微专题12 直线与圆
命
题
者
说
考
题
统
计
考
情
点
击
2018·全国卷Ⅲ·T6·直线与圆位置关系的应用
2018·北京高考·T7·点到直线距离的最值
2017·全国卷Ⅲ·T10·直线与圆的位置关系
2016·全国卷Ⅱ·T4·圆的方程、点到直线的距离
1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。
2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
考向一
直线的方程
【例1】(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1 A． B． C． D． 解析(1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件。故选C。 (2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，从而△ABC的面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1 答案(1)C(2)B 直线方程应用的两个关注点 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况。 (2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。 变|式|训|练 1．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是() A．－8 B．－ C．8 D． 解析 易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由题意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故选D。 答案 D 2．(2018·河南名校联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为() A． B． C．1 D． 解析 此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x＋4y＝6与l2：3x＋4y＝1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|＝，因为l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故选C。 答案 C 考向二 圆的方程 【例2】(1)(2018·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为() A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(2018·贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________。 解析(1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。 (2)解法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则将O，A，B的坐标分别代入得解得所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8。 解法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。 答案(1)B(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。 (2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。 变|式|训|练 1．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________。 解析 由题意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4。 答案(x－1)2＋y2＝4 2．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________。 解析 解法一：由题意得：半径等于＝＝≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝，所求圆为(x－1)2＋y2＝2。 解法二：直线mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒过点M(2，－1)，如图，设C(1,0)，则M为切点时半径最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。 答案(x－1)2＋y2＝2 考向三 直线与圆的位置关系 微考向1：直线与圆的相交弦 【例3】(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________。 (2)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为() A．± B．± C．±3 D．±9 解析(1)直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1。 (2)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±。故选B。 答案(1)y＝2x＋1或y＝x＋1(2)B (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。 (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2。 ②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解。 ③求出交点坐标，用两点间距离公式求解。 变|式|训|练 (2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为() A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。 答案 B 微考向2：直线与圆位置关系的应用 【例4】(1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是() A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] (2)(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为() A．1 B．2 C．3 D．4 解析(1)因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2。故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的取值范围为[，3]。则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故选A。 (2)解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。 解法二：由题意可得 d＝＝ ＝ ＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。 答案(1)A(2)C 利用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常规的方法简单、便捷。 变|式|训|练 1．(2018·太原五中模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为() A．15 B．9 C．1 D．－ 解析 由题意得，圆心到直线x＋y＝2k的距离d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以当k＝－3时，ab取得最大值9。故选B。 答案 B 2．(2018·山西晋中二模)由直线y＝x＋1上的一点P向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______。 解析 设圆心M到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2。所以切线长l＝≥＝。则切线长的最小值为。 答案 1．(考向一)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 直线l1⊥l2的充要条件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故选A。 答案 A 2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________。 解析 因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)。又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝＝|a|。又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。 答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2 3．(考向三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为() A．2 B．4 C．8 D．9 解析 由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9。故选D。 答案 D 4．(考向三)(2018·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于______。 解析 令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。 答案 － 5．(考向三)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________。 解析 由题意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直线的距离为＝，因为直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝。 答案(x－1)2＋(y＋1)2＝
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