高考二轮复习数学理配套讲义19 秒解选择题、填空题的方法

微专题19　快速求解选择题、填空题的方法

选择题、填空题在高考中属于保分题目，只有“保住基本分，才能得高分”。在平时的训练中，针对选择题、填空题，要做到两个方面：

一是练准度：高考中遗憾的不是难题做不出来，而是简单题和中档题做错，会做的题目没做对。

二是练速度：提高选择题、填空题的答题速度，能为攻克后面的解答题赢得充足的时间

一、直接法

直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法。

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()

A．－12

B．－10

C．10

D．12

(2)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()

A．y＝±x

B．y＝±x

C．y＝±x

D．y＝±x

【解析】(1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，根据题中的条件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10。故选B。

解法二：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3S3＝S3－a3＋S3＋a4，所以S3＝a4－a3，所以3a1＋d＝d，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故选B。

(2)因为e＝＝，所以＝＝e2－1＝3－1＝2，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x。故选A。

【答案】(1)B(2)A

直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键。

【变式训练1】(1)已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝()

A．2

B．－2

C．±2

D．－

(2)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________。

解析(1)由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，所以所以a＝－2，故选B。

(2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)。因为圆关于直线2ax－by＋2＝0对称，则该直线经过圆心，即－2a－2b＋2＝0，a＋b＝1，则ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，即ab的取值范围是。

答案(1)B(2)

二、特例法

从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断。特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等。

【例2】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()

A．a1a8>a4a5

B．a1a8

C．a1＋a8>a4＋a5

D．a1a8＝a4a5

(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4。若点M，N满足＝3，＝2，则·＝()

A．20

B．15

C．9

D．6

【解析】(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立。

(2)(特例法)若四边形ABCD为矩形，建系如图。由＝3，＝2，知M(6,3)，N(4,4)，所以＝(6,3)，＝(2，－1)，·＝6×2＋3×(－1)＝9。

【答案】(1)B(2)C

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解。

【变式训练2】(1)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()

A．3∶1

B．2∶1

C．4∶1

D.∶1

(2)设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于________。

解析(1)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝VABC－A1B1C1，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1。故选B。

(2)取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝·＝－。

答案(1)B(2)－

三、数形结合法

数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来进行思考，促使抽象思维和形象思维巧妙结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，从而使问题得到简捷的解决方法。

【例3】(1)已知函数f

(x)＝若方程f

(x)－kx＋k＝0有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是()

A．

B.C．[－1，＋∞)

D.(2)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________。

【解析】(1)方程f

(x)－kx＋k＝0有两个不同的实数根，即函数y＝f

(x)和y＝k(x－1)的图象有两个不同的交点，而f

(x)＝＝

画出f

(x)图象如图，由于y＝k(x－1)过定点(1,0)，故要使两函数y＝f

(x)和y＝k(x－1)的图象有两个不同的交点，则由图象可知－≤k<0，故选B。

(2)集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的是平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m>0，所以m＝－1，又因为直线x＋y＋m＝0必过点(0，－m)，此时，－m≤－(－1)，即m≥－1，有A⊆B满足题意。

【答案】(1)B(2)[－1，＋∞)

平面几何图形、Venn图、函数的图象等，都是常用的图形。利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率

【变式训练3】(1)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()

A．60°　　　B．90°

C．120°

D．150°

(2)若函数f

(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________。

解析(1)如图，因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°。故选B。

(2)由f

(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b。在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0

(x)＝|2x－2|－b有两个零点。

答案(1)B(2)(0,2)

四、构造法

用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化。

【例4】(1)已知函数f

(x)(x∈R)满足f

(1)＝1，且f

(x)的导数f

′(x)<，则不等式f

(x2)<＋的解集为________。

(2)如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________。

【解析】(1)由题意构造函数F

(x)＝f

(x)－x，所以F

′(x)＝f

′(x)－，因为f

′(x)<，所以F

′(x)＝f

′(x)－<0，即函数F

(x)在R上单调递减。因为f

(x2)<＋，所以f

(x2)－

(1)－，所以F

(x2)

(1)，而函数F

(x)在R上单调递减，所以x2>1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)。

(2)如图，以DA，AB，BC为棱构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π。

【答案】(1)(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)π

构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题。本例(2)巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决。

【变式训练4】(1)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为()

A．a>b>c

B．a>c>b

C．b>c>a

D．c>a>b

(2)已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β。

能推出m∥n的条件是________(填序号)。

解析(1)令f

(x)＝lnx－x，则f

′(x)＝。当0

′(x)>0，即函数f

(x)在(0,1)上是增函数。又因为1>>>>0，所以a>b>c。故选A。

(2)构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD。因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′，则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行；对于①：α，β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，因为n⊂γ，n⊂β，所以n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，因为n∥β，n⊂γ，γ∩β＝m，所以m∥n，③成立。

答案(1)A(2)①或③

五、排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法。它是解选择题的一种常用方法，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入题干进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接得到符合题目要求的选项。

【例5】　函数f

(x)＝cosx·log2|x|的图象大致为()

【解析】　解法一：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f

＝coslog2＝－cos，f

＝cos·log2＝－cos，所以f

＝f，排除A、D；又f

＝－cos<0，故排除C。综上，选B。

解法二：可用奇偶性得f

(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、D。f

＝－cos<0，排除C。故选B。

【答案】　B

排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案。

【变式训练5】(1)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则()

A．|x|＝x|sgnx|

B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnx

D．|x|＝xsgnx

(2)已知函数f

(x)＝则函数y＝f

(1－x)的大致图象是()

解析(1)当x<0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C，故选D。

(2)当x＝0时，y＝f

(1)＝3，即y＝f

(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f

(3)＝－1，即y＝f

(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f

(1－x)＝log

(1－x)<0，排除C。故选D。

答案(1)D(2)D