第一篇:苏州市高三数学二轮复习示范课教案--12.含绝对值的二次函数的最值问题(顾日新).doc[最终版]
2013届高考数学第二轮复习研讨会
含绝对值的二次函数的最值问题
苏州工业园区星海实验中学 顾日新
2013-4-3
一、复习要点
本节复习的重点是含绝对值的二次函数最值问题。二次函数的最值问题一般分享四种类型:定轴定区间、定轴变区间、变轴定区间及变轴变区间,其中准确分类、数形结合是关键。
二、知识与方法
问题1:处理二次函数在区间的最值问题,一般要考虑哪些元素?
问题2:若二次函数f(x)的图像开口向上,如何求f(x)在区间[m,n]的最大值和最小值? .
问题3:若二次函数f(x)的图像开口向下,如何求f(x)在区间[m,n]的最大值和最小值? .
三、例题精讲
例1 设a为实数,函数f(x)xxa1,xR.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
例2 已知函数f(x)x21,g(x)a|x1|.
(1)若关于x的方程|f(x)|g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;(2)若xR时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间[-2,2]上的最大值.
例3 设a为实数,函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;
(3)(选做)设函数h(x)f(x),xa,,求不等式h(x)1的解集. ..
四、检测巩固
设a为实数,函数f(x)=x|x-a|.求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值.
关于本节教学内容的说明:
二次函数是贯穿初高中数学教学的重点,也是历年高考的热点,更是学生学习中的一个难点。在初、高中阶段,教材对其处理方式是不同的。初中阶段,教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态;而高中阶段,学生主要感知的是二次函数在区间上的局部性态,教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用。
二次函数题型较多,其中求二次函数在闭区间上的最值是学生学习中的一个难点,尤其是含参数的最值问题,涉及到分类讨论,数形结合的数学思想,学生更是理不清头绪,盲目入手,容易走入歧途。那么,如何突破这个难点?我个人认为,应突出“顶点”作用,让学生明确二次函数的最值和它的顶点与变量取值区间的位置有关。相应的图像可划分为有顶点和无顶点两种状态:若顶点在,则最值在顶点处或区间端点处取得;若无顶点,则最值在区间端点处取得。
含绝对值的二次函数其本质是分段函数,研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态。设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件,数形结合则是问题能否正确解决的关键所在。
本学案内容共分四个环节,环节二不是常规的小题训练,取而代之的是知识与方法,之所以不设置小题训练环节,主要是因为本课题涉及的核心知识和方法是学生颇为熟悉的,不走以小题带知识点的常规教学套路,是符合二轮复习学生学情的。本节课的核心知识和方法以三个问题进行呈现,问题1是二次函数的整体形态,问题2、3则是并列的,是二次函数在区间的局部形态。开口向上(下)的抛物线在区间的最大(小)值一定在区间端点处取得则体现了简约思维的特点,也是例2第(3)问确定分类标准的依据。例题1、2、3分别是定轴变区间、变轴定区间、变轴变区间的类型。下面逐条加以说明。
例1(实物投影—展示学生解题过程):第(1)问学生要明确函数奇偶性的讨论是由参数a的取值2变化而引起的,x1具有偶函数特性,学生若对xa(aR)的图像有着较为深刻的认识,则对参数a分等于0和不等于0两种情况进行讨论就显得非常自然了。第(2)问先去绝对值学生应该不成问题,但是要强化根据绝对值与区间的位置关系确定分类讨论的标准。
例2(教师示范,全面展现思维过程):本题的题眼是f(1)0,结合分离参数和分类讨论,(1)、(2)可以轻松解决;第(3)较为复杂,考查学生数形结合和分类讨论的能力。首先本题的分类标准不易确定,若逐一考虑三段函数的对称轴和区间的位置关系又显得繁琐不堪,研究三段函数各自的图像、连接点及单调性则是解决本题的关键。分类标准难确定,图形直观难入微是这类题目的难点,对学生的综合素质要求非常高。
例3(学生练习巩固,实物投影展示解题过程):本题是江苏09年高考题,当年高考试卷一改以往20题一定是难题的老印象,以二次函数为载体,重点考查学生的数形结合与分类讨论的能力。但是这道题得分不高,这也说明学生分类讨论的能力比较弱,要尤其我们的足够重视。
“二次函数”模型可以说是高中数学中应用最广,最具典型性和代表性的函数模型,其应用已渗透到高中数学的多个章节,并为高考命题者所青睐。以二次函数为模型的高考题新招迭出‘给人以耳目一新之感。因此,我们在二轮复习中,要让学生树立二次函数的模型意识,并结合教学内容,编制新颖别致,富于变化的问题,让学生自己去感知、归纳、突破,真正达到领悟其内涵,灵活运用之境界。
第二篇:二次函数的最值问题教案
二次函数的最值问题 莘庄职校 :吴翩
班级:莘庄职校03级(4)班
2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。
