二次函数在闭区间上的最值

第一篇：二次函数在闭区间上的最值

二次函数的最值的教学设计

一、教学内容分析

二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

二、教学目标设计

知识与技能

1、掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

2、会利用转化化规思想求解含参数不等式中参数的范围。

过程与方法

1、经历从轴定区间动到轴动区间定的类比推理，培养学生类比推理能力。

2、结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高

学生的综合能力

情态与价值

1、有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养了学生良好的思维习惯。

2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

三、教学重点与难点

重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

难点：求解含参数的一元二次函数不等式中参数的范围

四、教学方法：类比推理法，讲授发现法

五、教学过程（典型例题分析）

（1）轴定，区间定

方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数x,y满足2x26xy20，则x2y22x的最大值是 26x2x022解：由y6x2x得2 2222xy2xx6x2x2x8xx

问题转化为求f(x)8xx2，当x[0,3]中的最大值，易的f(x)maxf(3)15.1设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。

例2 设x1,x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两实根，求x1x2的最值.分析：二次方程有实根，则必须△0,由此先解出m的范围.2

2x12x22(x1x2)22x1x2，利用韦达定理将x12x22表示成关于m的二次函数.4m25m29m12m29m12f(m)解：由韦达定理知xx2()2222

由2x24mx(5m29m12)0有两实根可得它的0

即(4m)242(5m29m12)24m272m960，解得1m

4,时]的最值，易的问题转化为求f(m)m29m12，当m[1m

f(m)maxf(4)32，f(m)minf(1)2.设计意图:结合韦达定理转化成为有关m的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m的取值范围。

（2）轴定，区间变

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：① 轴在区间右边②轴在区间左边③轴在区间内

例3 已知f(x)x22x2在x[t,t1]上的最大、最小值分别为M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值m(t)的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值M(t)的表达式，和下面例题4的最小值g(t)的表达式设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性

（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式

（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力解：对称轴为x1，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：

22（1）t11，即t0时，M(t)f(t)t-2t

2、m(t)f(t1)t

1（2）t1时，M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(t)t2-2t

2，且1-tt1-1，即（3）0t11t1时，2

M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(1)

1，且1-tt1-1，即1t（4）0t11时，2M(t)f(t)t22t

2、m(t)f(1)1 12t21(t0)t2t2(t)2综上，M(t)，m(t)1(0t1)1t21(t)t22t2(t1)

2（3）轴变，区间定

方法: 与情形2一样.例4已知f(x)x22tx2在x[0,1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.解：对称轴xt，分三种情况讨论

（1）t0时，g(t)f(0)0

2（2）0t1时，g(t)f(t)2t

（3）1t时，g(t)f(1)32t

2(t0)2综上，g(t)2t(0t1)

32t(t1)

例5 设f(x)x2ax3，当x[2,2]时恒有f(x)a，求a的范围.变式一：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式二：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式三：若将x[2,2]改为x(2,2)时，其它条件不变，求a的范围

设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若f(x)af(x)mina;f(x)af(x)maxa，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点

分析：f(x)a恒成立f(x)mina

a解：对称轴为x，分三种情况讨论

2aa42（1）27 a3fmaxf(2)2a7a

a224a44a42(2)4a2 222ff(a)aa3aa4a1206a2

min242

aa42（3）27a4 a7fminf(2)2a7a

综上，7a2，即a的值域为a[7,2]

（4）轴变，区间变

例6已知y24a(xa)(a0)，求u(x3)2y2的最小值。

分析：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a2，x[a，)

分①32aa、②32aa讨论

解：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a

2由y24a(xa)0得xa

u[x(32a)]212a8a2的对称轴为x32a，分两种情况

①32aa0时，即0a1时，fminf(32a)8a212a

②32aa时，即a1时，fminf(a)a26a9

综上，f(x)min2(0a1)12a8a 2(a1)(a3)

（5）二次函数的逆向最值问题

3例7已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间[，2]上的最大值为3，求实2

数a的值。

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。

解：（1）令f(2a11)3，得a 22a

32] 此时抛物线开口向下，对称轴为x2，且2[，2

1故a不合题意； 2

（2）令f(2)3，得a

称轴远些，故a1，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对21符合题意； 2

32（3）若f()3，得a，经检验，符合题意。32

综上，a21或a 32

评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

六、课后小结：本教学设计几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。本教学设计最主要还是向同学灌输了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法，让学生的数学思维得到不断延伸，提升他们的综合能力。我感觉课堂给他们的时间可能比较少，课堂内容比较大，需要课后不断巩固。

第二篇：二次函数在闭区间上的最值说课稿

《二次函数在闭区间上的最值问题》说课稿

各位评委老师，大家好！

我是高一年级的数学老师史红红，今天我要进行说课的课题是《二次函数在闭区间上的最值问题》。下面我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的评委老师批评指正。

