剖析与二次函数图象有关的最值问题

第一篇：剖析与二次函数图象有关的最值问题

剖析与二次函数图象有关的最值问题

摘要：对于二次函数的最值问题，我们在初中就开始接触，而且也是初中的重要教学内容，但也只是注重基础，涉及的也是简单的二次函数。随着知识的加深，二次函数的最值问题涉及的内容越发的广泛与深奥。作为二次函数中最基本的问题――最值问题，本文将从简易到复杂的知识进行剖析。

关键词：二次函数；最值

对于二次函数图象的最值问题，重点关注的主要是图象的对称轴和所给自变量的区间（即定义域）的界定。而且掌握二次函数的最值问题，首先需要将二次函数的图象形象的画出来。然后根据图象以及问题的条件界定来进行最值问题的求解。一、二次函数的图象

对于二次函数的图象，我们需要找到二次函数的对称轴，顶点以及开口方向，有时还需要界定某一到两个特殊的线与x-y轴的交点，才能较为准确的描绘出图象。

二次函数的的表达式有顶点式，交点式以及三点式，其一般的表达式为y=ax?+bx+c（a≠0），此图象的对称轴，开口方向以及顶点都取决于这一般表达式中的a、b、c三个系数。最重要的是求解对称轴，对称轴的计算公式为x=-b/2a。

其一般图形为： 二、二次函数图象的最值

1、二次函数在界定区间上的最值问题（最简单，直接的最值问题）

此类问题基本就是明确给定二次函数以及定义域区间的情况下，求最值的。解决方案就是找到此函数的对称轴，看其与定义区间的关系，在判断在此区间上函数的增减性，进而求出答案。

例如：已知二次函数y=x2-2x，求在区间[0，4]上的最值。

根据二次函数可以画出图象，对称轴为x=1，草图如下：

从图中可以看出在区间[0，4]上，y值先递减后递增，在对称轴x=1处取得最小值y=-1，在x=4处取得最大值y=8.2、二次函数在不定区间上的最值问题（相对上一个，有些复杂，需要分类）

此类问题是在明确给定二次函数，但是其自变量的定义区间是变动的（存在未知数）情况下求解最值的。然而此类问题的解决方法就是通过明确给定的二次函数画出图象，再根据对称轴与自变量的关系界定进行分类讨论，最后分别判断在此区间上的增减性，求得最值。

例如：已知二次函数y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根据二次函数y=x2/2-x-5/2可以得出对称轴x=1，图象开口向上，再分类，画草图。

第一类：当对称轴x=1在所给区间的左侧，即t?R1，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递增，最小值为x=t时，y=t2/2-t-5/2。

第二类：当对称轴x=1在所给区间的右侧，即t+1?Q1→t?Q0，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递减，最小值为x=t+1时，y=t2/2-3。

第三类：当对称轴x=1在所给区间的内，即t<1

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上函数先减后增，最小值为x=1时，y=-3。

若是还需求最大值，前两种可以直观的看出，而最后一种需要对比在x=t以及x=t+1时y值得大小。此时t的范围还需划分。

当x1=t时，y1=t2/2-t-5/2，当x2=t+1时，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，从式子中可以看出当0

3、不确定的二次函数在固定区间下的最值问题

此问题是在明确给出定义域而二次函数存在未知系数（图象不确定）的情况下，求最值的问题。此类问题可以先将二次函数有一般形式转换为顶点式，找出其对称轴，开口方向以及区间位置。最重要的是找到其对称轴，然后根据未知系数分类进行求解，最后判断增减性，求最值。

例如：已知二次函数y=bx2+4bx+b2-1，求在区间[-4，1]上的最大值。

根据二次函数y=bx2+4bx+b2-1，写成顶点式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出对称轴为x=-2，在区间[-4，1]上，只需根据图象开口方向来判断区间的最大值。

第一类：当b=0时，y=-1，无最大最小值之说

第二类：当b<0时，图象开口向下，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先增后减，最大值为当x=-2时，y=b2-4b-1。

第三类：当b>0时，图象开口向上，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先减后增，最大值为区间的临界点，需要判定。

