《二元一次不等式(组)与平面区域》典型例题透析

第一篇：《二元一次不等式(组)与平面区域》典型例题透析

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《二元一次不等式（组）与平面区域》典型例题透析

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1.画出不等式2xy40表示的平面区域。解析：先画直线2xy40（画成虚线）.取原点(0,0)代入2xy4得200440, ∴原点不在2xy40表示的平面区域内，不等式2xy40表示的区域如图：

总结升华：

1.画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。

2.虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线

举一反三：

【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域（1）4x3y12；

（2）x1 【答案】

（1）（2）

y3x12例2.用平面区域表示不等式组.x2y思路点拨: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解析：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域，x2y表示直线x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

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总结升华：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

举一反三：

【变式1】画出下列不等式组表示的平面区域。

x3xy22xy32yxx2y3x2y4（1）；（2）；

（3）.3x2y6x0x0y02yx6y0【答案】

（1）（2）（3）

xy30【变式2】画出不等式组xy0表示的平面区域并求其面积。

x3【答案】如图，面积为

81； 4

【变式3】由直线xy20，x2y20和x10围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为。

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x1【答案】x2y20

xy20例3.画出下列不等式表示的平面区域(1)(xy)(xy1)0；(2)xy2x 思路点拨: 将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.解析：

(1)原不等式等价转化为xy0xy0或（无解），xy10xy1故点(x,y)在区域xy0内，如图：

xy10

y0y0(2)原不等式等价为xy0或xy0，如图

2xy02xy0

总结升华：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 举一反三：

0 【变式1】用平面区域表示不等式(xy1)(xy4）【答案】

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【变式2】用平面区域表示不等式

（1）yx1；（2）xy；（3）xy 【答案】

（1）（2）（3）

2xy30例4.求满足不等式组2x3y60的整数解.3x5y150思路点拨:不等式组的实数解集为直线l1： 2xy30，l2：2x3y60，l3：3x5y150所围成的三角形区域内部(不含边界)，求出三条直线的交点，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解析：设l1： 2xy30，l2：2x3y60，l3：3x5y150，则 由2x3y60153，得A(,)，842xy302xy30由，得B(0,3)

3x5y150由2x3y607512，得C(,)

19193x5y15075)内，取x1,2,3，19于是看出区域内点的横坐标在(0,数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

y1124y1，得y＝－2，当x1时，代入原不等式组有y，即5312y5∴区域内有整点(1,2)。

同理可求得另外三个整点(2,0)、(2,1)、(3,1).总结升华：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。

举一反三：

3x2y20,【变式】求不等式组x4y40,的整数解。

2xy60

【答案】如图所示，作直线l1:3x2y20，l2:x4y40，l3:2xy60，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.yx例5.已知x、y满足约束条件xy1，求下列各式的最大值和最小值.y1（1）z2xy；（2）zxy.数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

解析：

（1）不等式组表示的平面区域如图所示：

求出交点A(2,1)，C(1,1)，B(0.5,0.5)，作过点(0,0)的直线l0:2xy0，平移直线l0，得到一组与l0平行的直线l:z2xy,zR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过点A(2,1)时的直线l所对应的z最大，所以zmax2213； 当l经过点C(1,1)时的直线l所对应的z最小，所以zmin2(1)13.（2）不等式组表示的平面区域如图所示：

作过点(0,0)的直线l0:xy0，平移直线l0，得到一组与l0平行的直线l:zxy,zR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过线段AB上的所有点时的直线l所对应的z最大，所以zmax211； 当l经过点C(1,1)时的直线l所对应的z最小，所以zmin(1)12.总结升华：

1.本题的切入点是赋予“z”恰当的几何意义：纵截距或横截距； 2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．

举一反三：

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【变式1】求z3x5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x3y15.yx1x5y3【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线z3x5y在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点B(2,1)的直线所对应的z最小，以经过点A(,)的直线所对应的z最大.所以zmin3(2)5(1)11，352235zmax3517.22xy2【变式2】求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件x0

y0【答案】zmin0，zmax2

例6.某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：

产品品种 劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）9 4 A产品 4 5 B产品

已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

思路点拨:本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。解析：设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元

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3x10y3009x4y360则，目标函数z7x12y 4x5y200x0,y0作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20，24）

故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）。

总结升华：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解

举一反三：

【变式1】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?

