【创新设计】2011届高三数学一轮复习 不等式的证明随堂训练 理 苏教版选修4-5-2[精选五篇]

第一篇：【创新设计】2011届高三数学一轮复习 不等式的证明随堂训练 理 苏教版选修4-5-2

第2课时不等式的证明

简答题

1．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a，b是不相等的正实数．

求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.3证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，3即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，22222等号成立．所以(ab＋a＋b)(ab＋a＋b)≥9ab，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.1492．(南京调研)已知a，b为正数，求证：a＋b.a＋b

1＋4＝5＋b＋4a≥5＋2 证明：因为a>0，b>0，所以(a＋babab

149所以a＋ba＋b

3．已知a，b是正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.证明：∵a＋b≥2ab＞0，a2＋b2≥2ab＞0，① ② ③ b4a×＝9.aba3＋b3≥2ab＞0，∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥ab·abab＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求证：|ax＋by|≤4.证明：要证|ax＋by|≤4，只要证(ax＋by)2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要证2abxy≤b2x2＋a2y2，即证(bx－ay)2≥0.显然此式成立．故原不等式成立．

5．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：ab＋bc＋ca＜a＋b＋c.证明：a＋b＞ab，b＋c＞2bc，a＋c＞2ac，① ② ③

∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞ab＋bc＋2ac，即ab＋bcac＜a＋b＋c.用心爱心专心

6.已知α∈(0，π]，求证：2sin 2α≤

证明：证法一：(作差比较法)sin α 1－cos α

sin α4cos α－4cos2α－1sin αsin α2sin 2α－＝4sin αcos α－＝ 1－cos α1－cos α1－cos α

－sin α2cos α－1

2＝1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0,1－cos α>0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin αsin α0.∴2sin 2α≤.1－cos α1－cos α

证法二：(分析法)

要证明2sin 2 α≤sin αsin α成立，只要证明4sin αcos α≤1－cos α1－cos α

1∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要证明4cos α≤.1－cos α

上式可变形为4≤

∵1－cos α>0，∴1＋4(1－cos α)． 1－cos α141－cos α＝4，1－cos α1＋4(1－cos α)≥2 1－cos α

1π1当且仅当cos α＝α＝时取等号．∴4≤＋4(1－cos α)成立． 231－cos α

∴不等式2sin 2α≤

证法三：(综合法)

∵11π＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝即α＝时取等号)231－cos αsin α成立． 1－cos α

sin αsin α∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤∴2sin 2α.1－cos α1－cos α

1－cos α

11．已知a>0，b>0，求证：(a＋b)2＋a＋b)≥2abab)． 2

1证明：要证明(a＋b)2(a＋b)≥2(ab)，只需证明 2

1a＋b＋≥ab(a＋b)．(a＋b)2

1∵a>0，b>0，∴a＋b≥ab>0.只需证明a＋b＋≥a＋b，21111a＋＋b＋≥＋b.只需证明a＋a>0，b＋b>0.只需证明444

41显然上式成立．∴(a＋b)2＋a＋b)≥2ab(a＋b)成立． 2

2．已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：cab＋a＋bb＋cc＋a

11.2a＋ba＋b＋c证明：∵a、b、c为三角形的三边长，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴

c2ca2ab2b两边同乘以2c，∴.同理

∴

cab2c2a2b＋<＋2.a＋bb＋ca＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

第二篇：2014届高三数学一轮复习《数学证明》理 新人教B版

[第68讲 数学证明]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1．下列符合三段论推理形式的为()

A．如果p⇒q，p真，则q真

B．如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c

C．如果a∥b，b∥c，则a∥c

D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc

2．[2013·郑州检测] 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．

A．①B．②

C．①②③D．③

3．[2013·太原检测] 已知p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

22224．[2013·石家庄模拟] 已知ai，bi∈R(i＝1，2，3，„，n)，a1＋a2＋„＋an＝1，b1＋

2b

22＋„＋bn＝1，则a1b1＋a2b2＋„＋anbn的最大值为()

