改中考中的二次函数最值问题

第一篇：改中考中的二次函数最值问题

2012初三数学寒假

中考中的二次函数最值问题

【教学目标】二次函数的最值问题是二次函数性质的一个重要应用，也是每年中考的重点考查题型之一，现结合几道2011年的中考试题说明这类题的求解方法

【知识要点】如何求抛物线的顶点、对称轴和最值？

1、配方法：将二次函数关系式化为yaxhk的形式，则顶点坐标为h,k，2对称轴为直线xh。若a0，则y有最小值，当xh时，y最小k；若a0，则y有最小值，当xh时，y最大k。

b4acb2bx

2、公式法：直接利用顶点坐标公式求其项点，利用求,2a2a4ab4acb2其对称轴。若a0，则y有最小值，当x时，y最小；若a0，则

2a4ab4acb2y有最大值，当x时，y最大。

2a4a【经典例题】

一、求最大利润

例1 某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每个面包的成本是5角。

设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角。（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

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二、确定图形的周长最值。

例2 已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B1,0，P是AC上的一个动点（P与点A，C不重合）。

（1）求点A，E的坐标；（2）若y632xbxc过点A，E，求抛物线的表达式； 7（3）连接PB，PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

2、如图2所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR8cm,点BCQR在同一条直线l上,当CQ两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左开

2始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR生命部分的面积为Scm.(1)当t3s时求S的值;(2)当t5s时求S的值;(3)当5t8时,求S与t的函数关系式,求S的最大值.2012初三数学寒假

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

例3 如图3所示，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为t。（1）当t1时，求直线DE的函数关系； 3（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

3）当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

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【大显身手】

一、你有经商头脑吗？——商业经营活动中有两大问题是必须面对和解决的：

(一）怎样销售利润最大

1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

y（件）15 25 20

… …

若日销售量y是销售价x的一次函数：

（1）求日销售量y（件）与销售x（元）之间的函数关系式；

2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？

（二）何时能盈利

2、某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产生每年可创利33万元，该生产线投产后，人第一年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且yaxbx，若第一年的维修保养费为2万元，第二年的为4万元。

（1）求二次函数的表达式；（2）投产后，这个企业在第几年就能盈利？

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二、何时面积最大

二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一个常见的数学模型。利用二次函数的图象与性质可以解决几何图形中面积的最值问题。

1、如图1所示，某房地产公司要在拆迁的长方形地ABCD上规划出一块长方形地面，用来建造住宅小区公园（公园的一边落在CD上，但不能超过文物保护区的斜线EF），问如何设计才能使公园的占地面积最大？求出最大面积

（已知ABCD200m,BCAD160m,AE60m,AF40m）。

三、生活中的二次函数最值问题

（一）二次函数帮你定价

小明的妈妈开了间海产品干货店,今年她从沿海地区进了一批墨鱼干,并将每市斤的单价定为40元,大家一致认为该墨鱼质量好,价格又便 宜,再加上该店地处旅游风景区的黄金地段,因而顾客云集,连续几天门庭若市,一时间销售了不少.看到这种红火的销售场面,小明的妈妈决定用调高单价来增加利润,于是她将单价调到每市斤50元,结果销售量虽然减少了,但每天的利润却有所增加.她干脆再把单价调 高到每市斤70元,此时过往游客大多数嫌贵,销售量明显再次下降,连利润也呈下降趋势.面对如此情况,她想到了这么一个问题:单价究竟定为多少才能使每天的利润最大? 小明知道后马上进行了调查,并从妈妈那里了解到如下数据: 单价(元)销售量(市斤)40 40

35

30

25 通过观察,小明发现原来每天的销售量与单价成一次函数关系,他将每天的销售量设为y市斤,单价设为x元,则ykxb.由x40,y40,得4040kb,①由x50,y35,得3550kb.②联立 5

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①、②，解得k11,b60。所以yx60。2211x60，即wx260x。配方，得