4x8y8000【答案】设制作x把椅子，y张桌子约束条件：2xy1300，xN,yN目标函数：z=15x+20y.如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

4x8y8000x200

即A(200, 900)2xy1300y900数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

∴ 当x=200, y=900时，zmax=15×200+20×900=21000(元)答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元。

【变式2】某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少? 【答案】设生产甲产品x件，乙产品y件

9x4y3604x5y200约束条件：，3x10y300xN,yN目标函数：z=7000x+12000y 如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

4x5y200x20，即A（20，24）3x10y300y24∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。

答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。【变式3】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？

【答案】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：

xy9xy96x810y63604x5y30，即0x7且xN0x7且xN

0y4且yN0y4且yN如图所示，作出不等式表示的区域，数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！

作直线l:160x252y0，即y作直线l的平行线l'：y40x，6340xb 63当直线l'经过可行域内A点时，l'纵截距最小，2可得A点坐标为(7,)。

540zzx∵z=160x+252y，∴y，式中代表该直线的纵截距b，63252252而直线l'的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，22即l'过A(7,)时，zmin160x252y16072521220.8，552但此时yN，5∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，当x=5，y=2时，点A'(5,2)在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，即zmin=160×5+2×252=1304（元）

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第二篇：《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计

一、教学内容分析

《二元一次不等式（组）与平面区域》这一节内容在不等式、直线方程之后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是线性规划问题的基础和前提。同时，在探索问题过程中有效的训练了学生数形结合、等价转化等数学思想。

二、学情分析

因为学生在初中阶段已经接触过二元一次方程（组），所以在接受二元一次不等式组上会比较容易，鉴于高二学生能主动思考力但不不善于总结的特点，以及认知水平是形象思维为主，抽象思维为辅的特点，本节课我着重培养学生的总结能力和抽象思维。

三、教学目标

1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的几何意义，并能正确画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

2、过程与方法：经历从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的过程，通过类比、特殊到一般的研究方法获得二元一次不等式与平面区域的关系。

3、情感、态度与价值观：通过本节内容的学习，培养学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。

四、教学重、难点

重点：探索获得二元一次不等式（组）与平面区域之间的关系。

难点：正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域。

依据：因为本节课就是围绕探索二元一次不等式（组）与平面区域之间的关系而展开的，从数到形、从一维到二维构建本节课的知识结构，所以本节课的重点定为探索获得二元一次不等式（组）与平面区域之间的关系。

另外，由于学生的认知过程中，由形到数易，由数到形难，所以难点定为正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域。

五、教法设计

1、探究、发现法

2、讲练结合法

3、多媒体辅助教学法

六、学法设计

引导学生通过合作探究、分组讨论，主动构建新的知识

七、教学过程设计

（一）.创设问题情境

一家银行的信贷部计划年初投入25 万元用 于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益30%，从个人贷 款中获益15%，那么,信贷部应如何分配资金呢？

师生活动：

生：仔细读题独立思考。

师：生活中，常常会遇到此类对有限资源如何合理分配利用，使其达到最优效果的问题。尤其是在国民经济、军事、管理决策等领域，为此科学的管理是一种重要的方法和手段。师：请同学们考虑这个问题要大家做什么事？ 生：要投资。

师：那投资的目的是什么？ 生：获利

师：如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x元、y元，你能用不等式刻画其中的不等量关系吗？ 如何设立变量，将限制条件用数学语言表示。

学生活动：板演列出的不等式后，化简得

教师进行指导订正 设计意图：

激发学生的学习兴趣，感知生活中诸如：―至少‖―至多‖等这样的不等关系，将不等式的建立过程留给学生，训练学生会从实际问题抽象出一元二次不等式组，培养学生能将实际问题抽象成数学问题、文字语言转化数学语言的能力。培养学生反思意识，学生易忽视x≥0,y≥0的关系。

学生列出不等式组后，教师可由此可以引出二元一次不等式（组）解集的相关概念，教师对不等式组解释：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序实数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式组的解集。

（二）.织学生探究二元一次不等式的解集所表示的图形

让学生进行活动1，回顾一元一次不等式（组）的解集所表示的图形？总结出一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间。

活动1：让学生先回顾一元一次不等式（组）的 解集所表示的图形？ 给出具体的一元一次不等式组，例如：的解集为数轴上的一个区间（如图）。

设计意图：唤起学生对一元一次不等式（组）的的解集表示方法的回忆，用类比的方法提出问题2：―二元一次不等式xy =6上的点(b)在直线xy =6左下方区域内

设计意图：让学生直观感受到平面直角坐标系内，平面内所有的点被直线x – y =6分为三类

活动4：填表、作图，观察，猜想，验证

设点P(x,y1)是直线l： x – y =6上的点，选取点A(x,y2),使它的坐标满足x-y≤6，观察当点A(x,y2),与点P(x,y1)有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

