不等式选讲高考题

第一篇：不等式选讲高考题

不等式选讲高考题

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

12.2009辽宁选作24）设函数f(x)|x1||xa|.f(x)3；（I）若a1,解不等式（II）如果xR,f(x)2,求a的取值范围。

第二篇：专题：不等式选讲

专题：不等式选讲

1、已知函数f(x)log2(|x1||x5|a).（Ⅰ）当a5时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。

2、设a,b,c为不全相等的正数，证明：2(abc)a(bc)b(ac)c(ab)

ababma3、对于任意实数a（a0）和b，不等式恒成立，记实数m的最大333222

值为M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、设函数f(x)2x1x2．

（Ⅰ）求不等式f(x)2的解集；

2（Ⅱ）若xR，f(x)tx1x2M。11

2t恒成立，求实数t的取值范围．

5、已知函数f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为x2x3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围．

6、已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)27、已知函数f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围

8、若关于x的不等式xax2a2010的解集为非空集合，求实数a的取值范围。

9、设关于x的不等式x1ax.(I)当a2，解上述不等式。（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。

10、设函数fxx1x2

fx3 对xR恒成立，求实数a的取值范围。(1)解不等式(2)若fxa11、已知函数f(x)|x2||x1|.g(x)ax3x3

x2（1）试求f(x)(a0)的值域；（2）设，若对s(0,),t(,)，恒有g(s)f(t)成立，试求实数a的取值范围。

第三篇：不等式选讲心得体会[范文]

《不等式选讲》心得体会

从开学到实习前，《不等式选讲》这门课我们已经上了一个月了。在这一个月里，我们学习了讲义里的第一、二章和第三章的第一、二讲。下面，我将对我在这一个月的学过的东西做一个总结，并谈谈自己的体会和感想。

第一章是绪论，介绍了一百年来Hilbert型不等式理论的研究概况及其思想方法的由来与演变。1908年，德国数学家D.Hilbert证明了著名的Hilbert不等式，其中常数因子π的最佳性证明是由Sohur于1911年完成的，他同时还给出了Hilbert不等式的积分类似形式，称为Hilbert积分不等式。这两个不等式是分析学的重要不等式，后面在这一领域的研究者，都是为了这两个不等式的改进，推广及应用，其成果在中外各类数学文献及不等式专著都可见到。1925年，Hardy与Riesz等引入一对共轭指数(p,q)(1/p+1/q=1)，将Hilbert不等式推广为Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齐次核的Hilbert型不等式理论。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并没有得到拓展。一直到了1979年，我国学者胡克改进了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度数学家B.G.Pachpatte得出 Hilbert积分不等式的一个类似形式，由此而来，引出了一系列的改进及推广应用。1998年，杨必成教授引入参数λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert积分不等式的推广式。1999年，高明哲应用分析及代数向量的方法，得出Hilbert积分不等式的一个改进式。2002年，英国数学家Zhang Kewei应用算子理论，得到一个Hilbert积分不等式的改进式。1991年，我国数学家徐利治等提出了旨在改进 Hilbert不等式的权系数方法。这些近代研究成果及研究思想，极大地推动了对Hilbert型不等式的系统研究。

从1908年数学家D.Hilbert证明Hilbert不等式到今天，这一百年来，我们可以看到，那么多的科学研究者在为改进及推广，应用Hilbert不等式和Hilbert积分不等式做努力。牛顿曾说过，他是站在巨人的肩膀上，科学的道路都是曲折难行的，要建起一座高大坚固的知识体系墙，科学研究者们只能尽自己最大的努力，往上面彻砖，看着它慢慢从地面一层层的增高。我们必须向那些不畏艰难，勇攀高峰的科学家们致以最崇高的敬意！同时，我们也必须努力向那些勇敢直前，努力探索未知领域的伟人们学习！

第二章内容分为十讲，介绍了Euler-Maclaurin公式的两类精确化改进公式及级数的估值理论，为估算权系数准备良好的方法。其中第一讲介绍了一类正项级数的估值方法，提出并证明了三个定理，并举了一个例子。第二讲介绍了Bernoulli数和Bernoulli 多项式。第三讲介绍了 Bernoulli函数，介绍了一阶Bernoulli函数P1(t)的积分性质。第四讲介绍了级数求和的Euler-Maclaurin公式。第五讲介绍了涉及级数余项的第一估值式及其改进式。第六讲举了一个例子，并提出了一个推论。第七讲介绍了涉及级数余项的第二估值式，将推论2的结果改进为定理6，并对定理6进行了证明。第八讲介绍了关于δq(m,n)的估值及一些实用不等式。在第五讲的定理5和第七讲的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九讲介绍了一类收敛级数及发散级数的估值式，考察式(4.3)当n→∞的情形，结合推论3和推论4，得出定理7。其中有一种方法，先取较少的n，代入具体的m估算βm，最后，对较大(或一般)的n，估算其有限和。用这种方法还可以求得一些重要和数的估值公式。第十讲则是举了三个应用实例。这一章内容通过深入浅出的分析，展开对一类无穷级数估值方法的讨论，为拓展离散型不等式的研究铺平了道路，其中有许多证明方法是很值得我们学习的！

