专题七
不等式
第二十讲
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
2019年
1.（2019全国文13）若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.2.（2019北京文10）若x，y满足
则的最小值为__________，最大值为__________．
3.（2019天津文2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）2
（B）3
（C）5
（D）6
4.（2019浙江3）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是
A．
B．1
C．10
D．12
2010-2018年
一、选择题
1．(2018北京)设集合则
A．对任意实数，B．对任意实数，C．当且仅当时，D．当且仅当时，2．(2018天津)设变量x，y满足约束条件
则目标函数的最大值为
A．
B．19
C．21
D．45
3．（2017新课标Ⅰ）设，满足约束条件，则的最大值为
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2017新课标Ⅱ）设、满足约束条件．则的最小值是
A．
B．
C．1
D．9
5．（2017新课标Ⅲ）设，满足约束条件，则的取值范围是
A．[–3,0]
B．[–3,2]
C．[0,2]
D．[0,3]
6．（2017山东）已知，满足约束条件，则的最大值是
A．3
B．1
C．1
D．3
7．（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6]
B．
[0，4]
C．
D．
8．（2017北京）若，满足，则的最大值为
A．1
B．3
C．5
D．9
9．（2016年山东）若变量满足则的最大值是
A．4
B．9
C．10
D．12
10．（2016年浙江）若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
A.B.C.D.11．（2015湖南）若变量满足约束条件，则的最小值为
A．－1
B．0
C．1
D．2
12．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
甲
乙
原料限额
A（吨）
B（吨）
A．12万元
B．16万元
C．17万元
D．18万元
13．（2015天津）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为．
A．7
B．8
C．9
D．14
14．（2015重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为
A．－3
B．1
C．
D．3
15．（2015广东）若变量，满足约束条件，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
16．（2015安徽）已知满足约束条件，则的最大值是
A．
B．
C．
D．1
17．（2015福建）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于
A．
B．
C．
D．
18．（2015四川）设实数满足，则的最大值为
A．
B．
C．12
D．16
19．（2014新课标1）不等式组的解集记为．有下面四个命题：
：，：,：，：．
其中真命题是
A．，B．，C．，D．，20．（2014安徽）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）
A．
B．
C．2或1
D．
21．（2014福建）已知圆，设平面区域，若圆心，且圆C与轴相切，则的最大值为
A．5
B．29
C．37
D．49
22．（2014北京）若满足且的最小值为－4，则的值为
A．2
B．-2
C．
D．
23．（2013新课标2）设满足约束条件，则的最小值是
A．
B．
C．
D．
24．（2013陕西）若点位于曲线y
=
|x|与y
=
2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为
A．－6
B．－2
C．0
D．2
25．（2013四川）若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是
A．
B．
C．
D．
26．（2012广东）已知变量满足约束条件，则的最大值为
A．12
B．11
C．3
D．－1
27．（2012广东）已知变量满足约束条件，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
28．（2012山东）设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
29．（2012福建）若直线上存在点满足约束条件则实数的最大值为（）
A．
B．1
C．
D．2
30．（2012天津）设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．−5
B．−4
C．−2
D．3
31．（2012辽宁）设变量满足，则的最大值为
A．20
B．35
C．45
D．55
32．（2011广东）已知平面直角坐标系上的区域D由不等式给定，若为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为
A．3
B．4
C．3
D．4
33．（2011安徽）设变量的最大值和最小值分别为
A．1，－1
B．2，－2
C．1，－2
D．2，－1
34．（2011湖南）设＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则的取值范围为
A．(1，)
B．(，)
C．(1,3)
D．(3，)
35．（2010新课标）已知ABCD的三个顶点为A(－1，2)，B(3，4)，C(4，－2)，点(x，y)在ABCD的内部，则z=2x－5y的取值范围是
A．(－14，16)
B．(－14，20)
C．(－12，18)
D．(－12，20)
36．（2010山东）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值分别为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
37．(2018全国卷Ⅰ)若，满足约束条件，则的最大值为___．
38．(2018全国卷Ⅱ)若满足约束条件
则的最大值为___．
39．(2018全国卷Ⅲ)若变量满足约束条件则的最大值是______．
40．(2018北京)若，满足，则的最小值是_____．
41．(2018浙江)若，满足约束条件，则的最小值是___________，最大值是___________．
42．（2016江苏）已知实数满足，则的取值范围是
．
43．（2016全国I卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元.44．（2016全国III卷）设满足约束条件则的最小值为______．
45．（2015北京）如图，△及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为_________．
46．(2015新课标1)若满足约束条件，则的最大值为
．
47．（2014安徽）不等式组表示的平面区域的面积为________．
48．（2014浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．