进一步猜想得：直线l左上方的点与不等式x-y-6≤0有什么关系？直线l右下方的点呢？

填写下表，并将满足不等式对应当的点描在坐标系中，通过对其位置观察分析，归纳、猜想。

教师组织学生填表、作图，观察，然后引导学生对猜想进行验证，让学生在左上方多取若干点，计算x – y –6的值，发现都是大于0的，在左下方去若干点，计算x – y –6的值，发现都是小于0的.学生活动结果：归纳出猜想―以x – y –6≤0的解为坐标的点在直线x – y =6的左上方‖，并验证这个猜想，发现了直线同一侧的点都满足不等式x-y-6≤0（或≥0），从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应的关系的理论体系更加完备。

设计意图：这一环节突出了本节课的重点——探索获得二元一次不等式（组）与平面区域之间的关系。让学生体验平面上的点和直线的位置关系,自主探究，再由学生来得出结论。发现满足不等式x-y≤6的解所表示的点与直线的位置关系。教师主要的任务是引导并完善学生的研究过程，并且利用教学软件进行演示，培养学生的自主探究能力。师生互动，生生互动。

事实上，不仅对这个具体的例子有此性质，而且对坐标平面内的任意一条直线都有此性质.活动5：让学生分组讨论，并总结，对于一般的二元一次不等式Ax + By + C>0的解集表示的图形呢？

学生活动结果：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

教师强调：直线Ax+By+C=0叫做这两个区域的边界。

Ax+By+C>0表示的区域不包含边界，把边界画成虚线。

Ax+By+C≥0表示区域包含边界，把边界画成实线,。

设计意图：按照学生思维发展的顺序，从特殊情况到一般结论，使学生对二元一次不等式（组）表示区域的认识不断深化、更加完备。

（三）例题讲解

例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域

解：（1）直线定界：所求的平面区域不包括直线.用虚线画直线l： x+4y－4=0

（2）特殊点定域：将原点坐标(0，0)代入x+4y－4中，得0+4×0－4<0，这样，就可以判定不等式x－4y－4>0所示的区域与原点位于直线x－4y－4=0的同侧，即包含原点的那一侧。

设计意图：向学生介绍画出二元一次不等式表示的平面区域的方法，将具体的知识形成方法和技能，同时也通过教师的示范作用，引导学生主义作图中的细节，帮助学生养成良好的画图习惯，使学生能准确画出二元一次不等式表示的平面区域，突破本节课的难点。

练习1

(1)画出不等式x+y≤25表示的平面区域

(2)画出不等式2x-y>0表示的平面区域

(3)画出不等式x≥1表示的平面区域

设计意图：是由一般的直线，过原点的直线，和轴垂直的特殊直线共同组成。有边界是实线的，也有的是虚线的。体验―直线定界，特殊点定域‖的方法过程,。本题在考察学生思维的完备性和严谨性有重要的功能。

例

2、用平面区域表示不等式组的解集。

设计意图：将引例中的问题让学生解决，前后呼应，数学来源于生活，有服务于生活；类比一元一次不等式组的解集是数轴上的公共部分，使学生明确二元一次不等式组表示的区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分。

练习2（详见教材P87练习）

设计意图：通过练习，进一步加深对二元一次不等式组表示平面区域的理解，体验由数到形的过程

（四）课堂小结

⑴ 二元一次不等式表示平面区域：

直线某一侧所有点组成的平面区域。

⑵ 判定方法：

直线定界，特殊点定域。

⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：

各个不等式所表示平面区域的公共部分

设计意图：师生共同回顾与总结所学的知识与方法，让学生发表自己的意见，教师及时总结得出

（五）布置作业

课本 P86习题3.3 [A组] 第 1、2题。

设计意图：教师批阅，发现问题及时纠正。

（六）板书设计

八、评价分析

高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，线性规划问题是数学在日常生活中常见的一种优化问题，在设计的过程中，提出实际生活问题，让学生经历建立数学模型的过程，培养学生观察发现、归纳类比、符号表示、抽象概括等数学思维能力。在学生理解二元一次不等式（组）与平面区的过程中，教师利用多媒体进行动态的、直观的展示，鼓励学生进行探索和发现。

第三篇：4.示范教案(3.3.1_二元一次不等式(组)与平面区域)

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，辅以新的例题巩固,再回归到先前的具体实例.整个教学过程，让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点 如何确定不等式Ax＋By＋C＞0（<0）表示Ax＋By＋C=0的哪一侧区域.三维目标

