2018年北京市高考数学理 14专题十四 不等式选讲

第一篇：2018年北京市高考数学理 14专题十四 不等式选讲

第十四篇：不等式选讲

解答题

1.【2018全国一卷23】已知f(x)|x1||ax1|.（1）当a1时，求不等式f(x)1的解集；

（2）若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数f(x)5|xa||x2|．

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围．

3.【2018全国三卷23】设函数fx2x1x1．

（1）画出yfx的图像；

，fx≤axb，求ab的最小值．（2）当x∈0，4.【2018江苏卷21D】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2y2z2的最小值．

参考答案 解答题

2,x1, 1.解：（1）当a1时，f(x)|x1||x1|，即f(x)2x,1x1，2,x1.故不等式f(x)1的解集为{x|x}．

（2）当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立． 若a0，则当x(0,1)时|ax1|1； 若a0，|ax1|1的解集为0x综上，a的取值范围为(0,2]．

1222，所以1，故0a2． aa2x4,x1,2.解：（1）当a1时，f(x)2,1x2，2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}．（2）f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4． 由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．

13x,x,213.解：（1）f(x)x2,x1,yf(x)的图像如图所示．

23x,x1.

（2）由（1）知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5．

4.证明：由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2．

因为x2y2z=6，所以x2y2z24，当且仅当xyz244时，不等式取等号，此时x，y，z，122333所以x2y2z2的最小值为4．

第二篇：不等式选讲高考题

不等式选讲高考题

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

12.2009辽宁选作24）设函数f(x)|x1||xa|.f(x)3；（I）若a1,解不等式（II）如果xR,f(x)2,求a的取值范围。

第三篇：专题：不等式选讲

专题：不等式选讲

1、已知函数f(x)log2(|x1||x5|a).（Ⅰ）当a5时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。

2、设a,b,c为不全相等的正数，证明：2(abc)a(bc)b(ac)c(ab)

ababma3、对于任意实数a（a0）和b，不等式恒成立，记实数m的最大333222

值为M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、设函数f(x)2x1x2．

（Ⅰ）求不等式f(x)2的解集；

2（Ⅱ）若xR，f(x)tx1x2M。11

2t恒成立，求实数t的取值范围．

5、已知函数f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为x2x3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围．

6、已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)27、已知函数f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围

8、若关于x的不等式xax2a2010的解集为非空集合，求实数a的取值范围。

9、设关于x的不等式x1ax.(I)当a2，解上述不等式。（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。

10、设函数fxx1x2

fx3 对xR恒成立，求实数a的取值范围。(1)解不等式(2)若fxa11、已知函数f(x)|x2||x1|.g(x)ax3x3

x2（1）试求f(x)(a0)的值域；（2）设，若对s(0,),t(,)，恒有g(s)f(t)成立，试求实数a的取值范围。

第四篇：不等式选讲心得体会[范文]

《不等式选讲》心得体会

从开学到实习前，《不等式选讲》这门课我们已经上了一个月了。在这一个月里，我们学习了讲义里的第一、二章和第三章的第一、二讲。下面，我将对我在这一个月的学过的东西做一个总结，并谈谈自己的体会和感想。

第一章是绪论，介绍了一百年来Hilbert型不等式理论的研究概况及其思想方法的由来与演变。1908年，德国数学家D.Hilbert证明了著名的Hilbert不等式，其中常数因子π的最佳性证明是由Sohur于1911年完成的，他同时还给出了Hilbert不等式的积分类似形式，称为Hilbert积分不等式。这两个不等式是分析学的重要不等式，后面在这一领域的研究者，都是为了这两个不等式的改进，推广及应用，其成果在中外各类数学文献及不等式专著都可见到。1925年，Hardy与Riesz等引入一对共轭指数(p,q)(1/p+1/q=1)，将Hilbert不等式推广为Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齐次核的Hilbert型不等式理论。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并没有得到拓展。一直到了1979年，我国学者胡克改进了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度数学家B.G.Pachpatte得出 Hilbert积分不等式的一个类似形式，由此而来，引出了一系列的改进及推广应用。1998年，杨必成教授引入参数λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert积分不等式的推广式。1999年，高明哲应用分析及代数向量的方法，得出Hilbert积分不等式的一个改进式。2002年，英国数学家Zhang Kewei应用算子理论，得到一个Hilbert积分不等式的改进式。1991年，我国数学家徐利治等提出了旨在改进 Hilbert不等式的权系数方法。这些近代研究成果及研究思想，极大地推动了对Hilbert型不等式的系统研究。

从1908年数学家D.Hilbert证明Hilbert不等式到今天，这一百年来，我们可以看到，那么多的科学研究者在为改进及推广，应用Hilbert不等式和Hilbert积分不等式做努力。牛顿曾说过，他是站在巨人的肩膀上，科学的道路都是曲折难行的，要建起一座高大坚固的知识体系墙，科学研究者们只能尽自己最大的努力，往上面彻砖，看着它慢慢从地面一层层的增高。我们必须向那些不畏艰难，勇攀高峰的科学家们致以最崇高的敬意！同时，我们也必须努力向那些勇敢直前，努力探索未知领域的伟人们学习！

