高2013级高三数学不等式选讲专题（精选合集）

第一篇：高2013级高三数学不等式选讲专题

不等式选讲

【2013年高考会这样考】 1．考查含绝对值不等式的解法． 2．考查有关不等式的证明． 3．利用不等式的性质求最值． 【复习指导】

本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.不等式选讲部分知识点 1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔；(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔；

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 ≤|a±b|≤3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b

定理2：如果a、b为正数，则2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b＋c定理3：如果a、b、c为正数，则abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

3a1＋a2＋…＋an定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥a1a2n，n当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立 4．柯西不等式

2222

2（1）柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d为实数，则(ab)(cd)(acbd)，当且仅当adbc时等

使得aikbi(i1,2,,n)时，等号成立。

（3）柯西不等式的向量形式：设,，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立。

5．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．

双基自测

1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________ 2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________

3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________ 4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为______

5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是_______

考向一 含绝对值不等式的解法

【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．

【训练1】 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．

考向二 不等式的证明

【例2】►证明下列不等式：

(1)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；

1(3)a6＋8b6＋27c6≥2a2b2c2.111

2【训练2】(2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋abc≥63，并确定a，b，

号成立。

（2）若a1,bi(iN)为实数，则（c为何值时，等号成立．(三数均值不等式，再两数均值不等式)

考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值

【例3】►已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋13c＋1的最大值．

a)(b

ii1

i1

nn

2i)(aibi)2,当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在一个数k，i1

n

（柯西不等式或平方后均值不等式）

【训练3】 已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值

11．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；

(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

12．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.13．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．

14．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；

(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

15．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

16． 已知f(x)x2|2x4|a．

（1）当a3时，求不等式f(x)x2|x|的解集；

（2）若不等式f(x)0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．

17.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L(A,B)|x1x2||y1y2|.若点A(-1,1)，B在曲线y2x上，则L(A,B)的最小值为

参考答案

不等式选讲(选修4－5)强化训练

一、填空题

11．设a、b为正数，且a＋b＝1，则2ab的最小值是________． 2．已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________． 3．函数yx3－x的最大值为________．

4．关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是______． 5．设a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x、y的大小关系是xy 6．不等式|x|＋|x－1|<2的解集是________．

7．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．

18．设x,yR,则(x22)(24y2)的最小值为。

yx

9．对于实数x,y，若x1，y21，则x2y的最大值为

二、解答题

10．如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．

(1)将y表示为x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？

1.解析：本题考查均值不等式求最小值，按不同的变形方式的解法也有很多．最常见的解法：

11a＋ba＋b1ba3ba32a＋b2ab22a1＋b2＋2a＋b2＋

2ba32ab22.5－2xx<1

7.解析：函数f(x)＝31≤x≤

42x－5x>4，可分段求函数的最小值，得f(x)min＝3.2.解析：本题考查圆锥曲线的参数方程、三角函数的和差角公式等知识．所给不

x＝2cosθx2y2

等式表示的区域为椭圆23＝1及其边界部分．设椭圆的参数方程为(θ

y3sinθ

x<11≤x≤4x>4，解不等式组或或求并集得所求x的取值范围

5－2x≤53≤52x－5≤5，是[0,5]．

8.解析：由柯西不等式可知(x2

11)(24y2)(12)29 2

yx

为参数，0≤θ<2π)，则P＝22cosθ＋3sinθ＝11sin(α＋θ)．故P11.3.解析：由柯西不等式得x＋3－x≤1＋1x＋3－x＝6.4.解析：本小题考查了绝对值的定义，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，当a>2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．

当a<2时，f(x)的值域为[2－a，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需2－a≥2a成立，2即a≤3.当a＝2时，需|x－2|≥a恒成立，即a≤0(舍去)． 2

综上a的最大值为3bb

5.解析：由x－y＝a＋b－a－a－a－b)＝－a＋b＋aa＋a－bba－

b－a＋b，所以x

0x2，1y3，9.此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，再解出y的范围，最后综合解出x-2y+1的范围5,1，那么绝对值最大，就取5

10.解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.4|x－10|＋6|x－20|≤70，(2)依题意，x满足解不等式组，其解集为[9,23]．

0≤x≤30.