一、教材分析

本节课是在学习了二次函数的图像和性质的基础上进一步研究二次函数在闭区间上的最值问题，因为最值是函数非常重要的一个性质，尤其是含参二次函数的最值问题在历年陕西高考中出现，而这个知识既是学生学习的一个重点又是一个难点，所以上好这节课显得尤为重要。

二、教学目标

1.知识目标：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题.2.能力目标：通过图像，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律.3.情感目标：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力

三、教学重难点

含参二次函数在闭区间上的最值.。

四、教法分析

“教无定法”，这是一节探究课，首先我给自己定位的角色是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性，让学生成为课堂的主人。在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、学生展示、反馈式评价法。

2、学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。让学生真正成为课堂的主人。

五、教学过程

六、教学评价

本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学过程中通过自主探究、合作交流，充分调动学生的积极性跟主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。

第三篇：二次函数在闭区间上的最值问题

“二次函数在闭区间上的最值问题”课件设计原理及实现

1.课件的教学设计要点

⑴ 教材的知识脉络和学生原有的知识经验分析

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。但学生受一次函数的最值求法的影响，总是把边界值代进函数就可以得出最大或最小值了，为了让学生掌握二次函数在闭区间上的最值问题，必须经过其主动的探究，体会探究过程的每个环节，才能对问题有深刻地认识，只有充分的调动学生的认知准备，特别是对数形结合的思想方法的学习，更需要学生自己在探究过程中深刻体会，以学生的亲身体验主动建构新知识，才能使其使用这一思想方法成为一种自觉的行为，这种学习才是有效的。所以，本堂课更加注重学生运用数形结合数学思想方法的体验，情感目标是通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心。

学生已经了解一元二次函数的性质（图像），要让学生先了解给定具体区间（不含参数）的最值问题知识之后，勇于自己尝试对含参数的此类问题的研究解答。从运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。

⑵ 教学策略和方法设计

复习提问，让学生探究例1完成后，然后把区间改变，既探究例2，然后用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会，对基础教差学生的理解起到的积极的辅助作用，由原来的知识掌握，确定为让学生加深运用数形结合的数学思想方法的体验。然后再研究例题3，以运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。例题的难度作了梯度变更（由易到难），制作课件等。2.课件设计的技术要点

⑴设计问题情境及技术要点：

我们已学习了哪些一元二次函数的性质？学生再回顾一元二次函数的性质（图像），在闭区间的最值是怎样的呢？完成例题1；研究例2，然后反问，为什么要这样做，这样做的依据是什么，为什么必须这样做。然后再提问参数对图象分别有什么影响？ 技术要点：

① 建立“复习引入”页面，把复习引入的文本和新课说明复制到该页面中，并用【显示/隐藏】按钮控制。

② 建立“具体二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，快速制作二次函数图象，动态变化区间[a，b]，用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会。

③ 建立“含参数二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，制作二次函数的图象，在利用a、b、c三个参量分别变化，引起函数

图象的变化，让学生观察比较不同的参数引起的图象的不同变化，得到含参数二次函数的图象的性质，进而更加清楚理解二次函数在闭区间上的最值的求法。

第四篇：二次函数在闭区间上的最值问题教案设计

二次函数在闭区间上的最值问题教案设计

设计意图: 同学们学习了二次函数以后，有一类问题就是讨论二次函数在闭区间上的最值问题，同学们可能感觉不太好做。这节课就这样一类问题进行讨论。教学目标：

希望通过这节课的讨论，同学们能够对这一类问题有一个清晰的认识，以后再碰到类似的问题会思考，从而会解题。教学重难点：

让学生通过仔细观察二次函数图像，体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对参数进行讨论的意识和习惯。教学方法：

借助多媒体进行教学。

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)axbxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。2b4acb2b分析：将f(x)配方，得顶点为、对称轴为 x，2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bm，n时，f(x)的最小值是（1）当2a2b4acbf，f(x)的最大值是2a4af(m)、f(n)中的较大者。

bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。（2）当例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

第1页（共4页）区间上的最值”。

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：画出函数图像如下不难求出最值。2图1 练习.已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

22图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

2图1图2图8 2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习.已知

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

第2页（共4页）

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知对称轴x22a1即可得最值。2

图3 练习.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

2第3页（共4页）二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例4.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。分析：分三种情况：最大值是在-3,2，还是在顶点处取得，求出a，然后再检验即可。

练习.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3求实数,2上的最大值为3，2a的值。

三．作业

21．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C） ,3

（D）, 3

424

2已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)xax

小结与反思：

这节课学习了二次函数在闭区间上的最值得求法。课后了解到并没有达到预期的目的。这样设计的优点是：这类问题讨论得比较全面。不足是：内容太多，讲解不够仔细，学生并不能掌握。如何改进：我想针对以上不足，可以把以上内容分两个课时来上，或者选择例题更简单些，让学生易于接受，同时，如果借助多媒体教学，会更直观形象一些，效果可能会更好一些。

2a，在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。2第4页（共4页）

第五篇：二次函数在区间上的最值

二次函数在区间上的最值问题

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）