第三节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2010·重庆高考)设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为()
A．0
B．2
C．4
D．6
解析：作出如图阴影所示的可行域，易得A(2,2)，B(0，－2)，把B坐标代入目标函数，得zmax＝3×0－2×(－2)＝4，故选C.答案：C
2．若实数x、y满足则的取值范围是()
A．(0,2)
B．(0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析：画出线性约束条件的可行域(如图所示)的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k，由得A(1,2)，∴k≥kOA，∴≥2.答案：D
3．(2010·改编题)已知点P在平面区域上，点Q在曲线(x＋2)2＋y2＝1上，那么|PQ|的最小值是()
A．1
B．2
C.－1
D.解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C(－2,0)向直线3x＋4y－4＝0作垂线，圆心C(－2,0)到直线3x＋4y－4＝0的距离为＝2，又圆的半径为1，所以可求得|PQ|的最小值是1.答案：A
4．已知点P(x，y)满足点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值为()
A．6,3
B．6,2
C．5,3
D．5,2
解析：可行域如图阴影部分，设|PQ|＝d，则由图中圆心C(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离最小，则到点A距离最大．
由
得A(－2,3)．
∴dmax＝|CA|＋1＝5＋1＝6，dmin＝－1＝2.答案：B
5．(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()
A．－5
B．1
C．2
D．3
解析：由得A(1，a＋1)，由得B(1,0)，由得C(0,1)．
∵△ABC的面积为2，且a>－1，∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.答案：D
6．(2009·陕西高考)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()
A．(－1,2)
B．(－4,2)
C．(－4,0]
D．(－2,4)
解析：可行域为△ABC，如图．
当a＝0时，显然成立．当a>0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－>kAC＝－1，a<2.当a<0时，k＝－ 二、填空题(3×5分＝15分) 7．(2011·济宁模拟)设z＝x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为________． 解析：如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，∴zmin＝－6＋3＝－3.答案：－3 8．(2011·安徽师大附中第一次质检)设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋(y－2)2的最小值是_______________________． 解析：作出约束条件的可行域如图，z＝(x＋1)2＋(y－2)2，可看作可行域内的点到定点A(－1,2)的距离的平方，其最小值为点A(－1,2)到直线x＋2y＋1＝0的距离的平方，∴zmin＝()2＝.答案： 9．(2011·大连调研)若P为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过P中的那部分区域的面积为________． 解析：根据题意作图． 图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD－S△ABC＝×2×2－×1×＝.答案： 三、解答题(共37分) 10．(12分)当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值． 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示) 当直线y＝－x＋z经过区域中的点A(－，－)时，z取到最大值，等于－.令－＝12，得k＝－9.∴所求实数k的值为－9.11．(12分)某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A或B型电视的产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？ 解析：设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据题意线性约束条件为 即 线性目标函数为z＝6x＋4y.根据约束条件作出可行域如图所示，作3x＋2y＝0.当直线l0平移至过点A时，z取最大值，解方程组得 生产两种类型电视机各20台，所获利润最大． 12．(13分)(2011·深圳模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 产品A(件) 产品B(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 计划最大资金额300万元 产品重量(千克/件) 最大搭载重量110千克 预计收益(万元/件) 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 解析：设搭载产品A x件，产品B y件，预计总收益z＝80x＋60y.则作出可行域，如图． 作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，解得即M(9,4)． 所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)． ∴搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
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