A．1B．2

C．n2D．2n

能力提升

5．[2013·泰州模拟] 设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：

222①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；

②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中正确判断的个数为()

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．已知c>1，ac＋1－c，b＝cc－1，则正确的结论是()

A．a>bB．a

C．a＝bD．a，b大小关系不定

1a＋b，B＝f(ab)，C＝f2ab，则A，B，7．已知函数f(x)＝，a，b∈R＋，A＝fa＋b22

C的大小关系为()

A．A≤B≤CB．A

C．A≥B≥CD．A>B>C

x

8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()

A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数

1212312342

9．观察数列1，，，„，则数将出现在此数列的第()

2132143216

A．21项B．22项C．23项D．24项

10．[2013·河南示范性高中检测] 如图K68－1，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

－

1仿此，5的“分裂”中最大的数是________，5的“分裂”中最小的数是________．

1111．[2013·哈尔滨模拟] 已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－＋a2－2

a1a2

11＋a3－＋„＋an≥0成立的最大自然数n是________．

aa





n



12．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有

9999

n(n>1，n∈N)个点，每个图形总的点数记为an，则＋________．

a2a3a3a4a4a5a2 010a2 011

13．[2013·开封模拟] 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意

f（x1）＋f（x2）＋„＋f（xn）x1＋x2＋„＋xnx1，x2，„，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间

n



n



(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

b2a2

14．(10分)已知a＞0，b＞0a＋b.ab

r

15．(13分)[2013·湖北卷](1)已知函数f(x)＝rx－x＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0

(2)试用(1)的结果证明如下命题：

设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

αα－1

注：当α为正有理数时，有求导公式(x)′＝αx.难点突破

16．(12分)[2013·湖南卷] 已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋„＋an，B(n)＝a2＋a3＋„＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋„＋an＋2，n＝1，2，„.*

(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；

*

(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

课时作业(六十八)

【基础热身】

1．B [解析] 由三段论的推理规则可以得到B为三段论． 2．C [解析] 由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的．

3．A [解析] 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p⇒q，则綈q⇒綈p.a2＋c2b2＋d22222

4．A [解析] 此结论为“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，则ac＋bd≤＋

222

a2a2a21＋b12＋b2n＋bn

＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋„＋anbn≤1.222

【能力提升】

5．B [解析] ①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．

6．B [解析] 假设a≥bc＋1－cc－c－1，∴c＋1＋c－1≥c，平方得2c＋2c－1≥4c，2222

2c≤2c－1，cc－1，即c≤c－1，0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a

7．A [解析] ab≥，又f(x)＝在R上是单调减函数，∴f2a＋b22

2ab.f(ab)≤fa＋b

8．B [解析] 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a，b，c都不是偶数．

9．C [解析] 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，„的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，„的规律呈现的，显然

前五组不可能出现，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6

6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个．故这个数是第(1＋2＋„＋6＋2)项，即第23项．

10．9 21 [

解析] 由已知中“分裂”可得，a＋b

故“5”的“分裂”21.a31

11．5 [解析] ∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，a2q

a1－1＋a2－1＋a3－1＋„＋an－1 a1a2a3an

111

＝(a1＋a2＋„＋an)－＋„＋

ana1a2

111－a1（1－qn）a1qa1（1－qn）q（1－qn）

＝

1－q

－

11－

＝

1－q

－

a1（1－q）q0，q

a1（1－qn）q（1－qn）∴≥1－qa1（1－q）q因为0＜q＜1，所以，化简得a1≥

q

－1

q≤q

4n－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.00912.[解析] an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂项求和即可． 2 01033A＋B＋Cπ313.[解析] sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝2332

b2a2b2a214．证明：(a＋b)＝－a＋b

abab

（b＋a）（b－a）（a＋b）（a－b）＝ab

1112

＝(a－b)(a＋b)＝(a－b)(a＋b)，baab

b2a2

∵a＞0，b＞0＋a＋b.ab

r－1r－1

15．解：(1)f′(x)＝r－rx＝r(1－x)，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)内是减函数； 当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.r

