备考2014高考数学--高考总复习课标版数学：42 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(限时练习)（精选多篇）

第一篇：备考2014高考数学--高考总复习课标版数学：42 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(限时练习)

限时作业21导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

一、选择题

1.函数f(x)＝ax3-x在(-∞,+∞)内是减函数,则()

A.a＜1B.a1C.a＜0D.a≤0

3解析:f′(x)＝3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a

而1在(-∞,+∞)上恒成立, 3x210,∴a≤0.故选D.23x

答案:D

2.函数f(x)＝1+x-sinx在(0,2π)上是 …()

A.增函数B.减函数

C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 解析:f′(x)＝1-cosx＞0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A

3.若a＞3,则方程x3-ax2+1＝0在(0,2)上恰有()

A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根 解析:令f(x)＝x3-ax2+1,则f′(x)＝3x2-2ax＝3x(x

由f′(x)＝0,得x＝0或x2a).322a(∵a＞3,∴a2).33

∴当0＜x＜2时,f′(x)＜0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)＝8-4a+1＝9-4a＜0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.故选B.答案:B

4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y＝f′(x)的图象如右图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是

（）

解析:由y＝f′(x)的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0,∴f(x)在（-∞,0)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0,∴f′(x)在（0，2）上单调递减.故选C.答案:C

5.(2008广东高考,理7)设a∈R,若函数y＝eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a＞-3B.a＜-3C.a解析:y′＝a·eax+3＝0,当a＝0时,显然不合题意,∴a≠0.1

1D.a 33

313

.∴xln().aaa13

由题意,得ln()0,aa

∴e

ax



a0,∴ 301a

∴a＜-3.故应选B.答案:B

6.(2008福建高考,理12)已知函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象如右图,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是（）

解析:由y＝f′(x)和y＝g′(x)的图象可知，y＝f′(x)是减函数，y＝g′(x)是增函数.∴y＝g(x)图象上升速度越来越快,y＝f(x)图象上升速度越来越慢.故选D.答案:D

二、填空题

7.已知函数f(x)＝x3-12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m＝____________________.解析:f′(x)＝3x2-12＝3(x+2)(x-2),令f′(x)＝0,得x＝±2.∵f(-3)＝17,f(3)＝-1,f(-2)＝24,f(2)＝-8, ∴M-m＝f(-2)-f(2)＝32.答案:

328.函数y＝lnx-x在x∈(0,e］上的最大值为______________.解析:y

11x

1,令y′＝0,∴x＝1.又在(0,1］上y′＞0,在［1,e］上y′＜0,∴函数在x＝1xx

处取极大值,同时是最大值,此时y＝-1.答案:-

19.若函数f(x)__________.4x

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是2

x1

4(x21)8x24(1x2)

解析:f(x), 2

222(x1)(x1)

令f′(x)＞0,∴-1＜x＜1.m-1,

根据题意,得2m11,∴-1＜m≤0.2m1m,

答案:(-1,0］

10.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________.（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）

解析:右图为圆木的横截面, 由b2+h2＝d2, ∴bh2＝b(d2-b2).设f(b)＝b(d2-b2), ∴f′(b)＝-3b2+d2.令f′(b)＝0,由b＞0, ∴b

d,且在(0,d］上f′(b)＞0, 33

d处取极大值,也是最大值, d,d)上,f′(b)＜0.∴函数f(b)在b33

在［

即抗弯强度最大,此时长h

d.3

答案:

6d 3

三、解答题

11.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD＝2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值

.解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如右图),则点C的横坐标为x,点C

x2y2

1(y≥0), 的纵坐标y满足方程22

r4r

解得y2r2x2(0＜x＜r).S

(2x2r)2r2x2 2

＝2(xr)r2x2, 其定义域为{x|0＜x＜r}.(2)记f(x)＝4(x+r)2(r2-x2),0＜x＜r, 则f′(x)＝8(x+r)2(r-2x).令f′(x)＝0,得x因为当0＜x＜

1r.2

rr1

时,f′(x)＞0;当＜x＜r时,f′(x)＜0,所以f(r)是f(x)的最大值.222

因此,当x

r时,S也取得最大值,最大值为21332f(r)r, 22

即梯形面积S的最大值为

332

r.2

a

(a＞0),设F(x)＝f(x)+g(x).x

12.已知函数f(x)＝lnx,g(x)(1)求F（x)的单调区间；

（2）若以y＝F(x)〔x∈(0,3］〕图象上任意一点P（x0,y0)为切点的切线的斜率k求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m,使得方程f(x)g（恒成立，2

