专题一：隐圆
一、定点定长作圆
基础：如图1，在⊙O中，OA＝OB＝OC＝OD；
延伸：如图2，若有AB＝AC＝AD，则B，C，D三点在以A为圆心，AB长为半径的圆上．(理论依据：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆)
【跟踪训练一】
1、如图，在矩形
ABCD中，AB＝4，AD＝6，E
是
AB边的中点，F是线段
BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是________．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝6，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是________．
3、(2020广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图3所示，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为__________.第1题图
第2题图
第3题图
二、直角对直径
如图1，在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C＝90°；
如图2，若有AB为固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径的圆上．
【跟踪训练二】
1、已知：如图，在Rt△ABC中，BC=AC=2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为
．
2、（2020•南宁一模）如图，点D在半圆O上，半径OB=，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）
A．5
B．6
C．7
D．83、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为________．
第1题图
第2题图
第3题图
三、定弦定角
如图1，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)．
如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°，则C在劣弧上运动)．
【跟踪训练三】
1、如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为________．(请在图中画出点P的运动路径)
2、如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD＝CE,AD、BE交于
P点,则CP的最小值为_______．
3、如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=8，点P为弧AD上一动点，PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，当点P从点A沿弧AD运动到点D时，点I运动的路径长为
．
第2题图
第3题图
专题二：运动路径为直线型
解题策略：
①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型
②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可
解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点
【跟踪训练】
1、如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值
．
2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）
A.B.C.1 D.23、如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE（E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为
第1题图
第2题图
第3题图
专题三：二次函数最值
1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。
2、若自变量的取值范围是，若-在自变量的取值范围内，则当x=-时，y=是其中的一个最值。另一个最值在或处取得。若不在自变量的取值范围内，则函数的最值即为函数在，时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的。
【跟踪训练】
1、当-1≤x≤1时，一次函数y=2x+4的最大值为____，最小值是____.2、二次函数y=-x2+2x-+3，当，则的取值范围为____.3、当x=____时，二次函数y=－x2-2x+6有最大值_____.4、（2021·上海）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
（3）当矩形DEFG的面积最大时，该矩形DEFG以每秒1个单位的速度沿射线DC匀速运动（当点D与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFGQ与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．
5、如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于点B(6,0)，连接AB，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)当点P从点A出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，当d取最大值时，求点P的坐标；
6、已知抛物线y=mx2-2mx+3(m<0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA.（1）求抛物线的解析式：
（2）若M，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且ΔBCN的面积恒小于ΔBCM的面积，求点M的坐标；
（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP，DP，分别交y轴于E，F，若EF=OC，求点P的坐标。
专题四：将军饮马模型与最值问题
【知识要点】
知识点一：和最小
（方法说明）
“和最小”问题常见的问法是：在一个直线上找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）。
如图所示：在直线l
上找一点P使得PA+PB最小。当点P为直线AB’与直线l的交点时，PA+PB最小
【方法归纳】
①
如图所示,在直线l上找一点B使得线段AB最小，过点A作AB⊥l，垂足为B，则线段AB即为所求
②
如图所示，在直线l上找一点P使得PA+PB最小，过点B作关于直线l的对称点B’,BB’与直线l交于点P，此时PA+PB最小，则点P即为所求
③
如图所示，在∠AOB的边AO,BO上分别找一点C，D使得PC+CD+PD最小，过点P分别作关于AO,BO的对称点E,F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PC+CD+PD最小，则点C,D即为所求。
④
如图所示，在∠AOB的边AO,BO上分别找一点E,F使得DE+EF+CF最小，分别过点C,D作关于AO,BO的对称点D’,C’，连接D’C’,并与AO,BO分别交于点E,F。此时DE+EF+CF最小，则点E，F即为所求。
⑤
如图所以，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC+BD最小的CD的位置，分别过点A,D作AA’∥CD，DA’∥AC，AA’与DA’交于点A’，再作点B关于直线l的对称点B’.连接A’B’与直线l交于点D’。此时点D’即为所求
知识点二：差最大
（方法说明）
“差最大”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的差最大
如图所示，在直线l上找一点P使得|PA-PB|最大，当点P为直线AB与直线l的交点时，|PA-PB|最大。
【方法归纳】
①
如图所示，当点A,B在直线l的同侧时，连接AB并延长交直线l于点P，此时|PA-PB|最大；
②
如图所示，当点A,B在直线l的异侧时，作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’并延长交直线l于点P，此时|PA-PB|最大；
【跟踪训练】
1、如图，在中，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）
A．
B．
C．
D．
2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．
3、（2017•安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_____．
第1题图
第2题图
第3题图
4、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
5、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是
A．
B．2
C．
D．4
第4题图
第5题图
6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
7、如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点D（2,2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
8、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1，0，)、B(3，0)两点与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的坐标为(a，0)，当|PD−PC|最大时，求a的值；
9、（2019南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=－1上的动点，设B（－1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
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