(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即x≤rx＋(1－r)． ① 若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是

a1b1a1a1在①中令x＝，r＝b1，可得≤b1·＋(1－b1)，a2a2a2

即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②

(3)(2)中命题的推广形式为：

若a1，a2，„，an为非负实数，b1，b2，„，bn为正有理数． 若b1＋b2＋„＋bn＝1，则ab11ab22„abnn≤a1b1＋a2b2＋„＋anbn.③ 用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．

②假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，„，ak为非负实数，b1，b2，„，bk为正有理数，且b1＋b2＋„＋bk＝1，则ab11ab22„abkk≤a1b1＋a2b2＋„＋akbk.当n＝k＋1时，已知a1，a2，„，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，„，bk，bk＋1为正有理数，且b1＋b2＋„＋bk＋bk＋1＝1，此时0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是ab11ab22„abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22„abkk)abk＋1k＋1

＝(a1a2„ak)1－bk＋1abk＋1k＋1.1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bk

b1b2bk

1，由归纳假设可得

1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bkb1b2bk

a＋a2·＋„＋ak·＝1a2„ak≤a1·1－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋1

a1b1＋a2b2＋„＋akbk，1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋„＋akbk1－bk＋1从而ab11ab22„abkkabk＋1k＋1≤abk＋1k＋1.1－bk＋1

又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得

1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋„＋akbka1b1＋a2b2＋„＋akbkabk＋1k＋1≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋1－bk＋11－bk＋1

因

a2b2＋„＋akbk＋ak＋1bk＋1，从而ab11ab22„abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋„＋akbk＋ak＋1bk＋1.故当n＝k＋1时，③成立．

由①②可知，对一切正整数n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况．

【难点突破】

*

16．解：(1)对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.*

(2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N，有an＋1＝anq.由an

＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是

B（n）a2＋a3＋„＋an＋1q（a1＋a2＋„＋an）

＝q，A（n）a1＋a2＋„＋ana1＋a2＋„＋an

C（n）a3＋a4＋„＋an＋2q（a2＋a3＋„＋an＋1）

＝＝q，B（n）a2＋a3＋„＋an＋1a2＋a3＋„＋an＋1

B（n）C（n）即＝＝q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． A（n）B（n）

*

②充分性：若对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．

于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0.an＋2

错误!＝q.an＋1

故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．

*

综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

因为an＞0，所以

第三篇：2014届高考数学一轮复习第6章《不等式与推理证明》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与

推理证明》（第2课时）（新人教A版）

一、选择题

1．(2011·高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()

22A．a＋b＞2abB．a＋b≥2ab

112baC.D.＋ ababab

解析：选D.∵a＋b－2ab＝(a－b)≥0，∴A错误．

对于B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误．

对于D，∵ab＞0，∴＋≥2 222ba

abba2.ab

1(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()x－22．(2011·高考重庆卷)若函数f(x)＝x＋

A．1

2C．

3解析：选C.f(x)＝x＋B．1＋3 D．4 11＝x－2＋2.x－2x－2

∵x>2，∴x－2>0.11(x－2)·∴f(x)＝x－2＋2＝4，x－2x－2

1当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立． x－2

又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.3．(2012·高考福建卷)下列不等式一定成立的是()

21A．lgx＋＞lgx(x＞0)4

1B．sinx＋x≠kπ，k∈Z)sinx

2C．x＋1≥2|x|(x∈R)

1D.2＞1(x∈R)x＋

11321解析：选C.取x＝，则lgx＋＝lgx，故排除A；取xπ，则sinx＝－1，sinx422

11＋2，故排除B；取x＝021，故排除D.应选C.sinxx＋1

114．已知a>0，b>0，则2的最小值是()ab

A．2

C．4B．2 D．

5a＝b112解析：选C.＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.当且仅当abab＝1ab

立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.时，等号成5．(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为1元．为使平均到每8件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()

