专题十五
不等式选讲
第三十五讲
不等式选讲
2019年
1.（2019全国II文23）已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，求的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
3.(2019全国III文23）设，且.（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.2010-2018年
解答题
1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．
2．(2018全国卷Ⅱ)
[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围．
3．(2018全国卷Ⅲ)
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
(1)画出的图像；
(2)当时，求的最小值．
4．(2018江苏)D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若，为实数，且，求的最小值．
5．（2017新课标Ⅰ）已知函数，．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．
6．（2017新课标Ⅱ）已知，，证明：
(1)；
(2)．
7．（2017新课标Ⅲ）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．
8．（2017江苏）已知，，为实数，且，证明．
9．（2016年全国I高考）已知函数．
（I）在图中画出的图像；
（II）求不等式的解集．
10．（2016年全国II）已知函数，M为不等式的解集．
（I）求M；
（II）证明：当a，时，．
11．（2016年全国III高考）已知函数
（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数，当时，求a的取值范围．
12．（2015新课标1）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．
13．（2015新课标2）设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）若>，则；
（Ⅱ）是的充要条件．
14．（2014新课标1）若，且．
(Ⅰ)
求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由．
15．（2014新课标2）设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
16．（2013新课标1）已知函数=,=.（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集；
（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围.17．（2013新课标2）设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
18．（2012新课标）已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．
19．（2011新课标）设函数,其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值．
专题十五
不等式选讲
第三十五讲
不等式选讲
答案部分
2019年
1.解：（1）当a=1时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为.（2）因为，所以.当，时，.所以，的取值范围是.2.解析
（1）因为，又，故有
.所以.（2）因为为正数且，故有
=24.所以.3.解析（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为.（2）由于，故由已知，当且仅当，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
2010-2018年
1．【解析】(1)当时，即
故不等式的解集为．
(2)当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
2．【解析】(1)当时，可得的解集为．
(2)等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
3．【解析】(1)的图像如图所示．
(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．
4．D．【证明】由柯西不等式，得．
因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．
5．【解析】（1）当时，不等式等价于
．①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而．
所以的解集为．
（2）当时，．
所以的解集包含，等价于当时．
又在的最小值必为与之一，所以且，得．
所以的取值范围为．
6．【解析】（1）
（2）∵，所以，因此．
7．【解析】（1），当时，无解；
当时，由得，解得
当时，由解得．
所以的解集为．
（2）由得，而
且当时，．
故m的取值范围为．
8．【解析】证明：由柯西不等式可得：，因为
所以，因此.9．【解析】(1)如图所示：
(2)，．
当，解得或，．
当，解得或，或，当，解得或，或，综上，或或，解集为．
10．【解析】（I）当时，若；
当时，恒成立；
当时，若，．
综上可得，．
（Ⅱ）当时，有，即，则，则，即，证毕．
11．【解析】（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（Ⅱ）当时，当时等号成立，所以当时，等价于.①
当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.12．【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得．
所以的解集为．
（Ⅱ）有题设可得，所以函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．所以的取值范围为．
13．【解析】（Ⅰ）∵，由题设，得．
因此．
（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．
因为，所以，由（Ⅰ）得．
（ⅱ）若，则，即．
因为，所以，于是．
因此，综上是的充要条件．
14．【解析】（I）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为．
（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．
15．【解析】（I）由，有．
所以≥2.（Ⅱ）.当时＞3时，=，由＜5得3＜＜．
当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．
综上，的取值范围是（，）．
16．【解析】(Ⅰ)当=2时，不等式＜化为，设函数=，=，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．
（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，∴对∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范围为(1，]．
17．【解析】（Ⅰ）得
由题设得，即．
所以，即
（Ⅱ）∵
∴
即
∴
18．【解析】(1)当时，或或
或．
(2)原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
．
19．【解析】（Ⅰ）当时，可化为．
由此可得
或．
故不等式的解集为或．
(Ⅱ)
由
得，此不等式化为不等式组
或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故．
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