选修4-5----不等式选讲测试题

第一篇：选修4-5----不等式选讲测试题

选修4-5不等式选讲测试题

一.选择题：

1.若a,b是任意的实数,且a>b,则()A．a2b2B．2.若

1a1b

0,则下列不等式中

b

1a1b

1C． lg(a-b)>0D．()()

22a

(1)abab

(2)|a|>|b|(3)a

ba



ab



2正确的个数是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为()

A． ,22,B． ,12,C． ,23,D．,32, 4.下列结论不正确的是()A．x,y为正数,则

xyyx

2B．

x2x

122

2C．lgxlogx102D．a0,则(1a)(1

1a)

45.如果a>0,且a1,Mloga(a31),Nloga(a21),那么()

A．M>NB．M0,则n+A．2

32n

2的最小值为()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,则x2y2的最小值为()A．

B．10C．1D．100

8.函数y=5x125x的最大值为()

A．108B．63C．10D．279.已知0a,b1，用反证法证明a(1b),b(1a)不能都大于A．a(1b),b(1a)都大于

时，反设正确的是()

14，B．a(1b),b(1a)都小于

C．a(1b),b(1a)都大于或等于D．a(1b),b(1a)都小于或等于

10.已知a,bR，且abA．ab

ab

0，则()

ab

B．ab

aabc

C．ab

ccda

ab

D．ab

ab

11.a,b,cR

，设

S

bbcd



ddab，则下列判断中正确的是()

A． 0S1B． 1S2C． 2S3D． 3S4

1111

312．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1时不等式左边()

A．增加了一项B．增加了两项、2k＋12k＋12k＋2

C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对

k＋1二．填空题：

13.已知2x3y6z12，求x2y2z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan3,则an=____________

15.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|b的解集为空集,则b的取值范围为16.设A



1



2



1，则A与1的大小关系是_____________

三．解答题：

17．（12分）（1）证明：a2b22(2ab)5(2)证明：538

18.（12分）用数学归纳法证明：1

1213

n



n22,nN,n2

19.（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式:a1

1a1

1,(a1a2)（1a1

1a2)4,(a1a2a3)（1a1



1a2



1a3)9,…

(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,...,an的不等式.(2)用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.21（22分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求异面直线PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直线AB与平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角MACB的余弦值；（5）求三棱锥PMAC的体积。

第二篇：不等式选讲测试题

不等式选讲测试题

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

1．若a,b是任意的实数,且a>b,则()

(A)ab(B)

2．不等式2211b1(C)lg(a-b)>0(D)()a()b 22a23的解集是()x

2222(A)(,)(B)(,)(0,)(C)(,0)(0,)(D)(,0)3333

3．在直径为4的圆内接矩形中,最大的面积是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,则x2y2的最小值为（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|5的解集为()(A)．

(A).,22,(B).,12,

(C).,23,(D).,32,

6．若n>0,则n+32的最小值为()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最值范围为()

A.6,B.9,C.,9D.8．已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则111的最小值为()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．

9．函数y=5x125x的最大值为；

10．若不等式mxmx10对一切xR都成立，则m的取值范围是11．如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|b的解集为空集,则参数b的取值范围2

为.12．建造一个容积为18 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么池的最低造价为：__________.13．设a, bR，若ab5，求a2b的最大值为：_______。

14．（1）ba≥2成立当且仅当a,b均为正数。ab223

（2）y2x23,(x0)的最小值是34。x

2273（3）yx(a2x)2,(0xa)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立当且仅当a≠0。a

以上命题是真命题的是：

15.(15分)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切nN均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。

（1）计算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通项公式an；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式x3x243x2

答案:

DBDBDCBC 9.22910.4m011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a2(a2)nn15.解：（1）由可求得a1Sn得Sn282,a26,a310，┈5分

由此猜想{an}的通项公式an4n2(nN)。┈┈┈7分

（2）证明：①当n1时，a12，等式成立；┈┈┈9分②假设当nk时，等式成立，即ak4k2，┈┈┈11分

(ak12)2(ak2)2

ak1Sk1Sk88

(ak1ak)(ak1ak4)0,又ak1ak0

ak1ak40，ak1＝ak＋44k－2＋44(k1)2

当nk1时，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an4n2(nN)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：

43x0x23x202Ⅰ：x3x204分Ⅱ：4分 43x0x23x2(43x)2

4x3464解Ⅰ：1x2x 3分解Ⅱ：x23分 3536x3

52

6∴原不等式的解集为{x|x2} 2分 5

第三篇：高二数学选修4-5《不等式选讲》模块结业测试题1

高二数学选修4-5《不等式选讲》测试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1、已知集合A{x|x0},B{x|1x2}，则AB（）

A、{x|x1}B、{x|x2}C、{x|0x2}D、{x|1x2}

2、欲证23A、27

267，只需证（）

B、26

2

36



2

37



C、23

2D、2367

xy3、设x0，y0，A

1xy，B

x1x



y1y，则A、B的大小关系是（A、ABB、ABC、ABD、不能确定

4、若n0，则n

32n

2的最小值为（）

A、2B、4C、6D、85、如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立，又命题p(n)对n2成立，则下列结论正确的是（）

A、命题p(n)对所有正整数n成立B、命题p(n)对所有大于2的正整数n成立C、命题p(n)对所有奇正整数n成立D、命题p(n)对所有偶正整数n成立

6、已知0a,b1，用反证法证明a(1b),b(1a)不能都大于时，反设正确的是（）

41A、a(1b),b(1a)都大于

4，B、a(1b),b(1a)都小于

414

C、a(1b),b(1a)都大于或等于D、a(1b),b(1a)都小于或等于

7、已知a,b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C、充分且必要条件D、既不充分也不必要条件

