【创新方案】2013年高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线教案 理 新人教版选修4-1

第一篇：【创新方案】2013年高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线教案 理 新人教版选修4-1

第2讲 圆周角定理与圆的切线

【2013年高考会这样考】

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切

角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．

(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．

(2)弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，1则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC

上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圆O的直径为4.tan 60°

考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于22.3________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线

段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明

三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第二篇：【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线

第【高考会这样考】 2讲 圆周角定理与圆的切线

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D

是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大

小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与

圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝3，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圆

O的直径为4.tan ∠AOP答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第三篇：选修4-1 几何证明选讲第2讲 圆周角定理与圆的切线

第【复习指导】 2讲 圆周角定理与圆的切线

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点

A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆

O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则

圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若ABAP3tan 60°＝2，故圆O的直径为4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从

而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第四篇：2015届高考数学总复习几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识课时训练 新人教A版选修4-1

选修4－1 几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识(理科专用)

1.如图，在半径为7的圆O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD

＝1，求圆心O到弦CD的距离．

解：连结OD，取CD的中点M.则圆心O到弦CD的距离为OM.4＋15由相交弦定理得PA·PB＝DP·PC，解得PC＝4，所以MD＝＝.2

25233所以OM＝OD2－MD2＝7－＝＝.242

2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若

CEAB＝3AD，求的值． EO

AB221解：设圆的半径为R，则AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE333

3OD2118CE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.OC999EO

3.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分别求PD、AB的值．

解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD＝9x，DB＝16x.因为PA为圆O的切线，所以PA2＝PDPB，11所以32＝9x(9x＋16x)，化为x2＝，所以x＝.25

59所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.5

因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以AB⊥PA.所以AB＝PB2－PA2＝52－32＝4.4.如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的值．

解：连结OA，则∠AOC＝60°，∠OAP＝90°，因为OA＝1，所以PA＝3.5.自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA与圆相切于A，PMMB＝.MC

PM

∴ MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，∴ PM＝MA，∴ PM2＝MB·MC，∴ ∵ ∠BMP＝∠PMC，∴ △BMP∽△PMC，∴ ∠MCP＝∠MPB.16.如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OE⊥

AB，垂足为E，求证：OE＝CD.证明：连结AO并延长交圆O于F，则AF为圆O的直径，连结BF、CF，则∠ABF＝

∠ACF＝90°.∵ OE⊥AB，又O为AF的中点，∴ E为AB的中点，∴ OE＝BF.∵ ∠

︵︵

1ACF＝90°，∴ AC⊥CF.又AC⊥BD，∴ BD

∥CF，则DC＝BF，∴ DC＝BF，∴ OE＝CD.7.如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.求证：DC是圆O的切线．

证明：连结OC，所以∠OAC＝∠OCA.又CA平分∠BAF，所以∠OAC＝∠FAC，所以∠FAC＝∠OCA，所以OC∥AD.又CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以DC是圆O的切线．

8.如图，圆O1与圆O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.求证：AB·CD＝BC·DE.证明：因为A、M、D、N四点共圆，所以AC·CD＝MC·CN.同理，有BC·CE＝MC·CN，所以AC·CD＝BC·CE，即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，所以AB·CD＝BC·DE.9.如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交CD的延长线于点P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：BE＝EF.(1)解：∵ PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴ PD＝4.又PC＝ED＝1，∴ CE＝2.∵ ∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，PCAC

∴ △PAC∽△CBA，∴ ＝，ACAB

∴ AC2＝PC·AB＝2，∴ AC＝2.(2)证明：∵ BE＝AC2，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，2×

1∴ EF＝2，∴ EF＝BE.10.如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC、AE、DE.求证：∠E＝∠C.证明：连结AD.∵ AB是圆O的直径，∴ ∠ADB＝90°.∴ AD⊥BD.∵ BD＝DC，∴ AD是线段BC的中垂线． ∴ AB＝AC.∴ ∠B＝∠C.又∵ D、E为圆上位于AB异侧的两点，∴ ∠B＝∠E.∴ ∠E＝∠C.11.如图所示，AB是圆O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AB的垂线交AC的延长线于点E、交AD的延长线于点F，过G作圆O的切线，切点为H.求证：

(1)C、D、F、E四点共圆；(2)GH2＝GE·

GF.证明：(1)如图，连结BC.∵ AB是圆O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ AG⊥FG，∴ ∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴ ∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC＝∠AEG.∴ ∠FDC＋∠CEF＝180°.∴ C、D、F、E四点共圆．

(2)∵ GH为圆O的切线，GCD为割线，∴ GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，GCGE

∴ △GCE∽△GFD.∴，GFGD

即GC·GD＝GE·GF，∴ GH2＝GE·

GF.

