专题七
不等式
第十九讲
不等式的性质与一元二次不等式
2019年
1.（2019全国Ⅰ文3）已知，则
A．
B．
C．
D．
2.（2019天津文5）已知，，则的大小关系为
（A）
（B）
（c）
（D）
3.（2019天津文10）设，使不等式成立的的取值范围为__________.2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．(2018天津)设，则“”是“”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2017天津）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则
A．
与有关，且与有关
B．
与有关，但与无关
C．
与无关，且与无关
D．
与无关，但与有关
5．（2016年浙江）已知，且，若，则
A．
B．
C．
D．
6．（2015浙江）已知集合，则
A．
B．
C．
D．
7．（2015山东）已知集合，则=
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
8．（2015福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是
A．
B．
C．
D．
9．（2014新课标1）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=
A．[2,1]
B．[1,1]
C．[1,2）
D．[1,2）
10．（2014山东）若，则一定有
A．
B．
C．
D．
11．（2014四川）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
12．（2014辽宁）已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有．
若对所有，恒成立，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
13．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15,20]
B．[12,25]
C．
[10,30]
D．[20,30]
14．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则
A．
B．
C．
D．
15．（2013天津）已知函数．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
16．（2012辽宁）若，则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
17．（2011湖南）已知函数，若有，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
18．(2018北京)能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为____．
19．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．
20．（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是____．
21．（2017北京）已知，且，则的取值范围是___．
22．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
23．（2016年北京高考）函数的最大值为_________．
24．（2015广东）不等式的解集为
．（用区间表示）
25．（2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是
．
26．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则____________．
27．（2013广东）不等式的解集为___________．
28．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数．当时，则不等式的解集用区间表示为
．
29．（2013四川）已知的定义域为R的偶函数，当时，那么，不等式的解集是_____．
30．（2012福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
31．（2012江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为
．
32．（2012江西）不等式的解集是___________．
33．（2010江苏）已知函数,则满足不等式的的范围是__
___．
34．（2010江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是
．
35．（2010天津）设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________．
三、解答题
36．（2014北京）已知函数，（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值．
专题七
不等式
第十九讲
不等式的性质与一元二次不等式
答案部分
2019年
1.解析
依题意，因为，所以，所以.故选B．
2.解析
由题意，可知，，所以． 故选A．
3.解析，即，可得；
所以的取值范围是或.2010-2018年
1．D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D．
2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A．
3．B【解析】由，得，由，得，所以“”是“”的必要而不充分条件．选B．
4．B【解析】函数的对称轴为，①当，此时，；
②当，此时，；
③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．
5．D【解析】，当时，，；
当时，，．故选D．
6．A【解析】由题意得，所以，故选A．
7．C【解析】．
8．C
【解析】取满足题意得函数，若取，则，所以排除A．
若取，则，所以排除D；取满足题意的函数，若取，则，所以排除B，故结论一定错误的是C．
9．A【解析】，故=[2,1]．
10．D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以
11．D【解析】由已知得，此时大小不定，排除A,B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选D．
12．B【解析】不妨设，当时，；
当时，∴．
13．C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则，所以，又，所以，即，解得．
14．A【解析】∵由
()，得，即，∴.∵，∴．故选A．
15．A【解析】解法一
由，得
当，①，无解，即，不符合，排除C．取，①，符合，排除B、D．
解法二
数形结合，∵是奇函数．
ⅰ）取，如图，无解．排除C．
ⅱ）取，，满足，排除B、D
解法三
由题意，即，所以，当时无解，所以，此时，∴．排除C、D．又，∴取，①，符合，排除B．
16．C【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当，而，故排除B；验证C，令，显然恒成立，所以当，所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D，令，令，解得，所以当时，显然不恒成立，故选C．
17．B【解析】由题可知，若有则，即，解得．
18．（答案不唯一）【解析】由题意知，当，时，满足，但是，故答案可以为．（答案不唯一，满足，即可）
19．；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
20．【解析】当时，不等式为恒成立；