8、已知不等式xy则实数a的最大值为（）a对任意正实数x,y恒成立，xyA、2B、4C、2D、16

9、已知a,bR，且ab

0

11，则（）

A、abab

B、ab

ab

C、ab

ab

D、abab10、已知a0，b0满足ab2，则（）A、ab

2B、ab

2C、a2b22D、a2b2

4二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）

11、若不等式|ax2|6的解集是（-∞，-1][2,)，则a的值是___________.12、函数y2x2x1的最大值为：；

13、用数学归纳法证明nN*,11213

1n

n时，从“nk”到

“nk1”，左边需添加的代数式为：；

14、经计算发现下列不等式正确：22，4.5.52，3

2



22，„„，根据以上不等式的规律，请你写出一个类似的不

等式：；

15、有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s，4s，3s，7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为：；

16、若由不等式x

1x

2，x

4x

3，„„，可以推广到x

ax

n

n1aR





，则

实数a的值为：；

17、如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|b的解集为空集,则参数b的取值范围为.三、解答题（本大题5小题，共39分）

四、18、（8分）已知m,nR，求证：m3n3m2nmn219、（8分）解不等式： |x1||x2|5|x1|5x|x2|5x20、（8分）①、已知：a,bR，ab4，证明②、已知：a,b,cR，abc9，证明

21、（8分）已知数列an的前n项和为Sn,Sn（1）求a1,a2,a3；

（2）猜想数列an的通项公式并证明你的结论。

3(an1)(nN).

1a1c



1b

1；

1a



1b



1；

并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。

22、(本题满分12分）(1)证明:538

(2)已知a,b,cR，且abc1，求证：(1)(1)(1)8

a

b

c

附加题、（本

题满

分122(n11)

11

12n(nN)

2n）

分）用放缩法证: 明

高二数学选修4-5《不等式选讲》结业测试参考答案

二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）

11、；12、13、14、52(答案不唯一)；15、16、nn；

17、；

第Ⅱ卷（共5题，总分39分）

三、解答题（本大题5小题，共39分）

18、已知m,nR，求证：m3n3m2nmn

2方法一：作差比较：m3n3(m2nmn2)(mn)(mn)2 方法二：排序不等式：不妨设mn，m2n2

根据排序不等式：m3n3mm2nn2m2nmn219、解不等式： |x1||x2|5 解：方法一：零点分段讨论：{x|3x2}

方法二：数形结合法：{x|3x2}

20、①、已知：a,bR，ab4，证明②、已知：a,b,cR，abc9，证明

1a1a1b1b1； 1c1；

1k

1；

并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。

解：①、根据柯西不等式：

(ab)（1a1b)(a

1ab

1b)

4，ab4，

1a



1b



1②、根据柯西不等式：

(abc)（1a1b1c)(a

1ab

1bc

1c)

9，abc9，

1a



1b



1c



1可以推广：a1a2ann，则：

1a1



1a

2

1an

1；

21、已知数列an的前n项和为Sn,Sn

(an1)(nN).

（1）求a1,a2,a3；（2）猜想数列an的通项公式并证明你的结论。解:(1)由S1又S2

又S3

131313

(a11),得a1

(a11)∴a113

(a21),即a1a2(a21),得 a213

.18

(a31),即a1a2a3(a31),得 a31

.(2)猜想数列an的通项公式：an()n

证法一：数学归纳法：当n=k+1时,ak1Sk1Skak1

ak1

1313

(ak11)ak

(ak1)12

k

ak112)



ak



ak1

ak

(),ak1(

k1，命题成立。

证法二：当n>1时,anSnSn1得

anan1



12,所以an是首项为

(an1)

1312

(an11)，公比为的等比数列.所以，an()n

第四篇：数学选修4-5不等式选讲教案

选修4-5 不等式选讲

课 题：

不等式的基本性质

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0 abab0 abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nanb(nN，且n>1)。

课 题：

含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab（3）abab（4）

aba(b0)b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和

aba(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而b绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

cc例

4、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

课 题：

含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。例

5、已知xx，如果x0 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是，如{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a）图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab 2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR 强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么

ab）ab（当且仅当ab时取“=”证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab 22 注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] 2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc 指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么

abc3（当且仅当abc时取“=”）abc。证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式： ①．如果a1,a2,,anR,n1且nN 则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式： a1a2an≥na1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab③．ab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则CD2CACBab，ab从而CDab，而半径CDab。

2课 题：

不等式的证明方法之一：比较法

课 题：

不等式的证明方法之二：综合法与分析法 课 题： 不等式的证明方法之三：反证法

课 题：

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

DAaOCbB 4

第五篇：选修4-5 不等式选讲[真题感悟]范文

选修4-5 不等式选讲

[真题感悟]

1．(2013·山东卷)在区间[－3，3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．

解析 由绝对值的几何意义知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值为x∈[1，3]，由几何概型知所求概率为P＝

1答案 32．(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|

解析 因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3，5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|

答案(－∞，8]

3．(2013·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析 ∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋1369c2≥3a＋2b＋3c)2＝312.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案 12

4．(2013·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bm·bn)2＝mn(a＋b)2＝2.答案 2

[考题分析]

题型 填空题、解答题

难度 低档 绝对值不等式的求解问题、证明不等式.3－121＝＝.3＋363