第五篇：2015届高考数学大一轮复习几何证明选讲精品试题 理(含2014模拟试题)

精品题库试题

理数

1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，14）（原创）如图，在，是的长为。的中点，于，的延长线交

中，的外接圆于，则，[解析] 1.在Rt△ABC中，, 解得;同理可得, 由射影定理可得，得.根据割线定理可得, 得, 所以.2.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，14)如图, 圆于、两点，且与直径

交于点，切圆于点，则, 交

.1

[解析] 2.根据相交弦定理可得理可得①②联立得PB=15.①.在Rt△DTP中，结合条件可得DT=9.根据切割线定

②.3.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，14)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2, PC切圆O于C点，CD

AB于D点，则CD=.[解析] 3.根据切割线定理可得OC, 在Rt△OCP中, 根据射影定理可得PC= CD=

22, 得, 得PD=3, 又因为

..连接, 所以CD的长为4.(2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，14)如图，割线，若，，则、为⊙O的两条

等于____________.[解析] 4.由割线定理得，所以，解得或（舍去），2

由～，所以，所以，解得.5.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，15)（选修4-1：几何证明选讲）已知点直径的演唱线上，直线，则

与圆

相切于，的平分线分别交、在圆于的、两点，若.[解析] 5.因为为圆的切线，由弦切角定理，则，又因为平分，则，所以，根据三角形外角定理，因为是圆的直径，则，所以是等腰直角三角形，所以.6.（2014广东汕头普通高考模拟考试试题，15）如图，点①结论的序号是___________., 延长与圆

交于另一点 , ②, , 分别与圆切于，给出下列三个结论：，③

～, 其中正确 3

[解析] 6.如图，错，所以正确的序号为①②.,，所以③范围.7.(2014广东广州高三调研测试，14)（几何证明选讲选做题）

如图4，则为⊙的直径，弦交于点.若，的长为_______.[解析] 7.由已知可得，，由相交弦定理得：，所以

8.(2014北京东城高三第二学期教学检测，10)如图，割线与直径相交于

点.已知∠

=，与圆相切于，不过圆心, 则圆的的半径等于_______.4

[解析] 8.由题意可得：.从而, 又因为。由切割线定理，所以可得，所以，所以.故直径.再由相交弦定理，从而半径为7.9.(2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，16)如图，圆心，弦于点，则

切⊙O于点_________.，割线经过

[解析] 9.依题意，由切割线定理，所以，即，所以圆的半径，由为切线，所以，所以，又弦于点，所以.10.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，15）（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点A 作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = ______．，BD = 4，则线段CF的长为 5

[解析] 10.根据切割线定理可得，代入数据得EB=5.因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA=.因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入数据得.11.(2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，14)如图，的延长线上，与半圆相切于点，若

是半圆，的直径，则

在.[解析] 11.延长，又，所以.12.(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，22)选修 6

4-1：几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结

交

于点，已知圆的半径为2，（1）求的长；

（2）求证：.[解析] 12.（1）延长交圆于点，连结，则，又，所以，又可知，所以

根据切割线定理得，即.7

⑾证明：过作于，则，从而有，又由题意知

所以，因此，即

13.(2014山西太原高三模拟考试

（一），22)选修4一1：几何证明选讲

如图，已知PA与⊙O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值.[解析] 13.8

14.(2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测

（二），22)选修4—1：几何证明选讲：如图，已知于、为圆的一条直径，以端点作垂直于

为圆心的圆交直线

于

于点.、两点，交圆两点，过点的直线，交直线（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；

（Ⅱ）若，, 求外接圆的半径.[解析] 14.（Ⅰ）因为为圆一条直径，所以，又，故、、、四点在以为直径的圆上，所以，、、、四点共圆.（4分）

（Ⅱ）因为与圆相切于点，由切割线定理得 , 即，9

所以

又, 则, 得，连接, 由（1）可知为的外接圆直径，, 故的外接圆半径为.（10分）

15.(2014河北唐山高三第一次模拟考试，22)选修4―1: 几何证明选讲

如图，点.是圆的切线，是切点，于，过点的割线交圆于、两（Ⅰ）证明：，，四点共圆；

（Ⅱ）设，求的大小.[解析] 15.（Ⅰ）连结，则.由射影定理得，由切割线定理得，故，即，又，所以～，所以.10

因此，，四点共圆.（6分）

（Ⅱ）连结.因为，结合（Ⅰ）得

.（10分）

16.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 22)【选修4－1：几何证明选讲】

如图，.是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点（Ⅰ）求证：；

(Ⅱ)求证：.[解析] 16.（Ⅰ）连结，因为为圆的直径，所以，又，11

则四点共圆，所以.(5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，连结，又∽，所以

即，所以.（10分）

17.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，22)选修4-1：几何证明选讲

如图，是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、分别交⊙于、两点，连接交于点.（Ⅰ）求证：、、、四点共圆.（Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，求线段的长.[解析] 17.（Ⅰ）连结，则，12