－3，x≤2，

11.解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝2x－7，2

当2

6.解析：根据绝对值的几何意义，可直接得到解集为－22.

综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．

12.证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当

b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；

同理：ab2

＋a2

＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.13.解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)． |a＋b|＋|a－b||a＋b＋a－b||a||a|＝2，则有2≥f(x)． 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2152x≤214.解：(1)由|2x－1|<1得，－1<2x－1<1，解得00.故ab＋1>a＋b.15.解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组

x≥a，xx≥a，x≤a，x－a＋3x≤0，或≤a，a－x＋3x≤0，即x≤a或

4

x≤－a

因为a>0，所以不等式组的解集为



x|x≤－a2

.a

2＝－1，故a＝2.a2

第二篇：不等式选讲高考题

不等式选讲高考题

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

12.2009辽宁选作24）设函数f(x)|x1||xa|.f(x)3；（I）若a1,解不等式（II）如果xR,f(x)2,求a的取值范围。

第三篇：专题：不等式选讲

专题：不等式选讲

1、已知函数f(x)log2(|x1||x5|a).（Ⅰ）当a5时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。

2、设a,b,c为不全相等的正数，证明：2(abc)a(bc)b(ac)c(ab)

ababma3、对于任意实数a（a0）和b，不等式恒成立，记实数m的最大333222

值为M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、设函数f(x)2x1x2．

（Ⅰ）求不等式f(x)2的解集；

2（Ⅱ）若xR，f(x)tx1x2M。11

2t恒成立，求实数t的取值范围．

5、已知函数f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为x2x3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围．

6、已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)27、已知函数f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围

8、若关于x的不等式xax2a2010的解集为非空集合，求实数a的取值范围。

9、设关于x的不等式x1ax.(I)当a2，解上述不等式。（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。

10、设函数fxx1x2

fx3 对xR恒成立，求实数a的取值范围。(1)解不等式(2)若fxa11、已知函数f(x)|x2||x1|.g(x)ax3x3

x2（1）试求f(x)(a0)的值域；（2）设，若对s(0,),t(,)，恒有g(s)f(t)成立，试求实数a的取值范围。

第四篇：不等式选讲心得体会[范文]

《不等式选讲》心得体会

从开学到实习前，《不等式选讲》这门课我们已经上了一个月了。在这一个月里，我们学习了讲义里的第一、二章和第三章的第一、二讲。下面，我将对我在这一个月的学过的东西做一个总结，并谈谈自己的体会和感想。

第一章是绪论，介绍了一百年来Hilbert型不等式理论的研究概况及其思想方法的由来与演变。1908年，德国数学家D.Hilbert证明了著名的Hilbert不等式，其中常数因子π的最佳性证明是由Sohur于1911年完成的，他同时还给出了Hilbert不等式的积分类似形式，称为Hilbert积分不等式。这两个不等式是分析学的重要不等式，后面在这一领域的研究者，都是为了这两个不等式的改进，推广及应用，其成果在中外各类数学文献及不等式专著都可见到。1925年，Hardy与Riesz等引入一对共轭指数(p,q)(1/p+1/q=1)，将Hilbert不等式推广为Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齐次核的Hilbert型不等式理论。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并没有得到拓展。一直到了1979年，我国学者胡克改进了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度数学家B.G.Pachpatte得出 Hilbert积分不等式的一个类似形式，由此而来，引出了一系列的改进及推广应用。1998年，杨必成教授引入参数λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert积分不等式的推广式。1999年，高明哲应用分析及代数向量的方法，得出Hilbert积分不等式的一个改进式。2002年，英国数学家Zhang Kewei应用算子理论，得到一个Hilbert积分不等式的改进式。1991年，我国数学家徐利治等提出了旨在改进 Hilbert不等式的权系数方法。这些近代研究成果及研究思想，极大地推动了对Hilbert型不等式的系统研究。