A．60件B．80件 C．100件D．120件 解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得 800x800xy·20.x8x8

800x

当且仅当＝x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.x8

二、填空题

6．函数y＝解析：y＝

x

x

2＝x＋9

x4＋9x2

x≠0)的最大值为__________，此时x的值为________． 19≤296

1x2＋2

x

当且仅当x＝2，即x3时取等号．

x

答案：±

367．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.400

解析：每年购买次数为x

400

∴总费用为4x≥26400＝160，x

1600

当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.x

答案：20

8．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．

x＋y2

解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤((当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋

x＋y23≤(x＋y)－4(x＋y)－12≥0，所以x＋y≥6或x＋y ≤－2(舍去)，故x＋y

∈[6，＋∞)．

答案：[6，＋∞)

三、解答题

ab

49．已知a，b＞0，求证：22baa＋b

abab

1＞0，2·2＝

2babaab

a＋b≥2ab＞0，1ab∴2＋2(a＋b)≥2 ·2ab＝4.abba

ab4∴2＋2≥baa＋b

证明：∵2＋2

ab22当且仅当ba

a＝b，取等号，即a＝b时，不等式等号成立．

10．(1)设0

(2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．

解：(1)∵00.∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋3－2x29]＝.22

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

33∵∈(0，)，42

∴函数y＝4x(3－2x)(0

(2)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴xy＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，52

5∴xy≥xy≥，等号成立的条件是x＝y.39525

此时x＝y＝，故xy的最小值是.39

一、选择题

1．(2011·高考陕西卷)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()

a＋ba＋b

A．a＜b＜ab＜B．a＜ab＜b

22a＋ba＋b

C．aab＜b＜D.ab＜a＜b

2a＋b

解析：选B.∵0＜a＜b，∴a＜b，A、Cab－a＝aba)＞0，ab

＞a，故选B.2．(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()2428A.B.55C．5D．6

3解析：选C.∵x＋3y＝5xy，∴＋5，∵x＞0，y＞0，yx

yxyx

＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．∴3x＋4y的最小值是5，选C.二、填空题

133x12y

∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥

2yx

3x12y＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x

221

13．(2011·高考湖南卷)设x，y∈R，且xy≠0，则x＋22＋4y的最小值为________．

yx

1221122

解析：x＋22＋4y＝54xy≥5＋2

yx

xy

12222

·4xy＝9，当且仅当xy＝时xy2

“＝”成立．

答案：9

xy

4．(2013·潍坊质检)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9＋3的最小值为________．

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0,2x＋y＝2，xy2xy9＋3＝3＋3≥23·3＝23＝2×3＝6.2xy3＝31

(当且仅当，即x＝，y＝1时取等号)

22x＋y＝2

答案：6

三、解答题 5.设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值．

解：∵AB＝x，∴AD＝12－x，又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，即AP＝x－DP，72222

∴(12－x)＋PD＝(x－PD)，得PD＝12－，x

∵AB＞AD，∴6＜x＜12，∴△ADP的面积S＝AD·DP

2721＝(12－x)12－ x2

72＝108－6x≤108－6·272＝108－2，x

当且仅当xx＝2时取等号，x

∴△ADP面积的最大值为108－2，此时x＝62.

第四篇：【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第七章 不等式 7.2

第2讲 不等式的解法

1.不等式>0的解集是()

A.(-2,1)B.(2,+∞)

C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C 【解析】原不等式等价于 ∴x>2或-2

C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)【答案】D 【解析】当x≤0时,由x2≥1,得x≤-1;当x>0时,由2x-1≥1,得x≥1.综上可知,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞).3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.m>1 B.m<-1 C.m<-D.m>1或m<-【答案】C 【解析】当m=-1时,不等式变为2x-6<0, 即x<3,不符合题意.当m≠-1时,由题意知