培养学生敏锐的观察能力,运算准确性,思维的灵活性,培养学生发现问题的创新意识,探索问题的创新精神以及多层次,多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点:当区间端点不定时,讨论二次函数最值问题。难点:分类讨论思想的正确运用。[教学过程]
一、知识回顾
1、二次函数概念:形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次
函数。
bb4acb2)
其中对称轴为x,顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质
(动画演示)
(1)单调性(2)最值
二、问题探究
例题:求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。(动画演示)
(1)R
f(x)minf(1)
(2)[-2,2]
f(x)minf(1)
f(x)maxf(2)
(3)[1,3]
f(x)minf(1)
f(x)maxf(3)
5(4)[-2,]
45f(x)minf()
f(x)maxf(2)
41f(2)
[-2,]
f(x)minf(1)
f(x)max31[-2,]
3f(x)minf(1)
f(x)ma1f()x3(5)[-2,a]
(学生观察,讨论)
f(2)f(a)
f(x)max①当-2≤a<-1时
f(x)minf(2)f(1)
f(x)max②当-1≤a<0 时
f(x)minf(a)③当a≥0时
f(x)minf(1)
f(x)max
三、问题引申
求函数f(x)x22x1在区间[m,m+2]上的最大值和最小值。
(动画演示)
f(m)解:当m<-3时
f(x)minf(m3)
f(x)maxf(m)f(1)
f(x)max当-3<m<-2时
f(x)minf(m2)f(1)
f(x)max当-2<m<-1时
f(x)minf(m2)当m>-1时
f(x)minf(m)
f(x)max
四、总结归纳
五、开拓思维
当二次函数对称轴变化时,在指定区间内求最值
研究:二次函数f(x)x22a1在区间[-1,2]上最值。(动画演示)
第三篇:中考数学专题复习练习二次函数与三角形面积最值
二次函数与面积的关系
如图①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(),中间的这条直线在内部的部分的长度叫△ABC的“铅垂高”().我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.【例题1】如图②,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)
求抛物线对应的函数解析式;
(2)
若点M为第三象限内抛物线上一动点,其横坐标为,的面积为,求关于的函数解析式,并求出的最大值.【变式训练1-1】如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
(1)求点,点和点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上有一动点,求的值最小时的点的坐标;
(3)若点是直线下方抛物线上一动点,求四边形面积的最大值.
【拓展总结】若抛物线上y1=ax2+bx+c,它与y轴交于C(0,4),与x轴交于A(﹣1,0)、B(k,0),P是抛物线上B、C之间的一点.
(1)当k=4时,求抛物线的方程,并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标;
(2)当a=1时,求抛物线的方程及B的坐标,并求当△BPC面积最大时P的横坐标;
(3)根据(1)、(2)推断P的横坐标与B的横坐标有何关系?
【练习】如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值.
【练习】如图,二次函数的图象与x轴交于点A.B两点,且A点坐标为(−2,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求出这个二次函数的解析式;
(2)直接写出点B的坐标为___;
(3)在x轴是否存在一点P,使△ACP是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由。
【练习】已知一次函数y=kx+3与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的一个交点坐标为A(3,0),另一个交点B在y轴上,点P为y轴右侧抛物线上的一动点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当点P位于直线AB上方的抛物线上时,求△ABP面积的最大值;
(3)当此抛物线在点B与点P之间的部分(含点B和点P)的最高点与最低点的纵坐标之差为9时,请直接写出点P的坐标和△ABP的面积.
1.如图,抛物线W的图象与x轴交于A、O两点,顶点为点B(﹣1,﹣1).
(1)求抛物线W的表达式;
(2)将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V,使抛物线V的顶点为E,试通过计算判断抛物线V是否过点B;
(3)在抛物线W或V的图象上是否存在点D,使S△EBD=S△EBO?若存在,请求出点D的坐标.