一、知识与技能

1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；

2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；

2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程

一：导入新课

建立二元一次不等式模型

实际问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部

应该如何分配资金呢？

把实际问题转化为数学问题：

设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为y万元，由资金总数为25 万元，得到x+y≤25.①

由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收0.3万元以上，所以(12%)x+(10%)y≥0.3.②

用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 x≥0,y≥0.③

将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：

xy25,(12%)x(10%)y0.3, x0,y0.二：推进新课

1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义：

二元一次不等式（组）： 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

从特殊到一般：

研究具体的二元一次不等式x＋y<6的解集所表示的图形。学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x＋y<6的解为坐标的点都在直线x＋y=6的左上方；反过来，直线x＋y=6左上方的点的坐标都满足不等式x＋y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x＋y<6表示直线x＋y=6的左上方的平面区域，如图（1）

类似的，二元一次不等式x＋y>6表示直线x＋y=6的右下方的平面区域，如图（2）。

直线叫做这两个区域的边界。

yy6606x06xx+y-6=0x+y-6=0

（图1）

（图2）

3．结论：

由特殊例子推广到一般情况：

二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个区域的判断方法：

由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的

平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）三：应用举例

【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.

解: 先画直线x＋4y＝4(画成虚线)。把原点(0，0)代入x＋4y－4，得0+4×0-4=-4＜0.所以原点在x＋4y<4表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域如图：

随堂练习：

① x+y-1≤0 ② 2x-3y>6 ③ x-2y＜0 ④ x+y-2＞0.y3x12【例2】 用平面区域表示不等式组x2y的解集.

x3解：不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12右下方的区域,x<2表示直线x=2y右上方的区域，x-3表示直线x=-3右方的区域，取三区域重叠的部分，如图阴影部分就表示原不等式组的解集。

y12x=-383x+y-12=04-3048X-2y=0x

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的区域的公共部分。随堂练习：

xy4xy20①xy0

②xy20

1y1x3

四：课堂小结

二元一次不等式Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0表示的平面区域.五：课后作业

课本P93习题3.3A组的第1、2题，B组的第1题。

板书设计

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

二元一次不等式定义

例1

练习

第四篇：二元一次不等式(组)与平面区域的教学反思2

“二元一次不等式（组）与平面区域 ”的教学反思

二元一次不等式（组）与平面区域，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容。通过这两节课的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

基于上述分析，我确定本节的教学重点是：让学生经历用图解法求最优解的探索过程，体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性。1．本节课是以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想。

2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用

通过两节课的学习，我对本节课的想法和存在的问题作如下的反思：

1、对教学目标研究不透。表现在：一是对教学内容的知识进行简单罗列；二是对知识和方法要求掌握的程度不清，即了解、理解、掌握、应用或灵活应用、分析与综合、评价等研究不透，表述不清；三是对学生能力要求空洞而不具体，如培养学生实践能力和创新精神，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的合作精神等，不善于将这些隐性目标显性化。

2、教学设计中缺乏问题情境设置。多数课堂教学为了完成教学内容的任务，直奔主题，采用讲练结合，不够重视分析研究学生的已有经验，不善于应用数学与生活、生产和科技的联系，设置有趣的教学情境，致使数学教学空洞无味，学生无趣，学习的积极性不高，教学效果不佳。

3、课堂教学中教学方法单一。高中数学课堂教学中，满堂灌的现象尤为突出，教师讲的多，包办的多，许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或“满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，“表面上像探究，实际上是讲解”，大部分学生还处于被动接受的地位，思考水平明显下降。不少老师对一些主要课型的教学策略和教学模式还停留在原有教学理念和教学要求的层面上。

4、教学过程未体现学科本质。似乎所有的教师都知道数学概念、公式、法则、定理等知识和数学思想方法，但在实际教学中往往是对教学内容的知识进行分析，理清解题思路，小结解题步骤和方法，对知识发生发展过程、价值和提炼解决问题的规律和数学思想方法体现不充分，致使教学效率不高。

5、课堂教学多“牵引”，少正确“引导”。今天的高中数学课堂教学中，教师虽然不像过去那样把结论、答案直接告诉学生，而往往是以提问的方式引出问题，但教师往往缺少等待，提出问题后很快就会以暗示性的语言迅速把学生的思路、解决问题的方法引到设计好的标准化的路线上来，然后在教师的牵引下迅速指向标准答案，一个教学过程就这样完成了。这对知识的传授也许是高效的，但是高效背后牺牲的却是学生的独立思考能力及实际解决问题的能力发展的空间和权利。与其说是引导，倒不如说是‘“牵引”，因为学生的主动性完全被抹杀了，只是被动地跟着教师转。