化简,得解得m<-.4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)【答案】A 【解析】由于ax>b的解集为(1,+∞),故有a>0且=1,又>0⇔(ax+b)(x-2)=a(x+1)(x-2)>0⇔(x+1)(x-2)>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).5.(2012·北京东城示范校综合练习)已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是()A.{x|-1≤x≤-1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤-1} D.{x|--1≤x≤-1} 【答案】C 【解析】当x+1<0,即x<-1时,x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)(-x)≤1,解得x∈R,所以x<-1.当x+1≥0,即x≥-1时,x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)x≤1,解得--1≤x≤-1,所以-1≤x≤-1.于是可得原不等式的解集为{x|x≤-1}.6.设函数f(x)=已知f(a)>1,则a的取值范围是()A.(-∞,2)∪

B.C.(-∞,-2)∪ D.∪(1,+∞)【答案】C 【解析】 a≤-1时,由(a+1)2>1,得a<-2或a>0,故a<-2;-11,得a>-,故-1无解.综上,a的取值范围是(-∞,-2)∪,故选C.7.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为{x|-3

【答案】B 【解析】由题意可知,函数f(x)=ax2+bx+c为二次函数,其图象为开口向下的抛物线,与x轴的交点是(-3,0),(1,0),又y=f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故只有B符合.8.(2012·安徽合肥质检)不等式≥0的解集是

.【答案】(1,2] 【解析】因为≥0等价于所以不等式≥0的解集为(1,2].9.若不等式a<2x-x2对于任意的x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围为

.【答案】(-∞,-8)【解析】由已知不等式a<-x2+2x对任意x∈[-2,3]恒成立,令f(x)=-x2+2x,x∈[-2,3], 可得当x=-2时,f(x)min=f(-2)=-8, ∴实数a的取值范围为(-∞,-8).10.(2012·北京卷,14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是

.【答案】(-4,0)【解析】由题意可知,m≥0时不能保证对∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0成立.当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象①,显然满足条件;(2)当-1-(m+3),要使其满足条件,则需解得-12m,要使其满足条件,则需解得-4

如图所示,由穿根法知原不等式的解集为 {x|-2≤x<0或x≥1}.12.已知a<1,解关于x的不等式>1.【解】原不等式可化为>0, 因为a<1,所以a-1<0.故原不等式化为<0,等价于(x-2)<0.当0

当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0时,解集为.拓展延伸

13.已知函数f(x)=x2+ax+3.(1)若当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围;(2)若当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.【解】(1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒成立,必须且只需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2.(2)f(x)=x2+ax+3=+3-.①当-<-2,即a>4时,f(x)min=f(-2)=-2a+7,由-2a+7≥a得a≤,故a∈⌀.②当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3-, 由3-≥a,得-6≤a≤2.故-4≤a≤2.③当->2,即a<-4时,f(x)min=f(2)=2a+7, 由2a+7≥a,得a≥-7,故-7≤a<-4.综上,得a∈[-7,2].

第五篇：南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明

南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若Paa7，Qa3a4，(a0)则P、Q的大小关系是()

B．P＝Q

D．由a的取值确定 A．P＞Q C．P＜Q

【答案】C

2．如果正数a,b,c,d满足abcd4，那么()

A． abcd且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

B． abcd且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

C． abcd且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

D． abcd且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

22【答案】A 3．用反证法证明命题：“如果ab0，那么ab”时，假设的内容应是()

A．ab

C．ab

【答案】C

4．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是()

A．[1,4];B．[2,6];C．[3,5 ];D． [3,6].【答案】C

5．下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适()

A．三角形B．平行四边形

C．梯形D．矩形

【答案】B

6．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()

A．2 B．4 C．6 D．2222B．ab D．ab且ab 22222

2【答案】C

7．由7598139bmb与之间大小关系为(),,,„若a>b>0,m>0,则10811102521ama

B．前者大 C．后者大 D．不确定 A．相等

【答案】B

8．用反证法证明命题：“a,b,c,dR,ab1,cd

少有一个负数”时的假设为()1,且acbd1,则a,b,c,d中至

A．a,b,c,d中至少有一个正数

C．a,b,c,d中至多有一个负数 B．a,b,c,d全为正数 D．a,b,c,d全都大于等于0

【答案】D

9．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()