当，不等式恒成立；
当时，不等式为，解得，即；
综上，的取值范围为．
21．【解析】由题意，且，又时，时，当时，所以取值范围为．
22．6
12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则
①，所以，②当时，，，不存在，不符合题意；
当时，，，不存在，不符合题意；
当时，此时，满足题意．
所以．
23．2【解析】，因为，所以，所以，故当时，函数取得最大值2．
24．【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
25．【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
26．【解析】因为，当且仅当，即，解得．
27．【解析】易得不等式的解集为.28．(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)【解析】做出
()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)．
29．(－7,3)【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7,3)．
30．(0，8)【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．
31．9【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9.32．【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．
33．【解析】．
34．27【解析】，，的最大值是27．
35．【解析】已知为增函数且≠0
若>0，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。
<0，时有
因为在上的最小值为2，所以1+即>1，解得．
36．【解析】：（I）由得，．
因为在区间上，所以在区间上单调递减．
从而．
（Ⅱ）当时，“”等价于“”，“”等价于“”．
令，则，当时，对任意恒成立．
当时，因为对任意，所以在区间上单调递减．
从而对任意恒成立．
当时，存在唯一的使得．
与在区间上的情况如下：
＋
0
－
↗
↘
因为在区间上是增函数，所以．进一步，“对
任意恒成立”当且仅当，即，综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立．
所以，若对任意恒成立，则最大值为，的最小值为1．
专题七
不等式
第十九讲
不等式的性质与一元二次不等式
答案部分
2019年
1.解析
依题意，因为，所以，所以.故选B．
2.解析
由题意，可知，，所以． 故选A．
3.解析，即，可得；
所以的取值范围是或.2010-2018年
1．D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D．
2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A．
3．B【解析】由，得，由，得，所以“”是“”的必要而不充分条件．选B．
4．B【解析】函数的对称轴为，①当，此时，；
②当，此时，；
③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．
5．D【解析】，当时，，；
当时，，．故选D．
6．A【解析】由题意得，所以，故选A．
7．C【解析】．
8．C
【解析】取满足题意得函数，若取，则，所以排除A．
若取，则，所以排除D；取满足题意的函数，若取，则，所以排除B，故结论一定错误的是C．
9．A【解析】，故=[2,1]．
10．D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以
11．D【解析】由已知得，此时大小不定，排除A,B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选D．
12．B【解析】不妨设，当时，；
当时，∴．
13．C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则，所以，又，所以，即，解得．
14．A【解析】∵由
()，得，即，∴.∵，∴．故选A．
15．A【解析】解法一
由，得
当，①，无解，即，不符合，排除C．取，①，符合，排除B、D．
解法二
数形结合，∵是奇函数．
ⅰ）取，如图，无解．排除C．
ⅱ）取，，满足，排除B、D
解法三
由题意，即，所以，当时无解，所以，此时，∴．排除C、D．又，∴取，①，符合，排除B．
16．C【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当，而，故排除B；验证C，令，显然恒成立，所以当，所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D，令，令，解得，所以当时，显然不恒成立，故选C．
17．B【解析】由题可知，若有则，即，解得．
18．（答案不唯一）【解析】由题意知，当，时，满足，但是，故答案可以为．（答案不唯一，满足，即可）
19．；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
20．【解析】当时，不等式为恒成立；
当，不等式恒成立；
当时，不等式为，解得，即；
综上，的取值范围为．
21．【解析】由题意，且，又时，时，当时，所以取值范围为．
22．6
12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则
①，所以，②当时，，，不存在，不符合题意；
当时，，，不存在，不符合题意；
当时，此时，满足题意．
所以．
23．2【解析】，因为，所以，所以，故当时，函数取得最大值2．
24．【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
25．【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
26．【解析】因为，当且仅当，即，解得．
27．【解析】易得不等式的解集为.28．(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)【解析】做出
()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)．
29．(－7,3)【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7,3)．
30．(0，8)【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．
31．9【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9.32．【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．
33．【解析】．
34．27【解析】，，的最大值是27．
35．【解析】已知为增函数且≠0
若>0，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。
<0，时有
因为在上的最小值为2，所以1+即>1，解得．
36．【解析】：（I）由得，．
因为在区间上，所以在区间上单调递减．
从而．
（Ⅱ）当时，“”等价于“”，“”等价于“”．
令，则，当时，对任意恒成立．
当时，因为对任意，所以在区间上单调递减．
从而对任意恒成立．
当时，存在唯一的使得．
与在区间上的情况如下：
＋
0
－
↗
↘
因为在区间上是增函数，所以．进一步，“对
任意恒成立”当且仅当，即，综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立．
所以，若对任意恒成立，则最大值为，的最小值为1．
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