第二章内容分为十讲，介绍了Euler-Maclaurin公式的两类精确化改进公式及级数的估值理论，为估算权系数准备良好的方法。其中第一讲介绍了一类正项级数的估值方法，提出并证明了三个定理，并举了一个例子。第二讲介绍了Bernoulli数和Bernoulli 多项式。第三讲介绍了 Bernoulli函数，介绍了一阶Bernoulli函数P1(t)的积分性质。第四讲介绍了级数求和的Euler-Maclaurin公式。第五讲介绍了涉及级数余项的第一估值式及其改进式。第六讲举了一个例子，并提出了一个推论。第七讲介绍了涉及级数余项的第二估值式，将推论2的结果改进为定理6，并对定理6进行了证明。第八讲介绍了关于δq(m,n)的估值及一些实用不等式。在第五讲的定理5和第七讲的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九讲介绍了一类收敛级数及发散级数的估值式，考察式(4.3)当n→∞的情形，结合推论3和推论4，得出定理7。其中有一种方法，先取较少的n，代入具体的m估算βm，最后，对较大(或一般)的n，估算其有限和。用这种方法还可以求得一些重要和数的估值公式。第十讲则是举了三个应用实例。这一章内容通过深入浅出的分析，展开对一类无穷级数估值方法的讨论，为拓展离散型不等式的研究铺平了道路，其中有许多证明方法是很值得我们学习的！

而第三章内容则深入浅出地介绍了Hilbert积分不等式发表100年来的发展变化权函数方法的具体应用及如何利用实分析的方法证明常数因子的最佳性。其中第一讲介绍了Hilbert积分不等式及其等价式，给出了具体的证明过程。不等式等价性及常数因子的最佳性的证明用了精致的分析技巧，值得我们好好学习借鉴。第二讲介绍了Hardy-Hilbert积分不等式及其等价式，也对其进行了具体的证明。

总的来说，第一章就是介绍了Hilbert不等式的发展史，第二章可以说更多内容是为后面的学习做铺垫，从第三章开始，我们才算正式开始学习Hilbert不等式及其改进式，推广式。期待在实习回来后的一个月，能继续学习到更多的关于Hilbert不等式的知识！

第五篇：07------12高考不等式选讲试题宁夏模式

07------12高考不等式选讲试题 已知函数f(x)xax2。

（1）当a=-3时，求不等式f(x)3的解集。

（2）若f(x)x4的解集包含1,2，求a的取值范围。宁夏

11、设函数f(x)xa3x，其中a0。

（1）、当a1时，求不等式f(x)3x2的解集。

（2）若不等式f(x)0的解集是xx1，求a的值。

宁夏10（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项设函数f(x)2x4

1（Ⅰ）画出函数yf(x)的图像

（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。宁夏09

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)|x1||xa|。

（1）若a1,解不等式f(x)3；

（2）如果xR,f(x)2,求a 的取值范围。宁夏0824、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)|x8||x4|。

（1）作出函数yf(x)的图像；

（2）解不等式|x8||x4|2。

宁夏07 设函数f(x)2xx4．

（I）解不等式f(x)2；

（II）求函数yf(x)的最小值．

不等式的证明

1、若a，bR，求证：ab1abab2、（2010江苏卷）设a、b

是非负实数，求证：a3b3a2b2)。

（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

111已知a,b,c均为正数，证明：a2b2c2()26，并确定a,b,c为何值时，等号成abc2

2立。

4、（2010福建理数）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|xa|。

（Ⅰ）若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.（1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

不等式的证明

1、若a，bR，求证：ab1abab

作差并整理得：

a2(b1)ab2b1为求其根，先求其判别式：

(b1)24(b2b1)3(b1)20故对任意的实数a，恒有a2(b1)ab2b10

即a2b21abab，实际上适当的配系数，差式可如下配方：

2、（2010江苏卷）设a、b

是非负实数，求证：a3b3a2b2)。

证明：由a、b是非负实数，作差得

a3b3a2b2)a

b55] 22当a

b

5

5，得55]0；

当a

b

5

5，得55]0；

所以a3b3a2b2)。

（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

111已知a,b,c均为正数，证明：a2b2c2()26，并确定a,b,c为何值时，等号成abc

立。

证明：

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

abc3(abc)

11113(abc)

3abc22223① 2111所以9(abc)3②……6分 abc

2211123故abc()3(abc)9(abc)3.abc222

2又3(abc)9(abc)2

32

3③

所以原不等式成立.……8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当3(abc)9(abc)时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=3时，原式等号成立。……10分

4、（2010福建理数）

【解析】（Ⅰ）由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3，142323

a31又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以，解得a2。a35

（Ⅱ）当a2时，f(x)|x2|，设g(x)=f(x)f(x5)，于是

2x1,x<3g(x)=|x-2||x3|=5,3x2，所以

2x1,x>2

当x<-3时，g(x)>5；当-3x2时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

24.解：

（Ⅰ）y4|x10|6|x20|,0x30.（Ⅱ）依题意，x满足

{4|x10|6|x20|70,0x30.解不等式组，其解集为【9，23】

所以x[9,23]