22小明一想，要使每天的利润最大，只需每天的销售额最大即可。他把每天的销售量额设为w元，则wxyxw1x6021800。由二次函数的性质，得当x60时，w最大1800。因此，2当单价定为每市斤60元时，每天的销售额最大，从而利润也最大。

看来，在现实生活中，数学知识能帮上不少忙。同学们，你是否也能像小明那样用所学的知识来解决问题呢？

（二）、广告设计与二次函数

函数思想是一种重要的解题思想，在实际生活中应用广泛，函数思想解决广告设计问题就是函数实际应用的一种体现。

例1 某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米2x8，广告牌的面积为S平方米。（1）写出广告牌面积S与边长x的函数关系式；

（2）画出这个函数的大致图象（其中2x8）；

（3）根据图象观察当边长为何值时，广告牌的面积S最大？

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二、确定图形的周长最值。

例2分析：本题求解的切入点是依据点B的坐标、△ABC的边长和边、高的关系结合三角形中位线定理求解出（1），再依据题意求解出（2），最后依据轴对称的知识求解出（3）

解：（1）如图1所示，连接AD，不难求得A1,23,OE1AD,得2E0,3；

（2）因为抛物线y632xbxc过点A，E，把点A，E的坐标代入，7得c3，b133，7632133xx3； 77所以抛物线的表达式为y（3）如图2所示，先作点D关于AC的对称点D，连接BD交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。

不难求得DDC30，DF3，DD23，则可得点D的坐标为4,3 所以直线BD的表达式为y为y3x33。

求直线BD与AC的交点可得点P的坐标为此时BD33，直线AC的表达式x557233,3。BGDG52223227，所以△PBD的最小周长L为272。把点P的坐标代入y632133xx3成立，所以此时点P在抛物线上。77

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

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例3分析：本题（1）、（2）的求解均抓住△CDO～△BED，所以

CDCO，即BEBD12731，得BE则点E的坐标为1,。设直线DE的函数关系式为ykxb。199BE13因为直线经过点D,1和E1,，所以把点D，E的坐标代入ykxb，得k故所求直线DE的函数关系式为y13791。3110x； 39CDCO，即BEBD（2）存在S的最大值。由已知易知△COD～△BDE，所以t111115,BEtt2。所以S11tt2t。故当t时，BE1t222282S有最大值5； 8(3)Rt△OED中,OD2DE2OE2,OD2DE2的算术平方根取最小值,也就是斜边OE取最小值.当斜边OE取最小值且另一边直角边OA为定值时,另一直角边AE达到最小值,于是△OEA的面积达到最小值,此时,梯形COEB的面积达到最大值.由(2)知,当t13地,梯形COEB的面积达到最大值,故所求点E的坐标是1,.24(一）怎样销售利润最大

解：（1）设此一次函数表达式为ykxb，则

15kb25k1,解得所以一次函数表达式为yx40.20kb20b40.(2)设每件产品的销售价定为x元,所获销售利润为W元,则

Wx1040xx25255.2当x25时,W最大225,即产品的销售价应定为25元,此时每日 获得最大销售利润为225元.（二）何时能盈利

2x1时，y2,x2时，y246。解：（1）由题意知，分别代入yaxbx，8

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得ab2a1，解得。yx2x。

4a2b6b1（2）设M33x100xx，则Mx232x100x16156。

22当1x16时，y随x的增大而增大，且当x1,2,3时，M的值均小于0，当x4时，M1221560，所以设产后企业在第4年就能盈利。

评注：求二次函数最值的实际问题，要确定好自变量的取值范围，以及二次项的系数与问题的实际意义来判定最值情况，不然会误入歧途。

二、何时面积最大

1解：要使公园的面积最大，必须有一顶点落在EF上，设此点为P。过点P作PHAB于H，交CD于M，作PGAD于G，设。

△FGP～△FAE，PGGFx40PH，即。AEAF60402PHx40。

3SBHPM200x160PH

2200x160x40

32x10272200。33所以当所设计的长方形公园以C点为顶点，一边落在CD上，且长为190m,宽为380722002m时,公园有最大面积,且最大面积为m.332

