输出v的值为183。故选C。

答案　C

考向四

立体几何中的数学文化

【例4】(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

【解析】　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A。

【答案】　A

本题通过三视图考查了古代建筑的木件结构。如果考生对木件结构没有一定的认识，缺乏常见的生活常识，想象不出木件结构的构成就很难答对本题，这也体现了高考对考生社会实践能力不断提高要求的趋势。

【美题尝试4】　祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个等高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则体积相等。已知某不规则几何体与如下三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()

A．4－

B．8－

C．8－π

D．8－2π

解析　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等。根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C。

答案　C

考向五

概率中的数学文化

【例5】(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC。△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()

A．p1＝p2

B．p1＝p3

C．p2＝p3

D．p1＝p2＋p3

【解析】　解法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2，则区域Ⅰ的面积为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A。

解法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2。根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A。

【答案】　A

从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径。试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例。

【美题尝试5】　一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成。已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为()

A．

B．

C．

D．

解析　由于数字“8”是由7个深色区域组成，由P(A)＝，得整个矩形显示池的面积为14个深色区域的面积，而数字“0”是由6个深色区域组成，则P(B)＝＝。故选C。

答案　C

考向六

现代科技中的数学文化

【例6】(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是

20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是()

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】　分段考虑数列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…该数列的前1＋2＋…＋k＝项的和为S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，则有k≥14，此时k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比数列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，满足题意的最小的s＝5，此时k＝25－3＝29，对应最小的满足条件的N为＋5＝440。

【答案】　A

本题以大学生创业为背景设计一道具有时代意义的试题，将归纳推理和演绎推理有机地结合在了一起，考查了学生分析问题、解决问题的能力。

【美题尝试6】　根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。则下列各数中与最接近的是()

(参考数据：lg3≈0.48)

A．1033

B．1053

C．1073

D．1093

解析　因为＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故选D。

答案　D

第五篇：2013高考数学一轮复习3.1 导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案3.1 导数的概念及运算（新课

标人教版，教师版）

【考纲解读】

1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算

23（1）能根据导数定义，求函数yc,yx,yx,yx,y1,yx的导数． x（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

（3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：，(C)0（C为常数）(xn)nxn1(n);(sinx)cosx;(cosx)sinx;1(ex)ex;(ax)axlna(a0,且a1);(lnx);x1(logax)logae(a0,且a1)x ·法则1： ·法则2：

u(x)v(x)u(x)v(x)

u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)

(v(x)0)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)·法则3：v(x)v2(x)【要点梳理】 1.导数的概念

(1)f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的瞬时变化率，记作:y/|xx0或f(x0),即f(x0)=

/

/x0limf(x0x)f(x0)x.(2)当把上式中的x0看作变量x时, f(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即

/y'f'(x)=limx0f(xx)f(x).x2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k= f(x0),切线方程为yy0f'(x0)(xx0)./3.基本初等函数的导数公式

(xn)nxn1(n);(sinx)cosx;(cosx)sinx;1(ex)ex;(ax)axlna(a0,且a1);(lnx);x1(logax)logae(a0,且a1)x4.两个函数的四则运算法则 若u(x),v(x)的导数都存在,则 法则1：法则2：

u(x)v(x)u(x)v(x)

u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)

(v(x)0).u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法则3：v(x)v2(x)【例题精析】

考点一 导数的概念及几何意义

例1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 2

1.（2011年高考江西卷文科4)曲线yex在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1 B.2 C.e D.e

1例2.(2010年高考全国2卷理数10）若曲线yx在点a,a2处的切线与两个坐标围

12成的三角形的面积为18，则a（）

（A）64（B）32（C）16（D）8

422.(2010年高考江西卷文科4)若函数f(x)axbxc满足f'(1)2，则f'(1)（）

A．1 B．2 C．2 D．0 【课时作业】

1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线y直线axy10垂直，则a()A．2 B． 2

C． x1在点（3，2）处的切线与x11 2

D.2

2.(2010年高考宁夏卷文科4)曲线yx22x1在点（1,0）处的切线方程为()（A）yx1

（B）yx1

（C）y2x2（D）y2x2 【答案】A 【解析】y3x22，所以kyx11，所以选A．

3．（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10，则()（A）a1,b1(B)a1,b1(C)a1,b1(D)a1,b1 【答案】A 【解析】∵ y2xax0a，∴ a1，(0,b)在切线xy10，∴ b1.4.(2010年全国高考宁夏卷3）曲线yx在点（-1，-1）处的切线方程为()x2（A）y=2x+1(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

5．（2010年高考辽宁卷文科12）已知点P在曲线y的倾斜角，则的取值范围是()(A)[0,【答案】D

4上，为曲线在点P处的切线xe133](D)[,))(B)[,)（C）(,422444 4

4ex41x【解析】y2x，e2,1y0，即1tan0，x1e2ex1eex2xe3[,).46.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数f(x)x3ax(xR)在x1处有极值，则曲线yf(x)在原点处的切线方程是 ___ __.1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线yx33x2在点（1，2）处的切线方程为()A．y3x1 C．y3x5

B．y3x5 D．y2x

【答案】A 【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为y3x1，选A.2.（2011年高考山东卷文科4)曲线yx11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()(A)-9(B)-3(C)9(D)15

23．(2011年高考全国卷理科8)曲线y=e的三角形的面积为()(A)

2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成112(B)(C)(D)1 323【答案】A 【解析】：y'2e2x，k2，切线方程为y22x

由yxy2x22x1213得 则S1.故选A.233y23sinx1在点M(,0)处的切线的斜率为

sinxcosx244．（2011年高考湖南卷文科7)曲线y（）A．1122 B． C． D． 2222 5.(2012年高考广东卷理科12)曲线y=x-x+3在点（1，3）处的切线方程为.3【答案】2xy10

【解析】因为y'3x21,所以切线的斜率为2，故所求的切线方程为2xy10.6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数f(x)lnxk(k为常数，e=2.71828…是自ex然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.求k的值.