而第三章内容则深入浅出地介绍了Hilbert积分不等式发表100年来的发展变化权函数方法的具体应用及如何利用实分析的方法证明常数因子的最佳性。其中第一讲介绍了Hilbert积分不等式及其等价式，给出了具体的证明过程。不等式等价性及常数因子的最佳性的证明用了精致的分析技巧，值得我们好好学习借鉴。第二讲介绍了Hardy-Hilbert积分不等式及其等价式，也对其进行了具体的证明。

总的来说，第一章就是介绍了Hilbert不等式的发展史，第二章可以说更多内容是为后面的学习做铺垫，从第三章开始，我们才算正式开始学习Hilbert不等式及其改进式，推广式。期待在实习回来后的一个月，能继续学习到更多的关于Hilbert不等式的知识！

第四篇：几何证明选讲高考题(新课标)

i

几何证明选讲高考题汇编

潢川一中高二数学组

1．(2009新课标全国卷)如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且AEAF。（I）证明：B,D,H,E四点共圆；（II）证明：CE平分DEF。

2.(2010新课标全国卷)如图，已知圆上的 弧AC和 弧BD长度相等，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（I）∠ACE＝∠BCD；（II）BC

2＝BE×CD.－ 1 －

3.(2011新课标全国卷)如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2

14xmn0的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆（II）若A900，且m4,n6求C，B，D，E所在圆的半径．

4.(2012新课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB.证明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD

G

F

－ 2 －

5.(2013新课标全国Ⅰ卷)已知如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。（Ⅰ）证明：DBDC；

（Ⅱ）设圆的半径为

1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。

6.(2013新课标全国Ⅱ卷)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

－ 3 －

7.（2013辽宁高考）如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于E, AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE,BE.证明：()FEBCEB;()EF2

ADBC.8.（2013江苏高考）如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.求证:AC=2AD.－ 4 －

几何证明选讲高考题汇编参考答案

1．解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120

于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30° 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30° 又AHEEBD60°，由已知可得EFAD，可得

CEF30°所以CE平分DEF

2.解:（Ⅰ）因为弧AB,CD长度相等，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD.……5分（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDC∽ECB,故

BCBECDBC

.即BC2

BEC.D3解:（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

ADACAE

AB

.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四点共圆。（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=

2(12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为52

－ 5 －

4．解

5.解:(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝

.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32

.6.解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知

BCFADC

EA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12

.－ 6 －

7解()由直线CD与圆O相切于E,得EABCEB 由AB为圆O的直径，得AEEB，从而EABEBF

又EF垂直AB于F，得FEBEBF

，从而FEBCEB

()由BC垂直CD于C，得BCCE

又EF垂直AB于FEFAB，FEBCEB，BE为公共边，所以RtBCE≌RtBFE，所以BCBF

同理可证，RtADE≌RtAFE，所以ADAF

又在Rt△AEB中, EFAB,所以EF2

AFBF.综上，EF2

ADBC.8证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°.又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以

BCODAC

AD,又BC=2OC=2OD, 故AC=2AD.几何证明选讲----知识点总结

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理

2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3、相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

－ 7 －

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比

例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：

4、相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

5、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

6、判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

7、判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

8、判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

9、引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

10、定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

11、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

12、相似三角形的性质：

－ 8 －

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

22、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

23、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

24、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

25、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

14、圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理

16、定理1：圆的内接四边形的对角互补。

17、定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

18、圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。

19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

20、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质

21、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段

－ 9 －

－ －

第五篇：不等式选讲测试题

不等式选讲测试题

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

1．若a,b是任意的实数,且a>b,则()

(A)ab(B)

2．不等式2211b1(C)lg(a-b)>0(D)()a()b 22a23的解集是()x

2222(A)(,)(B)(,)(0,)(C)(,0)(0,)(D)(,0)3333

3．在直径为4的圆内接矩形中,最大的面积是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,则x2y2的最小值为（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|5的解集为()(A)．

(A).,22,(B).,12,

(C).,23,(D).,32,

6．若n>0,则n+32的最小值为()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最值范围为()

A.6,B.9,C.,9D.8．已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则111的最小值为()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．

9．函数y=5x125x的最大值为；

10．若不等式mxmx10对一切xR都成立，则m的取值范围是11．如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|b的解集为空集,则参数b的取值范围2

为.12．建造一个容积为18 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么池的最低造价为：__________.13．设a, bR，若ab5，求a2b的最大值为：_______。

14．（1）ba≥2成立当且仅当a,b均为正数。ab223

（2）y2x23,(x0)的最小值是34。x

2273（3）yx(a2x)2,(0xa)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立当且仅当a≠0。a

以上命题是真命题的是：

15.(15分)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切nN均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。

（1）计算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通项公式an；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式x3x243x2

答案:

DBDBDCBC 9.22910.4m011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a2(a2)nn15.解：（1）由可求得a1Sn得Sn282,a26,a310，┈5分

由此猜想{an}的通项公式an4n2(nN)。┈┈┈7分

（2）证明：①当n1时，a12，等式成立；┈┈┈9分②假设当nk时，等式成立，即ak4k2，┈┈┈11分

(ak12)2(ak2)2

ak1Sk1Sk88

(ak1ak)(ak1ak4)0,又ak1ak0

ak1ak40，ak1＝ak＋44k－2＋44(k1)2

当nk1时，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an4n2(nN)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：

43x0x23x202Ⅰ：x3x204分Ⅱ：4分 43x0x23x2(43x)2

4x3464解Ⅰ：1x2x 3分解Ⅱ：x23分 3536x3

52

6∴原不等式的解集为{x|x2} 2分 5