1.如图抛物线y=ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,点P是抛物线上一个动点(不与点C重合)
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P是抛物线上一个动点,若△PCA的面积为12,求点P的坐标;
第四篇:中考数学复习二轮冲刺高频考点模块练习(二次函数与线段、面积最值综合题型)
2021年中考数学复习二轮冲刺高频考点模块练习
(二次函数与线段、面积最值综合题型)
一.
突破与提升策略:
1.面积最大值
(1)三角形有一条边在坐标轴上:
以在坐标轴上的边为底边,过不在坐标轴上的顶点作垂线;
(2)三角形的三边都不在坐标轴上:
过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多);
(3)四边形有两边在坐标轴上:
过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系:先求出其中一个图形的面积,再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积,根据两图形间的面积关系,列方程求解;或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积,再用题中等量关系列方程求解.
二.典型题提升练习
1.如图,已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点,且B点的坐标为(-1,0),(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧,过点M,N作x轴的垂线交x轴于点G,H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
2.如图,抛物线与轴交于、两点,是以点(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,是线段的中点,连结.则线段的最大值是多少?
3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与线段BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值;
4.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;
5.在平面直角坐标系中,顶点为A的抛物线与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)探究:如图①,连接OA,过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由;
(3)应用:如图②,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n=-1,连接PA,PC,在线段PC上确定一点N,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标.
提示:若点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则线段AB的中点坐标为.6.如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y
轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横
坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
7.如图,抛物线与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,-3).点P、Q是抛物线上的动
点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.
8.已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,其图象与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求b,c的值;
(2)直线l与x轴交于点P.
①如图1,若l∥y轴,且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F,点C关于直线x=1的对称点为D,求四边形CEDF面积的最大值;
②如图2,若直线l与线段BC相交于点Q,当△PCQ∽△CAP时,求直线l的表达式.
9.如图①,抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将
直线AB绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D.
(1)求直线AD的函数解析式;
(2)如图②,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;
②当点P到直线AD的距离为时,求sin∠PAD的值.
10.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.(1)
求抛物线的解析式;
(2)
点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为;
(3)
点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;
(4)
若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图所示,抛物线过点A(-1,0),点C(0,3),且
OB=OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴;
(2)点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边
形ACDE的周长的最小值,(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5
两部分,求点P的坐标.
12.如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,已知抛物线经过点(-1,0)、(5,0).(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)若点在抛物线上,且点的横坐标为8,求四边形的面积
(3)定点在轴上,若将抛物线的图象向左平移2各单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点在新的抛物线上运动,求定点与动点之间距离的最小值(用含的代数式表示)
14.如图,抛物线与轴交于、两点在的左侧),与轴交于点,过点的直线与轴交于点,与抛物线的另一个交点为,已知,点为抛物线上一动点(不与、重合).
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)当点在直线l上方的抛物线上时,过点作轴交直线l于点,作轴交直线l于点,求的最大值;
(3)设为直线l上的点,探究是否存在点,使得以点、,、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
第五篇:邦学教育一对一教案第五讲(二次函数的最值问题)
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第5讲:二次函数的最值问题
1.二次函数yax2bxc(a0)的最值.
二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时,函数在xb处取得最小值2ab4acb24acb2,无最大值;当a0时,函数在x处取得最大值,无最小值.
4a2a4a2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步确定a的符号,a>0有最小值,a<0有最大值;
第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值. 例
1、求下列函数的最大值或最小值.
(1)y2x23x5;(2)yx23x4.
例
2、当1x2时,求函数yx2x1的最大值和最小值.
例
3、当x0时,求函数yx(2x)的取值范围.
例
4、求函数y=x4-3x2+2的最小值.
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例
5、当txt1时,求函数y125xx的最小值(其中t为常数). 22
例
6、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式;
(2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
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【课后作业】
1.抛物线yx2(m4)x2m3,当m= _____ 时,图象的顶点在y轴上;当m= _____ 时,图象的顶点在x轴上;当m= _____ 时,图象过原点.
2.用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为________. 3.设a0,当1x1时,函数yx2axb1的最小值是4,最大值是0,求a,b的值.
4.已知函数y=2x+4x-3,当x≤0时,求y的取值范围. 2
5.已知函数yx22ax1在1x2上的最大值为4,求a的值.
26.求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数).
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