所以，所以，所以四点共圆.（5分）

（Ⅱ）因为，则，又为的三等分点，，又因为，所以，.（10分）

18.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，22）选修4—1几何证明选讲: 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

（I）求证：DE是⊙O的切线；

（II）若的值.[解析] 18.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分 ∴OD//AE 又AE⊥DE

…………………………………3分 ∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，13

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

19.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试

（四）数学（理）试题, 22)选修4-1: 几何证明选讲．

如图，AB是于点G． 的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是的割线, AC =AB，CE交(I)证明：(Ⅱ)证明：FG//AC.；

[解析] 19.20.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，22)选修4—1：几何证明选讲．

如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆 的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线

于点，过点作圆的切线，切点为.（1）求证：四点共圆；（2）若, 求的长.[解析] 20.（1）证明：连结，∵是圆的直径，15

∴，在和中，又∵ ∴

∴四点共圆。

（2）∵四点共圆，∴

∵是圆的切线，∴ ∴

又因为 ∴

∴.答案和解析

理数

[答案] 1.[解析] 1.在Rt△ABC中，, 解得;同理可得, 由 16

射影定理可得，得.根据割线定理可得, 得[答案] 2.15 , 所以.[解析] 2.根据相交弦定理可得理可得①②联立得PB=15.①.在Rt△DTP中，结合条件可得DT=9.根据切割线定

②.[答案] 3.[解析] 3.根据切割线定理可得OC, 在Rt△OCP中, 根据射影定理可得PC= CD=[答案] 4.6

22, 得, 得PD=3, 又因为

..连接, 所以CD的长为[解析] 4.由割线定理得，所以，解得或（舍去），由～，所以，所以，解得.[答案] 5.[解析] 5.因为为圆的切线，由弦切角定理，则，又因为平分，则，17

所以，根据三角形外角定理，因为是圆的直径，则，所以是等腰直角三角形，所以[答案] 6.①②

.[解析] 6.如图，错，所以正确的序号为①②.,，所以③范围.[答案] 7.1 [解析] 7.由已知可得，，由相交弦定理得：[答案] 8.7，所以

[解析] 8.由题意可得：.从而, 又因为。由切割线定理，所以可得，所以，所以.故直径.再由相交弦定理，从而半径为7.[答案] 9.[解析] 9.依题意，由切割线定理，所以，即，18

所以圆的半径，由为切线，所以，所以，又弦于点，所以.[答案] 10.[解析] 10.根据切割线定理可得，代入数据得EB=5.因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA=.因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入数据得.[答案] 11.[解析] 11.延长，又，所以.[答案] 12.查看解析

[解析] 12.（1）延长交圆于点，连结，则，19

又，所以，又可知，所以

根据切割线定理得，即.⑾证明：过作于，则，从而有，又由题意知

所以，因此，即

[答案] 13.查看解析

[解析] 13.[答案] 14.查看解析

[解析] 14.（Ⅰ）因为为圆一条直径，所以，又，故、、、四点在以为直径的圆上，所以，、、、四点共圆.（4分）

（Ⅱ）因为与圆相切于点，由切割线定理得 , 即，所以

又, 则, 得，连接, 由（1）可知为的外接圆直径，, 故的外接圆半径为.（10分）

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.（Ⅰ）连结，则.由射影定理得，由切割线定理得，故，即，又，所以～，所以.因此，，四点共圆.（6分）

（Ⅱ）连结.因为，结合（Ⅰ）得

.（10分）[答案] 16.查看解析

[解析] 16.（Ⅰ）连结，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以.(5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，连结，22

又∽，所以

即，所以

.（10分）

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.（Ⅰ）连结，则，，所以，所以，所以四点共圆.（5分）

（Ⅱ）因为，则，又为的三等分点，，又因为，所以，.（10分）

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分∴OD//AE 又AE⊥DE

…………………………………3分 ∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，23

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

[答案] 19.查看解析 [解析] 19.24

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.（1）证明：连结，∵是圆的直径，∴，在和中，又∵ ∴

∴四点共圆。

（2）∵四点共圆，∴

∵是圆的切线，∴ ∴又因为 ∴

∴.25