从1908年数学家D.Hilbert证明Hilbert不等式到今天，这一百年来，我们可以看到，那么多的科学研究者在为改进及推广，应用Hilbert不等式和Hilbert积分不等式做努力。牛顿曾说过，他是站在巨人的肩膀上，科学的道路都是曲折难行的，要建起一座高大坚固的知识体系墙，科学研究者们只能尽自己最大的努力，往上面彻砖，看着它慢慢从地面一层层的增高。我们必须向那些不畏艰难，勇攀高峰的科学家们致以最崇高的敬意！同时，我们也必须努力向那些勇敢直前，努力探索未知领域的伟人们学习！

第二章内容分为十讲，介绍了Euler-Maclaurin公式的两类精确化改进公式及级数的估值理论，为估算权系数准备良好的方法。其中第一讲介绍了一类正项级数的估值方法，提出并证明了三个定理，并举了一个例子。第二讲介绍了Bernoulli数和Bernoulli 多项式。第三讲介绍了 Bernoulli函数，介绍了一阶Bernoulli函数P1(t)的积分性质。第四讲介绍了级数求和的Euler-Maclaurin公式。第五讲介绍了涉及级数余项的第一估值式及其改进式。第六讲举了一个例子，并提出了一个推论。第七讲介绍了涉及级数余项的第二估值式，将推论2的结果改进为定理6，并对定理6进行了证明。第八讲介绍了关于δq(m,n)的估值及一些实用不等式。在第五讲的定理5和第七讲的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九讲介绍了一类收敛级数及发散级数的估值式，考察式(4.3)当n→∞的情形，结合推论3和推论4，得出定理7。其中有一种方法，先取较少的n，代入具体的m估算βm，最后，对较大(或一般)的n，估算其有限和。用这种方法还可以求得一些重要和数的估值公式。第十讲则是举了三个应用实例。这一章内容通过深入浅出的分析，展开对一类无穷级数估值方法的讨论，为拓展离散型不等式的研究铺平了道路，其中有许多证明方法是很值得我们学习的！

而第三章内容则深入浅出地介绍了Hilbert积分不等式发表100年来的发展变化权函数方法的具体应用及如何利用实分析的方法证明常数因子的最佳性。其中第一讲介绍了Hilbert积分不等式及其等价式，给出了具体的证明过程。不等式等价性及常数因子的最佳性的证明用了精致的分析技巧，值得我们好好学习借鉴。第二讲介绍了Hardy-Hilbert积分不等式及其等价式，也对其进行了具体的证明。

总的来说，第一章就是介绍了Hilbert不等式的发展史，第二章可以说更多内容是为后面的学习做铺垫，从第三章开始，我们才算正式开始学习Hilbert不等式及其改进式，推广式。期待在实习回来后的一个月，能继续学习到更多的关于Hilbert不等式的知识！

第五篇：数学选修4-5不等式选讲教案

选修4-5 不等式选讲

课 题：

不等式的基本性质

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0 abab0 abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nanb(nN，且n>1)。

课 题：

含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab（3）abab（4）

aba(b0)b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和

aba(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而b绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

cc例

4、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

课 题：

含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。例

5、已知xx，如果x0 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是，如{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a）图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab 2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR 强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么

ab）ab（当且仅当ab时取“=”证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab 22 注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] 2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc 指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么

abc3（当且仅当abc时取“=”）abc。证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式： ①．如果a1,a2,,anR,n1且nN 则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式： a1a2an≥na1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab③．ab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则CD2CACBab，ab从而CDab，而半径CDab。

2课 题：

不等式的证明方法之一：比较法

课 题：

不等式的证明方法之二：综合法与分析法 课 题： 不等式的证明方法之三：反证法

课 题：

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

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