49．（2014湖南）若变量满足约束条件，且的最小值为－6，则
．
50．（2013新课标1）设满足约束条件，则的最大值
为
．
51．（2013浙江）设，其中实数满足，若z的最大值为12，则实数=________
．
52．（2013湖南）若变量x,y满足约束条件则的最大值为____．
53．（2012新课标）设，满足约束条件，则得取值范围为
．
54．（2011湖南）设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为
．
55．（2011陕西）如图，点在四边形ABCD内部和边界上运动，那么的最小值为________．
56．（2011新课标）若变量，满足约束条件，则的最小值是_________．
57．(2010安徽)设，满足约束条件,若目标函数的最大值为8，则的最小值为
__
_．
58．（2010陕西）铁矿石A和B的含铁率，冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如下表：
(万吨)
（百万元）
A
50％
B
70％
0.5
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为
（万元）．
三、解答题
59．（2017天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
乙
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（Ⅰ）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
60．（2016年天津）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有种原料200吨，种原料360吨，种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(Ⅰ)用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.61．（2010广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
专题七
不等式
第二十讲
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
答案部分
2019年
1.解析
由约束条件作出可行域如图：
化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．
2.解析
作出约束条件表示的可行域，如图所示.令，则，当此直线经过可行域内的点时，取最小值；当此直线经过可行域内的点时，取最大值.由，得，由，得，所以；.3.解析
由约束条件作出可行域如图：
化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值.联立，解得.所以的最大值为．
故选C．
4.解析：作出表示的平面区域，如图所示
分别联立其中两个方程，得A（2，2），B（-1，1），C（1，-1），则.故选C.2010-2018年
1．D【解析】解法一
点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．
解法二
若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．
2．C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线．平移该直线，当经过点时，取得最大值，由，得，即，所以，故选C．
3．D【解析】可行域如图阴影部分，由图可知，目标函数过点取最大值3．选D．
4．A【解析】如图为可行域
结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A．
5．B【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点
处取得最小值
.在点
处取得最大值，选B．
6．D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，当过时取得最大值3，选D．
7．D【解析】如图阴影为可行域，可知在时，无最大值．
所以的取值范围是．选D．
8．D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数过点时，取得最大值，故选D.9．C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设为平面区域内任意一点，则表示．显然，当点与点合时，即取得最大值，由，解得，故．所以的最大值为．故选C．
10．B【解析】画出不等式组的平面区域如图所示，由得，由
得，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点和点时，两直线的距离最小，即．故选B．
11．A【解析】画出可行域(图略)，可知在点处取得最小值．
12．D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润．
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
13．C【解析】画出可行域（图略），可知目标函数在点处有最大值9．
14．B【解析】由于不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，再注意到直线：与直线:互相垂直，所以是直角三角形；易知，()；
从而=，化简得：，解得=，或=1；检验知当=时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以=1；故选B．
15．B【解析】作出可行域（图略）可知，目标函数过点时取最大值．
16．A【解析】作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点处，取得最大值，故．
17．C
【解析】
将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示，其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．
18．A【解析】根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示
当动点在线段AC上时取得最大，此时2x＋y＝10．
．
当且仅当，时取等号，对应点落在线段AC上．
故最大值为．故选A．
19．C【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数经过可行域内的点A（2，1）时，取得最小值0，故，因此是真命题，选C．
20．D【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，取得最大值表示直线向上平移移动最大，表示直线斜率，有两种情况：或．
21．C【解析】平面区域为如图所示的阴影部分的△ABD，因圆心∈，且圆与轴相切，所以点在如图所示的线段上，线段的方程为（2≤≤6），由图形得，当点在点处时，取得最大值，故选C．
22．D【解析】作出线性约束条件，的可行域．当时，如图(1)所示，此时可行域为轴上方、直线的右上方、直线的右下方的区域，显然此时无最小值．当时．取得最小值2；当时，取得最小值-2，均不符合题意，当时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2，0)，B（，0），C(0，2)所围成的三角形区域，当直线经过点B（，0）时，有最小值，即，所以得．故选D．