当x1=-4时，y1=b2-1

当x2=1时，y2=b2+5b-1

因为b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函数已知区间和最值求未知函数的系数（此类最为复杂，分类情况较多）

此类函数是在明确给出自变量区间，以及在区间内最值得一个（最大或最小），求解未知函数的系数。此类问题通常不会给定对称轴，因此需要进行分情况进行判定来求解，再根据其给出的最值来求出位置系数，此类问题通常的解有时会与条件分类的情况不相符，因此不要因为求出一个就大意，要注意情况与解的一致性。

例如：已知二次函数y=x2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

根据二次函数y=x2-2ax-1，写成顶点式y=（x-a）2-a2-1，对称轴为x=a，图象开口向上，然后进行分类

第一类：当a?Q0时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递增的，最小值为当x=0时，y=-1，与题中最小值为-2不相符。此分类舍弃。

第二类：当a?R2时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递减的，最小值为当x=2时，y=3-4a，因为题中给出最小值为-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2与条件不符的，舍弃。

第三类：当0

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是先减后增的，最小值为当x=a时，y=-a2-1因为题中给出最小值为-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根据分类条件0

综上得出a=1。

还存在第二种情况，图象的开口方向与未知参数有关，则划分情况求解释更需注意。

例如：二次函数y=ax2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

先根据二次函数y=ax2-2ax-1，将其换算成顶点式为y=a（x-1）2-a-1，可以得知对称轴为x=1，但开口方向不确定，需要分类进行求解。

第一类：当a=0时，y=-1与已知条件不相符，舍弃。

第二类：当a>0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]函数先减后增，最小值为对称轴即x=1时的y=-a-1，由已知条件最小值为-2，得出a的值为1，符合条件a>0。

第三类：当a<0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]上函数先增后减，最小值为区间端点值，需要进行比较。当x=0时，y=-1；当x=2时，y=-1，而此种情况下，最小值只能是-1，与已知条件相违背，舍弃。

所以综上得出a=1。

对于这两道题相对来说简单，要么给定了开口方向，要么给定了对称轴而且区间端点关于对称轴对称。但是有时题中既不会给定对称轴也不给定开口方向，就需要结合这两道题综合考虑未知系数的值，题目就会相对复杂。你只需要找准全部的区间，并且针对分类情况，将所有的值求出即可。

通过剖析二次函数图象的最值问题，可以看出关键点在于图象的对称轴以及区间的界定，以及在分情况求解中条件的限定。其实对于二次函数图象的最值问题，能画出大概的草图会有利于对于最值的把握，但是也不能一概而论，毕竟是草图，不能主观判断。记住这几点，然后在求解二次函数的图象的最值问题时就会显得游刃有余。

参考文献：

[1]黄庭柏.浅谈如何引导学生学好二次函数[A].国家教师科研专项基金科研成果（华声卷2）[C].2015

[2]冯法.浅谈二次函数在高中数学中的重要作用[A].2015年9月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].2015

[3]吴选根.26.3实际问题与二次函数（4）[A].2012年河北省教师教育学会教学设计主题论坛论文集[C].2012

[4] 史建军.一道最值问题的推广、完善与另解[J].中学数学研究.2016

[5] 施伦.轨迹法求一类线段的最值[J].中小学数学（初中版）.2016

[6] 蒋飞.二次函数常见错误剖析[J].数学大世界（初中版）2014年

第二篇：2015二次函数与最值问题

2015年中招专题---二次函数与最值问题

1．（2014•四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

3.（2014•攀枝花）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y

2），顶点坐标为N（﹣1，），轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

4.(2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为

；抛物线的解析式为

．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

5.（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

6．（2014•甘肃兰州）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

7．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

交为2（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=

2DQ，求点F的坐标．

8.(四川泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣（1）求二次函数的最大值；

（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程a的值；

（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四

=0的根，求2，0）．

边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

第三篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

第四篇：二次函数的最值问题修改版

利用数形结合法解决二次函数在闭区间

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

1． 求函数fxx22x3在区间t,t1上的最值 2． 求函数fxx2ax3在区间1,1上的最小值

第五篇：二次函数最值问题参考答案

精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.二次函数最值问题

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

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