3．3 导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

第一篇：3．3 导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。过程与方法

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程．

情感、态度与价值观

通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．

2.教学重点/难点

教学重点

探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 教学难点

探索函数的单调性与导数的关系。

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

复习引入

请同学们思考函数单调性的概念？ 函数 y = f(x)在给定区间 D上，D=(a , b)当 x

1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时

①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，则 f(x)在D上是增函数； ②都有 f(x 1)＞ f(x 2)，则 f(x)在D上是减函数；

若 f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间，则 f(x)在D 上具有严格的单调性。

【师】判断函数单调性有哪些方法？

①定义法;

②图象法;

③已知函数

以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究

[1]函数的单调性与其导函数的关系 【合作探究】

探究1 函数的单调性与其导函数的关系

【师】请同学们思考高台跳水运动员高度函数与速度函数之间的关系？ 【板演/PPT】

下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象, 图

(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.【活动】思考交流。

探究2：运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地，②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地，【思考】以上情况是否具有一般性呢？

观察下面函数的图像（图1.3-3），探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

近单调递减． 【结论】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间（a,b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=h(x)在这个区间内单调递增； 如果f'(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．

探究3 如果在某个区间内恒有h'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内有什么特征？

【提示】特别的，如果在某个区间内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数．

探究4．求解函数y=f(x)单调区间的步骤：（1）确定函数y=h(x)的定义域；

（2）求导数y'=h'(x)；

（3）解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 【典例精讲】

例1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3－3－1所示，则导函数y＝f′(x)可能为()

【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确． 【答案】 D 【小结】判断导数与函数图象间的关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象；其次要注意函数的单调性与其导函数的正负的关系． 【变式训练】(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()

【解析】从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确． 【答案】 B 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

【小结】根据导数确定函数的单调性步骤： 1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.例3．已知函数＋∞)上是单调递增时，求a的取值范围．

当函数f(x)在x∈[2，【小结】在某个区间上，f′(x)>0(或f′(x)<0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)>0(或f′(x)<0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．

【变式训练】若将本例中的x∈[2，＋∞)改为x∈(－∞，2]，且使f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是什么？ 当堂检测

1．函数y=3x－x3的单调增区间是（）(A)(0，+∞)

(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)

(D)(1，+∞)2．设

则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)

(B)(－2，0)

(C)(－∞，)(D)(，0)3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是（）(A)单调增函数

(B)单调减函数

(C)在(0,)上是减函数，在(, 1)上是增函数

(D)在(, 1)上是减函数，在(0,)上是增函数

4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是

.5．函数f(x)=cos2x的单调区间是

。【参考答案】 1.C 2.C 3.C 4.(－2，0)；(－∞，－2)及(0，+∞)5.课堂小结 【课堂小结】

1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f'(x)。

(2)解不等式f'(x)>0(或h'(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）

2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f'(x)(2)确认f'(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P31习题1.3 A组1,2,3.板书

第二篇：1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤

2.教学重点/难点

【教学重点】：

利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】：

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤

3.教学用具

多媒体

4.标签

1．3．3函数的最大（小）值与导数

教学过程

第三篇：导数在研究函数问题中的应用

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导数在研究函数问题中的应用

作者：朱季生

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第04期

函数是高中数学的重要内容和主干知识，而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述.一、函数的凹凸性与拐点的有关性质

第四篇：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思

本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，如果直接得出结论学生也能接受。可学生只能进行简单的模仿应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。设计思路如下以便教会学生会思考解决问题。

1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。在此基础上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过思考、讨论、交流形成结论。也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

为了培养学生的自主学习、自主思考的能力，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探索新知。让学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，体现三维目标，培养学习能力还是比较困难。在今后的教学中，应更注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。

第五篇：常用函数的导数教学设计

几个常用函数的导数教学设计

一、课题引入

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数 知识点

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0 xxxylim00 所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1 因为xxxylim11 所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么?（2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？（3）函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为 xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数yf(x)21的导数 x11yf(xx)f(x)xxx因为 xxxx(xx)12

x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1练习作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以ylim线方程

5．函数yfxx的导数

xxx

x因为yf(xx)fxxx

=xxxxxxx1xxx xxx

=所以ylimy11 limx0xx0xxx2xnn16.推广：若fxxnQ，则f(x)nx

练习求下列函数的导数

（1）yx3（2）y1 x2（3）y三．例题讲解 3x（4）yx2x

3例1．曲线yx上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求，则 它的切线斜率为k3，∵f(x)3x，∴3x03，x01，∴P(1,1)或P(1,1)．

例2．证明：曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由xy1，得y∴y()221，x1x1，x2

∴kf(x0)1，2x0过点P(x0,y0)的切线方程为

yy01(xx0)，2x02，x0令x0得y令y0得x2x0，∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

S122x02是一个常数． 2x0四．课时小结

C0，xn

五、作业 nxnQ n

1六、板书设计

七、教学反思