分析:本题是将动点设置于直线l上,让我们在变化的条件下,探求重合部分的图形面积,题型设 计新颖、灵活富有创意，第（3）问重点考查了运用二次函数解决面积最大问题，在解答这类综合性题目时可将动手操作与推理计算巧妙地结合，运用数形结合的思想、分类讨论的思想解决问题。

解：（1）如图3所示，作PEQR，E垂足，设PQ与CD交于G，则QERE4cm，PE52423cm。

所以当t3s时，重合部分的图形是RtQCG。

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又易证△QCG～△QEP。所以

SSQEP3。42SQEP6cm2，272Scm。

8（2）当t5s时，如图4所示，此时QC5cm,CR3cm。设PR与CD相交于G。

由△RCG～△QEP，得SRCG故SSPRQSRCG27cm2，8692cm。8（3）当5t8时，如图5所示，此时QBt5,RC8t。设PQ交AB于H，PR交CD于G。

由△HPB～△PQE，得

SHQB3t52cm2。8由△RCG～△REP，得

38t2cm2。83322S12t58t，883239171t即St。

44813165cm2。当ts时，S的值最大，S最大216SRCG评注：当t在不同的范围内变化时，重合部分的图形有三种情形；（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形。同学们可想一想，在每一种情形下对应的t的取值范围是什么。

（二）、广告设计与二次函数

分析：将矩形的另一边长用x的代数式表示，根据矩形的面积即可求出函数的关系式。

解：（1）矩形的另一边长为10x米，所以

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Sx10xx210x2x8；

（2）Sx525，取一组点，利用描点法可画出函数的2图象如图所示；

（3）根据图象观察，当x5时，矩形的面积最大为25平方米。

例2 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米。

（1）写出广告牌面积S与连长x的函数关系式，并确定自变量的取值范围；（2）将矩形广告牌的连长设计为多少米时，公司获得的设计费最多？并求出此最大值；

（3）为使广告美观，客户要求把它做成矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项，此时设计费是多少？（精确到1元）

分析：矩形的面积等于长乘以宽，所以只需把矩形的长和宽表示出来即可解决问题。解：（1）因为周长为12米，一边的长为x米，所以矩形的另一边的长为6x米。所以Sx6xx26x。

所以S与x的函数关系式为Sx6x0x6；

2（2）设广告设计费为y元，则y1000S1000x6000x。配方，得y1000(x3)29000。当x3时，y有最大值为9000。

即矩形广告牌设计为连长为3米的正方形时，面积最大，此时公司获得的设计费最多，最多为9000元；

（3）为使设计美观，设做成矩形长为x米，则宽为6x米，所以长加宽为

2x6x6(米)。

由x66x，整理，得x345。22解得x1353,x2353(舍去).所以

y1000x26000x1000353600035322249137518497(元)即当矩形的长设计为353米时,设计费用为8497元.学习数学,关注数学,解决非生活中的实际问题,是学习数学的根本目的,只有你关注2 11

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身边的数学,才能真正理解数学思想,体会数学的价值.

第二篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

第三篇：2015二次函数与最值问题

2015年中招专题---二次函数与最值问题

1．（2014•四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

3.（2014•攀枝花）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y

2），顶点坐标为N（﹣1，），轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

4.(2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为

；抛物线的解析式为

．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

5.（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

6．（2014•甘肃兰州）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

7．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

交为2（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=

2DQ，求点F的坐标．

8.(四川泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣（1）求二次函数的最大值；

（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程a的值；

（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四

=0的根，求2，0）．

边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

第四篇：二次函数的最值问题修改版

利用数形结合法解决二次函数在闭区间

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

1． 求函数fxx22x3在区间t,t1上的最值 2． 求函数fxx2ax3在区间1,1上的最小值

第五篇：二次函数最值问题参考答案

精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.二次函数最值问题

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

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