微专题3 不等式与线性规划
命
题
者
说
考
题
统
计
考
情
点
击
2018·全国卷Ⅰ·T13·线性规划求最值
2018·全国卷Ⅱ·T14·线性规划求最值
2018·北京高考·T8·线性规划区域问题
2018·浙江高考·T15·不等式的解法
2017·全国卷Ⅰ·T14·线性规划求最值
1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上。
2.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大。
考向一
不等式的性质与解法
【例1】(1)已知a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()
A．a＋>b＋
B．a＋>b＋
C.>
D.>ab
(2)已知函数f
(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f
(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f
(－2x)<0的解集是()
A.∪
B.C.∪
D.解析(1)因为a>b>0，所以<，根据不等式的性质可得a＋>b＋，故A正确；对于B，取a＝1，b＝，则a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B错误；根据不等式的性质可得<，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误。故选A。
(2)由f
(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f
(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的两根为－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f
(x)＝－x2＋2x＋3，所以f
(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故选A。
答案(1)A(2)A
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集。
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解。
变|式|训|练
1．(2018·北京高考)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________。(答案不唯一)
解析 由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1。(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)
答案 1，－1(答案不唯一)
2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f
(x)＝当λ＝2时，不等式f
(x)<0的解集是________。若函数f
(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________。
解析 若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1 (x)<0的解集为(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因为函数f (x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4。 答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞) 考向二 基本不等式及其应用 【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________。 (2)已知a>b，且ab＝1，则的最小值是______。 解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。 (2)＝＝a－b＋≥2，当且仅当a－b＝时取得等号。 答案(1)(2)2 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立)的条件，否则会出现错误。 变|式|训|练 1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为() A．4 B．16 C．9 D．3 解析 因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16。故选B。 答案 B 2．已知函数f (x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f (2a)＋f (b－1)＝0，则＋的最小值是________。 解析 因为f (x)＝ln(x＋)，f (－x)＝ln(－x＋)，所以f (x)＋f (－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函数f (x)＝ln(x＋)为R上的奇函数，又y＝x＋在其定义域上是增函数，故f (x)＝ln(x＋)在其定义域上是增函数，因为f (2a)＋f (b－1)＝0，f (2a)＝－f (b－1)，f (2a)＝f (1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(当且仅当＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时，等号成立。) 答案 2＋3 考向三 线性规划及其应用 微考向1：求线性目标函数的最值 【例3】(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________。 解析 作可行域，则直线z＝x＋y过点A(5,4)时取最大值9。 答案 9 线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法 (1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)。 (2)根据的几何意义，确定的最值。 (3)得出z的最值。 变|式|训|练 (2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为() A．6 B．19 C．21 D．45 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故选C。 答案 C 微考向2：线性规划中的参数问题 【例4】(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________。 解析 设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。 答案 2 解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值。 变|式|训|练 已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝() A． B．1 C． D．4 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝2x－3y的最大值是2，由图象知z＝2x－3y经过平面区域的点A时目标函数取得最大值2。由解得A(4,2)，同时A(4,2)也在直线ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，则a＝。故选A。 答案 A 1．(考向一)(2018·福建联考)已知函数f (x)＝ 若f (2－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1,2) D．(－2,1) 解析 易知f (x)在R上是增函数，因为f (2－x2)>f (x)，所以2－x2>x，解得－2 答案 D 2．(考向一)(2018·南昌联考)若a>1,0 A．loga2 018>logb2 018 B．logba C．(c－b)ca>(c－b)ba D．(a－c)ac>(a－c)ab 解析 因为a>1,0 018>0，logb2 018<0，所以loga2 018>logb2 018，所以A正确；因为0>logab>logac，所以<，所以logba 答案 D 3．(考向二)(2018·河南联考)已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________。 解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)。由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b＝时，取等号，故＋的最小值为。 答案 4．(考向三)(2018·南昌联考)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为() A.B.C.D.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为。故选C。 答案 C 5．(考向三)(2018·广州测试)若x，y满足约束条件 则z＝x2＋2x＋y2的最小值为() A． B． C．－ D．－ 解析 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－。故选D。 答案 D
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