23．B【解析】由得，即．作出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线得，选B．
24．A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是
(0,0)，(2,2)，(2,2)．且当取点(2,2)时，2x
–
y
=－6取最小值．所以选A．
25．C【解析】作出可行域，如图，则在A点取得最大值，在B点取得最小值，则，选C．
26．B【解析】约束条件对应边际及内的区域：
则．
27．C【解析】约束条件对应边际及内的区域：
则．
28．A【解析】作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即,应选A．
29．B【解析】由题意，可求得交点坐标为
（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．则可得m≤1，∴实数m的最大值为1，故选B．
30．B【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选B．
31．D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数
过点时，的最大值为55，故选D．
32．B【解析】画出区域D如图所示，而z=·=，所以，令：，平移直线过点()时，取得最大值，故．
33．B【解析】如图先画出不等式表示的平面区域，易知当，时，取得最大值2，当时，取得最小值－2，选B．
34．A【解析】
画出可行域，可知在点取最大值，由解得．
35．B【解析】当直线z=2x5y过点B时，当直线z=2x5y过点D(0,4)时，所以z=2x5y的取值范围为（－14，20），点D的坐标亦可利用求得．
36．A【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线平移到点（5，3）时，目标函数取得最大值3；
当直线平移到点（3，5）时，目标函数取得最小值11，故选A．
37．6【解析】作出可行域为如图所示的所表示的阴影区域，作出直线，并平移该直线，当直线过点时，目标函数取得最大值：且．
38．9【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线，平移该直线，当直线过点时，取得最大值，．
39．3【解析】易知在可行域的顶点取得最大值，由，解得，代入，可得；由，解得，代入，可得；由，解得，代入，可得；可知，的最大值为3．
40．3【解析】作出不等式组，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令，作出直线，平移该直线，当直线过点时，取得最小值，最小值为．
41．−2；8【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以，为顶点的三角形及其内部区域（图略）．由线性规划的知识可知，目标函数在点
处取得最大值，在点处取得最小值，则最小值，最大值．
42．【解析】不等式组所表示的平面区域是以点，为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线的距离为，所以，又当取点时，取得最大值13，故的取值范围是．
43．【解析】由题意，设产品A生产件，产品B生产件，利润，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以（元）．
44．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当经过点时，取得最小值，．
45．7
【解析】
由目标函数的可行域为边界及其内部（如图所示）．令，即，平移直线至目标函数的可行域内，可知当过点时，取得最大值，即．
46．4
【解析】
作出可行域（图略），作出直线：，平移直线，当直线:
过点A时，取最大值，由，解得A（1,1），∴的最大值为4．
47．4【解析】如图阴影部分，可知
48．【解析】由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为，都代入，可得．
49．－2【解析】画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线，可知在点处取得最小值，故．
解得．
50．3【解析】做出可行域可知，当的时候有最大值3
51．2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示．当>0时，直线：平移到A点时目标函数取最大值，即当4+4=12
所以=2，当<0时，直线：平移到A或B点是目标函数取最大值，可知取值是大于零，所以不满足，所以=2，所以填2．
52．6【解析】画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线，在点(4，2)处取得最大值，此时．
53．【解析】约束条件对应四边形边际及内的区域：
则．
54．3【解析】画出可行域，可知在点取最大值为4，解得
55．1【解析】目标函数，当时，所以当取得最大值时，的值最小；移动直线，当直线移动到过点A时，最大，即的值最小，此时．
56．－6【解析】根据得可行域，根据得，平移，易知在点处取得最小值－6．
57．4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立．所以的最小值为4．.58．15【解析】设购买铁矿石A和B各，万吨，则购买铁矿石的费用，满足约束条件，表示平面区域（图略）则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=15．
59．【解析】（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
（图1）
（图2）
（Ⅱ）设总收视人次为万，则目标函数为．
考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线．为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大．又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大．
解方程组得点M的坐标为．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
60．【解析】（Ⅰ）由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分．
（Ⅱ）设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大.解方程组得点的坐标为，所以.答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.61．【解析】设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件，即，做出可行域（图略）作直线，平移直线至，当
经过C点时，可使达到最小值．
由
即，此时，答:
午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元．
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