2a)m1恰好有两个不同的零点？若存在，2

x1

求m的取值范围；若不存在，请说明理由.a

(a＞0)的定义域为(0,+∞), x

1axa

∴F(x)2.2

xxx

解:(1)F(x)lnx

当x＞a时,F′(x)＞0;当0＜x＜a时,F′(x)＜0,∴F(x)的单调增区间为(a,+∞),F(x)的单调减区间为（0，a).(2)以P（x0,y0)为切点的切线的斜率为k＝F′(x0)＝

x0ax0,x0∈(0,3］,由已知，得

x0ax0



112,即ax0x0.22

12111

x0(x01)2, 222211∴a.∴amin＝.22

121

(3)由题意,知方程lnxxm在(0,+∞)内恰有两个不同的零点，22

121

即mlnxx在（0,+∞)内恰有两个不同的零点.221211(1x)(1x)

令h(x)lnxx,则h(x)x,当x∈(0,1)时,h′(x)＞0;

22xx

∵x0

当x∈(1,+∞)时,h′(x)＜0,∴h(x)在(0,1)上是增函数, h(x)在(1,+∞)上是减函数.于是,h(x)在x＝1处取得极大值即最大值, 最大值为＝h

(1)ln1

121

10.22

又x＞0且x→0时,h(x)lnx

121

x→-∞, 22

∴h(x)的大致图象如右图所示:

则y＝m与y＝h(x)恰有两个交点,∴m＜0,即当m＜0时,方程f(x)＝g（2a)+m-1恰好有两个不同的零点.x21

第二篇：2013届高考理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

课时作业(十四)

第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

[时间：35分钟分值：80分]

lnx1．函数y＝()x

B．eC．e2D.e

32．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为()

A．36B．18C．25D．

423．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

13629关系可近似地用如下函数给出：y3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时844

最多的时刻是()

A．6时B．7时C．8时D．9时

4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()1334VB．2VC.4VD.2

能力提升

1－x15．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在2，2上的最大值和最小值之和是()x

A．0B．1－ln2C．ln2－1D．1＋ln2

322x＋3x＋1x≤0，6．[2011·哈三中三模]函数f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为2，则ex>0

a的取值范围是()

ln2ln2B.0 A.22

ln2 C．(－∞，0]D.2

7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为()

A．20 km/hB．25 km/h

C．19 km/hD．km/h 基础热身

图K14－

18．[2011·江苏四市联考]今有一块边长为a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为()

2aaaA．aB.C.D.326

9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的1关系式为：p＝24 200－x2，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)．则该厂每月生产

5________ t产品才能使利润达到最大．(利润＝收入－成本)

10．[2011·潮州模拟]在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．

图K14－2

11．[2011·宁化模拟]如图K14－2，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a取________时，漏斗的容积最大．

12．(13分)[2011·无锡模拟]甲、乙两村合用一个变压器，如图K14－3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？

难点突破

13．(12分)[2011·长沙模拟]广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似地为x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万

美元(其中m为该时段美元的贬值指数，m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)ln(2x＋

1)－mx(万美元)．

(1)若某时期美元贬值指数m＝，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该

200

企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？

(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x万美元，已知该

企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

课时作业(十四)

【基础热身】

lnx′x－lnx·x′1－lnx

1．A [解析] 令y＝0，得x＝e，当x>e时，y′<0；当xx11

x0，故y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.ee

x

3－，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，2．A [解析] 令f(x)＝x2y＝x23可以验证x＝6时f(x)有最大值36.333

3．C [解析] y′＝－2－＋36t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，828

当6≤t<8时，y′>0，当8

4V

4．C [解析] 设底面边长为x，则高为h＝

3x2

4V4V∴S表＝3×x＋2×2＝x2，2·4x23x

4V∴S′表＝－3x，令S′表＝0，得x＝4V.x

经检验知，当x＝4V时S表取得最小值． 【能力提升】

x－1

5．B [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝.x

1

(1)若x∈2，1，则f′(x)<0；(2)若x∈(1,2]，则f′(x)>0，1

故x＝1是函数f(x)在区间2，2上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0；

11又f＝1－ln2，f(2)＝－ln2，22

1lne3－ln163所以f2－f(2)＝－2ln2＝，22

因为e3>2.73＝19.683>16，1所以f2－f(2)>0，1即f2>f(2)，112上最大值是f.即函数f(x)在区间2211，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在2上的最大综上知函数f(x)在区间22

值和最小值之和是1－ln2.6．D [解析] 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即ln2ln2a≤(0,2]上恒成立，故a≤.x2