A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7

【答案】C

2S10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类a＋b＋c

比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝()

V2VA．B．S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S

43V4VC．D． S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4

【答案】C

11．用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．则假设的内容是()

A．a，b都能被5整除

C．a不能被5整除

【答案】B B．a，b都不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除

axax

12．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)，2axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()C(x)2

①S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；

②S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；

③C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；

④C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；

A．①③

【答案】Ｄ

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于

B．②④ C．①④ D．①②③④

．

【答案】

514．某同学在证明命题“

要证明772”时作了如下分析，请你补充完整.62，只需证明____________,只需证明____________,＋292，即,只需证明1418,____________,展开得9

所以原不等式:762成立.22(72)(6)723【答案】,，因为1418成立。

15．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖块

.【答案】100

16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是 由6颗珠宝（图中圆圈表示珠宝）构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件 首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量 的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第7件首饰上应有____________颗珠宝。

【答案】9

1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．

【答案】（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．

设a2n1(nZ)，则a24n24n1．

∵4(n2n)是偶数，∴4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶数．

18．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,„,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,„,26这26个自然数,见如下表格

:

给出如下变换公式:

x1(xN,1x26,x不能被2整除)2' Xx13(xN,1x26,x能被2整除)

285+1将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；如5→=3，即e变成c.22

①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？

②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？

【答案】①g→7→7+115+1→d;o→15→→h;d→o;22

则明文good的密文为dhho

②逆变换公式为

'''2x1(xN,1x13)x' ''2x26(xN,14x26)

则有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o；

x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e

故密文shxc的明文为love

19．设{an}和{bn}均为无穷数列．

(1）若{an}和{bn}均为等比数列，试研究：{anbn}和{anbn}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．

(2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

【答案】（1）①设cnanbn，则设cn2n12n2ncn1cn1(a1q1n1b1q2)(a1q1nb1q2))(a1q1n2b1q2

n2a1b1q1n2q2(q1q2)2

ncn1an1bn1a1q1nb1q2(或）n1cnanbna1q1n1b1q2

当q12q2时，对任意的nN,n2，cncn1cn1（或cn1q1）恒成立，cn

故{anbn}为等比数列；

n(a1b1),q1q21,Sn(a1b1)(1q1n),q1q21.1q1

当q1q2时，2证法一：对任意的nN,n2，cn

证法二：c22cn1cn1，{anbn}不是等比数列． 2c1c3a1b1[2q1q2(q12q2)]0，{anbn}不是等比数列．

②设dnanbn，对于任意nN，*dn1an1bn1q1q2，{anbn}是等比数列． dnanbn

n(a1b1),q1q21,nSna1b1(1q1nq2),qq1.121qq12

(2）设{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则：

①{anbn}为等差数列；Sn(a1b1)nn(n1)(d1d2)2

②当d1与d2至少有一个为0时，{anbn}是等差数列，n(n1)a1d2； 2

n(n1)若d20，Sna1b1nb1d1． 2若d10，Sna1b1n

③当d1与d2都不为0时，{anbn}一定不是等差数列．

20．求证： 6【答案】要证：

只需：即证： > 227 5>2277>22成立，2672> 22

只需证：13+242> 13+240

即证：42>40

∵42>40显然成立，∴ 65>22证毕。

21．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，a,b,c分别为三个内角A、B、C所对的边，求证：

113。abbcabc

【答案】要证

即证113abcabc，即需证3。abbcabbcabcca2221。又需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证caacb abbc

∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有b2c2a22cacos60，即b2c2a2ac。∴c2a2acb2成立，命题得证。

22．已知x1,y1，用分析法证明：xyxy.xyxy，即证xy21xy2，22【答案】要证22即证xy1xy，即证x11y

因为

220，0，不等式得证． x1,y1，所以x210,1y20，22所以x11y