[教案]二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

第一篇：[教案]二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。

一、轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。例1.函数f(x)x24x2在区间[[0,3]上的最大值是_______，最小值是______。

思维导图：第一步：对f(x)x24x2配方第二步：求出对称轴，判断图

像开口方向第三步：判断对称轴与区间[0,3]的关系第四步：确

定该函数在[0,3]上的单调性第五步：求最值。

解析：由配方法得y(x2)2，其对称轴方程是x，且图象开口向下，又2[0,3]，f(x)在[0,2]上单调递增，[2,3]上单调递减，如图所示，故函数的最大值为f(，2)220)2

最小值为f(。

同学们试着求一下：f(x)x24x2分别在区间[1,1],[3,5]上的最值。

小结：二次函数f(x)axbx在给定区间[m,n]内的最值情况：

,c(a0)

当a0时，2bb4acb2

（1）当[m,n]时，f(x)的最小值是f()，f(x)的

2a2a4a

最大值是f(m)、f(n)中的较大者。

（2）当bbm，由f(x)在[m,n]上是增函数 [m,n]时，若2a2a

则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb，由f(x)在[m,n]上是减函数，2a则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

这样我们把二次函数a0在闭区间上的最值情况都罗列出来了，对a0时，二

次函数在闭区间上的最值情况也可作类似的讨论。

二、轴定区间动 例2：求函数f(x)x22x2,x[m,m1]的最值。

思维导图：第一步：对f(x)x22x2配方第二步：求出对称轴，判断图

像开口方向第三步：讨论对称轴与区间[m,m1]的关系第四步：确

定该函数在[m,m1]上的单调性第五步：求最值。

解析：由配方法得f(x)(x1)21，故其对称轴方程是x1，且图象开口向上

（1）当1[m,m1]，即0m1时，f(x)在[m,1]上单调递减，[1,m1]上单调递增，故函数的最小值为f(1)1，又f(m)f(m1)m2m2(m1)2(m1)22m1。

当0m

当

221时，ymaxf(m)m22m2； 21m1时，ymaxf(m1)m21；

2同学们自己完成m1时、m0的情况，三、轴动区间定

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”。

例3.求函数f在区间[1,1]上的最值。()xxax3 思维导图：第一步：对f配方第二步：求出对称轴，判断图

()xxax像开口方向第三步：判断对称轴与区间[1,1]的关系第四步：确定

该函数在[1,1]上的单调性第五步：求最值。

22a2a

2解析：将f(x)配方得：f(x)(x)3

2易知对称轴方程是x

（1）当a，图象开口向上 2a1，即a2时，f(x)在[1,1]上递增，2

所以函数的最小值是f(，最大值是f()。1)4a14a

（2）当a1，即a2时，f(x)在[1,1]上递减，2

所以函数的最大值是f(，最小值是f()。1)4a14a

（3）当1a1，即2a2时，2

同学们自己完成第三种情况：

三、函数动区间动

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“函数动区间动”。

(x1)2例8.求函数f(x)(x4)a2在区间[2a1,)的最小值。

42解：将f(x)整理配方得f(x)5179(x)2a2 455

易知对称轴方程是x17，图象开口向上，顶点坐标为(，a2)，55517961712a，即a时，551717

f(x)在[2a1,]上单调递减，[,)上单调递增，559172

则当x时，f(x)mina；

55617

（2）若12a，即a时，55

（1）若

f(x)在[2a1,)上递增，则当x时，f(x)min12a针对性测试题：

1.已知函数f(x)x2x1,x[0,3]的最值情况为

（）

A.有最大值3，但无最小值

B.有最小值3，有最大值1

445179(12a)2a2。455

C.有最小值1，有最大值19

D.无最大值，也无最小值

2.求函数f(x)4x2x1,x[3,2]的最大值和最小值。

3.求下列函数的值域：

（1）y2x41x；（2）y()

4.已知函数yx22x1, 求它当x[t1,t1]时的最小值。

5.求函数yx22ax1在区间[0,2]上的最值。

6.已知f(x)2log3x,x[1,9]，求y[f(x)]f(x)的最大值及取得最大值时 x的值。

2212x23x4；（3）ylog1(x24x12)。

第二篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

第三篇：二次函数在区间上的最值

二次函数在区间上的最值问题

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）

第四篇：二次函数闭区间上的最值问题

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布 一、二次函数闭区间上的最值问题

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.2 设f(，求x)axbxc(a0)f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。b2a 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x