7．A [解析] 设船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得33

k＝，∴Q3，500500

331396696x＋96x2＋，∴总费用y＝y′＝x－令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)500x500x500x时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20 km/h的速度行驶每千米的费用总和最小．

a30

x，设容积为V，则

V＝Sh＝(a－2x)2x，23

2a

＝x3－ax2＋x，a22

V′＝3x－2ax＋，4aaaaa

令V′＝0得x＝或x＝舍去)，当00；当

aaaa4aa∴xV最大＝＋6216362421654

9．200 [解析] 每月生产x吨时的利润为f(x)＝24 200－2x－(50 000＋200x)＝－x3

＋24 000x－50 000(x≥0)．

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯

一的极大值点，也是最大值点．

R [解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，那么h＝RR－x，解2

得

x2＝h(2R－h)，于是内接三角形的面积为 S＝x·h＝2Rh－h·h＝2Rh－h，1从而S′＝Rh3－h4)－Rh3－h4)′

h23R－2h113423

＝(2Rh－h)－Rh－4h)＝ 222R－hh3

令S′＝0，解得h＝，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R)上列表如下：

由此表可知，当x＝时，等腰三角形面积最大．

2611.[解析] 解法一：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么由r2＋h2＝

R2，Ra＝2πr，2R3121Ra2a24代入V＝πrh，得V＝π·2πR－2π＝a－，3312π4π

65a3a

再令T(a)＝a4T′(a)＝4a3－T′(a)＝0.4π2π5

2633a即4a－＝0，求得a＝，2π3

222检验，当00；当a<2π时，T′(a)<0，所以当a＝π时，333

T(a)取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T(a)取得最大值时，V也就取得最大值，2所以当a＝π时，漏斗的容积最大．

解法二：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝r2h

＝πr2R－r＝πr－r(0

再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝，可以检验当r＝R时，T(r)取得最大值，33

66226

也就是当r＝时，V(r)取得最大值．再把rR代入Ra＝2πr得a＝所以当a＝

3333

π时，漏斗的容积最大．

12．[解答] 设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．

由题意知所需输电线的长l为：l＝AC＋BC＝1＋x＋1.5＋3－x(0≤x≤3)，－23－x2x

l′＝，1＋x21.5＋3－x3－xx

令l′＝0，得＝0，1＋x1.5＋3－x3－xx

即，1＋x1.5＋3－x

3－x2x，1＋x1.5＋3－x1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x，2．5x＝3，x＝1.2，故当CD＝1.2(km)时所需输电线最短． 【难点突破】

13．[解答](1)由已知m＝，200

1x

f(x)ln(2x＋1)x>0，2200

199－2x11

∴f′(x)＝＝2x＋12002002x＋1

由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0

(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有ln(2x＋1)－mx≥x，220

ln2x＋1111

由ln(2x＋1)－mx≥x，得＋m≤220202x

ln2x＋1

令g(x)＝x∈[10,20]，2x2x－ln2x＋12x＋1

则g′(x)＝

2x2x－2x＋1ln2x＋1＝.2x2x＋1

令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，22ln2x＋1＋2x＋1则h′(x)＝2－2x＋1＝－2ln(2x＋1)<0，

可知h(x)在[10,20]上单调递减． 从而h(20)≤h(x)≤h(10)，又h(10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0.故可知g(x)在[10,20]上单调递减，ln41ln411

因此g(x)min＝m404020

ln41－2

故当美元的贬值指数m∈0时，该企业加工生产不会亏损．

40

第三篇：最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。

考点一、无零点

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函数

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

【练

1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点

【例

2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增;

且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增;

又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点

【练

2-1】（2012年房山一模18）已知函数．

（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点．

………10分

当时，由（II）问知，又，为的一个零点．

……11分

若在恰有两个零点，只需

即

………13分

【练

2-2】（13年昌平二模理科）已知函数

(Ⅱ)求在区间上的最小值;

(III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则

∴

即,此时,.所以,的取值范围为

考点三、两个零点

【例

3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】

【练

3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

考点四、线上下线问题

【例

4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；

方程为

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下：

0

0

+

极小值

所以的最小值为，实数b的取值范围是．

第四篇：“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

5、板书字体过小，照顾不及后排同学。

第五篇：天津市2013届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数中的应用 课堂验收(教师版)（推荐）

导数在研究函数中的应用

解答下列各题。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1、设a0，求函数f(x)

全解P2472、已知函数f(x)x

实验班P

53xxln(xa)(x(0,))的单调区间。2xa(2lnx),a0，讨论f(x)的单调性。

3、已知函数f(x)(xk)ek。2

（1）求f(x)的单调区间。

（2）若x(0,),f(x)

实验班P53

1e，求k的取值范围。