6、课堂教学效果检查未得到落实。课堂教学中更多体现完成教学内容性任务，一节数学课上完以后，学生实质上收获了多少，对知识和方法掌握的程度如何、问题何在，教师基本上不太清楚，只感觉到还可以，或者不太满意等情况。问题在于未落实课堂教学效果的检查，未得到教学效果的反馈信息，因此，教学目标完成情况也就不够清楚。

7、数学课堂教学缺少智慧的生成。在数学课堂中，很多教师依然担任着“搬运工”的角色，基本上是按部就班、原原本本地把教科书、教参上的内容搬到课堂，告诉学生。在这样的教学过程、教学方式中，教师很难有什么创造性，学生的创造力也同时被扼杀了，更谈不上生成智慧了。缺少智慧的生成说到底还是对教师和学生的层层束缚造成的。教育家陶行知先生在倡导解放儿童的创造力时就提出过著名的六大解放，为此，课堂教学更需要解放教师和学生的头脑、手脚、时间和空间，让师生在教学交往互动中自主发展。

第五篇：二元一次方程组 典型例题习题精选

二元一次方程组 典型例题习题精选

1．有一个两位数，它的十位、个位数字的和为5，则符合这个条件的两位数共有()

A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个

解答：设个位数字为x，十位上数字为y

所以x+y = 5，即y = 5−x

因为x为个位上数字，所以x = 0，1，2，…，9

又因为y为十位上数字，所以y = 1，2，3…，9

所以或或或或

即共有五个这样的两位数：50，41，32，23，14

所以答案为B．

2．将________吨含铁72%和________吨含58%的铁矿石混合后配成含铁64%的铁矿石70吨．

解答：设需含铁72%的x吨，需58%的y吨

根据题意有，化简得，用代入法不难解得，即需含铁72%的30吨，需含铁58%的40吨．

3．甲、乙两人相距 12km，二人同时出发同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，求二人的平均速度．

解：设甲的平均速度为xkm/h，乙的平均速度为ykm/h

则根据题意有，即，解这个方程组不难得出

答：甲、乙二人的平均速度分别为 8km/h和 4km/h．

4．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花多少钱？

解：设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，则打折后都买500件，比打折前都买500件少花[500(x+y)−9600]元

又根据题意有，即，用加减法解该方程组易得

则500(x+y)−9600 = 400

答：比不打折少花400元．

习题精选

选择题：

1．某校150名学生参加数学考试，平均每人55分，其及格人数均77分，不及格人数人均47分，则不及格学生人数为()

A．49 B．101 C．110 D．40

解答：设及格有x人，不及格有y人，根据题意有

可解得，答案为C．

2．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元人民币，那么共有()种换法

A．3 B．4 C．5 D．6

答案：D

说明：一共有6种换法，分别是全换1元；一张2元八张1元；两张2元六张1元；三张2元四张1元；四张2元两张1元；五张2元；答案为D．

3．甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行，若乙先行12千米，那么甲1小时追上乙，如果乙先走1小时，甲只用千米/时

A．6 B．12 C．18 D．36

答案：A

4．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，则有()

小时追上乙，则乙的速度是()

A． B．

C．

答案：C

填空题：

D．

1．一种蜂王精有大小盒两种包装，3大盒，4小盒共108瓶，2大盒3小盒共76瓶，则大盒装________瓶，小盒装________瓶．

解答：设大盒装x瓶，小盒装y瓶

根据题意有，解得

即大盒装20瓶，小盒装7瓶．

2．小明用15.5元买了25张50分和1元的邮票，他买50分和1元的邮票分别为________张、________张．

解答：设买50分的x张，1元的y张

根据题意有，解得

即买50分的19张，1元的6张．

3．甲、乙两组27人，若从甲组调3人到乙组，则乙组人数是甲组人数的2倍，则甲组________人，乙组________人．

解答：设甲组有x人，乙组有y人

根据题意有，解得

即甲组有12人，乙组有15人．

4．某工程共有27人做，每天每人可挖土4方或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土的________人．

解答：设应分配挖土的x人，运土的y人

根据题意有

即分配挖土的15人．，解得

解答题：

1．有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x吨，y吨，则根据题意有

，不难解出

∴3x+5y = 24.5(吨)

答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．

2．某工厂第一车间比第二车间人数的车间，则第一车间的人数是第二车间的少30人，如果从第二车间调出10人到第一，问这两车间原有多少人？

解：设第一、第二车间原来分别有 x人，y人，则根据题意有

，解方程组可得

答：第一车间原来有170人，第二车间原来有250人．