当a0时，抛物线开口向上

若 若b2ab2a[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； [m，n]

b2a 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时

f(x)maxb1f(m)，(mn)(如图1)2a2 b1f(n)，(mn)(如图2)2a2 f(x)minbf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)2a2abf(m)，m(如图5)2a

当a0时

f(x)maxbf(n)，n(如图6)2abbf()，mn(如图7)2a2abf(m)，m(如图8)2a

f(x)minb1f(m)，(mn)(如图9)2a2 b1f(n)，(mn)(如图10)2a21.定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

x4x2 例1.函数y在区间0，3上的最大值是_________，最小值是_______。2 1

例1： 解：函数y是定义在区间0，3上的二次函数，其x4x2(x2)2对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

例2.已知2x3的最值。)xx1x，求函数f(x2222 例2： 解：由已知2x3x，可得0x232，即函数f(x)是定义在区间0，3上的二2113次函数。将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标224331且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)，，242193。242的最小值为f(0)1，最大值为f2b4acb 解后反思：已知二次函数f(（不妨设a0），它的图象是顶点为x)axbxc，、对称轴为

4a2a2xb2a、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

acbb4（1）当m，n时，f(x)的最小值是f)、f(n)中的较大者。，f(x)的最大值是f(m2a4a2ab2（2）当 若b2am，n时 b2am，由f(x)在m，n上是增函数  则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb2a，由f(x)在m，n上是减函数  则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2.动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a，求函数f(的最值。x)xax320221x1，a2 例3：解：由已知有，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得： aa f(x)x324 22

二次函数f(x)的对称轴方程是xa2

2aa 顶点坐标为，3，图象开口向上

42 由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。

 函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

例4.已知二次函数f(在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。x)ax4axa1 例4： 解：将二次函数配方得f，其对称轴方程为x，顶点坐标为(()xa(x2)a4a12，a4a1)，2图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x时，函数取得最大值5 2 即f(2)a4a152222220

解得a21 故a 210(a210舍去)若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5 即f()15aa152或a6 解得a1

故a1(a6舍去)

210或a1 综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。3.定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例5.如果函数f(定义在区间t，x)(x1)1t1上，求f(x)的最小值。2x)(x1)1 例5： 解：函数f(，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值 2()xf(t)(t1)1 f。min21t1t1 如图7所示，若顶点横坐标在区间t，即0。当x1时，t1上时，有t函数取得最小值 

f()。xf()11min 如图8所示，若顶点横坐标在区间t，即t0。当x时，11t1t1右侧时，有t函数取得最小值

f()xf(t1)t1min2 综上讨论，f(x)min(t1)21,t11,0t1 2t0t12 例6.设函数f(的定义域为t2x)x4x4R，求函数f(x)的最小值(t)的解析式。，t1，对任意t 例6： 解：将二次函数配方得：

f()xx4x4(x2)8 其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t2，即t4。当x时，函数取得最小值 t2t2，t1左侧，则2 ft(2)(t4)8t8t8 若顶点横坐标在区间t2，即3。当x2时，函数取得最小值 22t1t4，t1上，则t f(2)8

若顶点横坐标在区间t2，即t3。当x时，函数取得最小值 12t1，t1右侧，则t ft(1)(t3)8t6t1222222t28t8(t4) 综上讨论，得(t)8(3t4)

2t6t1(t3)4.动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

4ax(a)(a0)(x3)y的最小值为4，求参数a的值。

例7.已知y，且当xa时，Sa(xa)代入S中，得

例7： 解：将y42222S(x3)4a(xa)2x2(32a)x94a222

2x(32a)12a8a32a，12a8a)，图象开口32a 则S是x的二次函数，其定义域为xa，顶点坐标为(，，对称轴方程为x向上。

若3，即0 2aaa1

2

则当x时，S 12a8a432a最小 此时，a1，或a212 若3，即a1 2aaa(32a)12a8a4 则当x时，S a最小22，a1 此时，a5，或a1（因a1舍去）

综上讨论，参变数a的取值为a1，或a12，或a5

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。课后练习：

区间最值问题答案

第五篇：二次函数的最值问题教案

二次函数的最值问题 莘庄职校 ：吴翩

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

研究：二次函数f(x)x22a1在区间[-1，2]上最值。（动画演示）