专题九
解析几何
第二十七讲
抛物线
2019年
1.（2019全国II文9）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
2.（2019浙江21）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标.3.(2019全国III文21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.1.解析（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故，整理得
设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，所求圆的方程为.2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交于点(在轴上方)，为的准线，点在上且⊥，则到直线的距离为
A．
B．
C．
D．
2．（2016年全国II卷）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
A．
B．1
C．
D．2
3．（2015陕西）已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为
A．(－1，0)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(0，1)
4．（2015四川）设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．（2014新课标1）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=
A．
B．
C．3
D．2
6．（2014新课标2）设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则△的面积为
A．
B．
C．
D．
7．（2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为
A．
B．
C．
D．
8．（2013新课标1）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A．
B．
C．
D．
9．（2013江西）已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=
A．2:
B．1:2
C．1:
D．1:3
10．（2012新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，则的实轴长为
A．
B．
C．4
D．8
11．（2012山东）已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
A．
B．
C．
D．
12．（2011新课标）已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于，两点，为C的准线上一点，则的面积为
A．18
B．24
C．36
D．48
二、填空题
13．(2018北京)已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．
14．（2015陕西）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则=
15．（2014湖南）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过
．
16．（2013北京）若抛物线的焦点坐标为，则，准线方程为
．
17．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽
米．
18．（2010浙江）设抛物线的焦点为，点．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________．
三、解答题
19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
20．（2018浙江）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上．
(1)设中点为，证明：垂直于轴；
(2)若是半椭圆()上的动点，求面积的取值范围．
21．（2017新课标Ⅰ）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．
(1)求直线的斜率；
(2)设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
22．（2017浙江）如图，已知抛物线．点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
23．（2016年全国I卷）在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．
（I）求；
（II）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．
24．（2016年全国III卷）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
25．（2016年浙江）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于．
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．
26．（2015浙江）如图，已知抛物线：，圆：，过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，为切点．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）求的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
27．（2015福建）已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
28．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
29．（2014陕西）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．
30．（2013广东）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．
31．（2012新课标）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到、距离的比值．
32．（2011新课标）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．
专题九
解析几何
第二十七讲
抛物线
答案部分
2019年
1.解析：由题意可得：，解得．故选D．
2.（I）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（Ⅱ）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x轴上，故，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而
.令，则m>0，.当时，取得最小值，此时G（2，0）.3.解析（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故，整理得
设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，所求圆的方程为.2010-2018年
1．C【解析】由题意可知，如图，又抛物线的定义得，所以
为等边三角形，在三角形中，，得，所以到的距离为等边三角形中边上的高，易知为．选C．
2．D【解析】易知抛物线的焦点为，设，由轴得，代入抛物线方程得舍去)，把代入曲线的，故选D．
3．B【解析】因为抛物线的准线方程为，∴，∴焦点坐标为．
4．D
【解析】当直线的斜率不存在时，这样的直线恰好有2条，即，所以；所以当直线的斜率存在时，这样的直线有2条即可．设，，则．又，两式相减得，．
设圆心为，则，因为直线与圆相切，所以，解得，于是，又，即，所以，又，所以，选D．
5．C【解析】过点作交于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以．故选C．
6．D【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代入抛物线方程，整理得．
设，则，由物线的定义可得弦长，结合图象可得到直线的距离，所以的面积．
7．D【解析】∵在抛物线的准线上，∴．∴，∴，设直线的方程为①，将①与联立，得②，则△=，即，解得或（舍去），将代入①②解得，即，又，∴，故选D．
8．C【解析】∵，由抛物线的定义可得点的坐标，∴的面积为．
9．C【解析】依题意可得AF所在直线方程为代入x2=4y得，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:．
10．C【解析】设交的准线
于
得：
11．D【解析】∵双曲线：的离心率为2,所以
又渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为
而抛物的焦点坐标为所以有.故选D．
12．C【解析】设抛物线的方程为，易知，即，∵点在准线上，∴到的距离为，所以面积为36，故选C．
13．【解析】由题意知，对于，当时，由于被抛物线截得的线段长为4，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为．
14．【解析】的准线方程为，又，所以必经过双曲线的左焦点，所以，．
15．【解析】由正方形的定义可知BC=
CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以，D，将点F的坐标代入抛物线的方程得，变形得，解得或（舍去），所以．
16．2，【解析】；准线．
17．【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），设抛物线的方程为，与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（–2，–2），B（2，–2）
则有，∴
∴抛物线的解析式为
水位下降1米，则y=–3，此时有或
∴此时水面宽为米．
18．【解析】由题意可得的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为．
19．【解析】(1)由题意得，的方程为．
设，由得．，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．
因此的方程为．
(2)由(1)得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则
解得或
因此所求圆的方程为或．
20．【解析】(1)设，．
因为，的中点在抛物线上，所以，为方程
即的两个不同的实数根．
所以．
因此，垂直于轴．
(2)由(1)可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
21．【解析】（1）设，则，，x1+x2=4，于是直线的斜率．
（2）由，得．
设，由题设知，解得，于是．
设直线的方程为，故线段的中点为，．
将代入得．
当，即时，．
从而．
由题设知，即，解得．
所以直线AB的方程为．
22．【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为，因为，所以直线AP斜率的取值范围是。
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是
因为
==
=
=，所以
=
令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值．
23．【解析】（Ⅰ）由已知得，.又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，因此．所以为的中点，即．
（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.24．【解析】（Ⅰ）由题设.设，则，且
.记过两点的直线为，则的方程为.（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则
.所以.（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合．所以所求轨迹方程为.25．【解析】(Ⅰ)由题意得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线的距离．
由抛物线的第一得，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:，由消去得，故，所以.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而的直线FN：，直线BN：，所以，设M(,0)，由A，M，N三点共线得：，于是，经检验，或满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是.26．【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．
所以消去．整理得：．
因为直线与抛物线相切，所以，解得.所以，即点．设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点关于直线对称，故有，解得．即点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，所以点到直线的距离为．
所以的面积为．
27．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，解得或，从而．
又，所以，所以，从而，这表明点到直线的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线：上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，解得或，从而．
又，故直线的方程为，从而．
又直线的方程为，所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
28．【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为
因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）
由，解得．所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．
因为，则，由得，故，故直线的斜率
因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得
设，则
当时，可得直线的方程为，由，整理得，直线恒过点
当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，所以。
设直线的方程为，因为点在直线上
故．设，直线的方程为
由于，可得，代入抛物线的方程得
所以，可求得，所以点到直线的距离为
==
则的面积，当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为．
29．【解析】（Ⅰ）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点，设的半焦距为，由及，解得，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为
代入的方程中，整理得：
（*）
设点的坐标，由韦达定理得
又，得，从而求得
所以点的坐标为．
同理，由得点的坐标为，,即，解得
经检验，符合题意，故直线的方程为
30．【解析】（Ⅰ）依题意，解得（负根舍去）
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点,，由,即得．
∴抛物线在点处的切线的方程为，即．
∵，∴．
∵点在切线上,∴.①
同理，.②
综合①、②得，点的坐标都满足方程
.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即．
（Ⅲ）由抛物线的定义可知，所以
联立，消去得，当时，取得最小值为．
31．【解析】（Ⅰ）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离
圆的方程为
（Ⅱ）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为．
32．【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．
所以=，=(0，)，=(，-2).再由题意可知（+）• =0，即（，）•(，－2)=0．
所以曲线C的方程式为．
（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即．
则点到的距离．又，所以
当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．
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