微专题17 命题有章——数学文化与高考命题
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如，在数学中增加数学文化的内容”。因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读
考|题|统|计
卷别
题型
题号
考查角度
2018年全国卷Ⅰ
选择题
10题
几何概型
2018年全国卷Ⅱ
选择题
8题
古典概型
2018年全国卷Ⅲ
选择题
3题
三视图
2018年北京高考
选择题
4题
等比数列
预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目。
预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数。
预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制、割圆术、阿氏圆等。
预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题。
考向一
数列中的数学文化
【例1】(2018·安徽模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
【解析】 由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，三者之和为50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故选D。
【答案】 D
本题以《九章算术》为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力。
【美题尝试1】(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
解析 由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前7项和S7＝381，公比q＝2。设塔顶层的灯的盏数为a1，则有S7＝＝381，解得a1＝3。故选B。
答案 B
考向二
三角函数中的数学文化
【例2】 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sinA＝________。
【解析】 设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
＝
＝
≤·＝12，当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号。所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。
【答案】
本题具有一定的综合性，考查的知识点较多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系。求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出△ABC的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值。
【美题尝试2】(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________。
解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin60°＝。
答案
考向三
算法中的数学文化
【例3】(2018·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为()
A．20
B．25
C．30
D．35
【解析】 解法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环。所以输出的n＝25。
解法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，则解得根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。
【答案】 B
《算法统宗》是我国古代一部数学巨著，本题通过“僧人分馒头”体现了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增强了我们的民族自豪感。
【美题尝试3】 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()
A．20 B．61
C．183
D．548
解析 初始值n，x的值分别为4,3，程序运行过程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循环，输出v的值为183。故选C。
答案 C
考向四
立体几何中的数学文化
【例4】(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
A B
C D
【解析】 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A。
【答案】 A
本题通过三视图考查了古代建筑的木件结构。如果考生对木件结构没有一定的认识，缺乏常见的生活常识，想象不出木件结构的构成就很难答对本题，这也体现了高考对考生社会实践能力不断提高要求的趋势。
【美题尝试4】 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个等高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则体积相等。已知某不规则几何体与如下三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()
A．4－
B．8－
C．8－π
D．8－2π
解析 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等。根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C。
答案 C
考向五
概率中的数学文化
【例5】(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC。△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()
A．p1＝p2
B．p1＝p3
C．p2＝p3
D．p1＝p2＋p3
【解析】 解法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2，则区域Ⅰ的面积为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A。
解法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2。根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A。
【答案】 A
从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径。试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例。
【美题尝试5】 一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成。已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为()
A．
B．
C．
D．
解析 由于数字“8”是由7个深色区域组成，由P(A)＝，得整个矩形显示池的面积为14个深色区域的面积，而数字“0”是由6个深色区域组成，则P(B)＝＝。故选C。
答案 C
考向六
现代科技中的数学文化
【例6】(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是
20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是()
A．440
B．330
C．220
D．110
【解析】 分段考虑数列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…该数列的前1＋2＋…＋k＝项的和为S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，则有k≥14，此时k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比数列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，满足题意的最小的s＝5，此时k＝25－3＝29，对应最小的满足条件的N为＋5＝440。
【答案】 A
本题以大学生创业为背景设计一道具有时代意义的试题，将归纳推理和演绎推理有机地结合在了一起，考查了学生分析问题、解决问题的能力。
【美题尝试6】 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。则下列各数中与最接近的是()
(参考数据：lg3≈0.48)
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
解析 因为＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故选D。
答案 D
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