雷州三中高考复习专题二 直线与圆方法与总结

第一篇：雷州三中高考复习专题二 直线与圆方法与总结

雷州三中高考复习专题二直线与圆方法与总结

直线和圆

应试技巧总结

一．直线的倾斜角：

1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

2．倾斜角的范围0,。如

（1）直线xcosy20的倾斜角的范围是____ 5（答：[0][，)）； 66

2（2）过点P(3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围[,],那么m值的范围是3

3______

（答：m2或m4）

二．直线的斜率：

1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（y1y2x1x2； k2．斜率公式：经过两点P、的直线的斜率为(x,y)P(x,y)111222x1x23．直线的方向向量a(1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

4．应用：证明三点共线： kABkBC。如

(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件

（答：既不充分也不必要）；

y（2）实数x,y满足3x2y50(1x3)，则的最大值、最小值分别为______ x

2（答：,1）

3三．直线的方程：

1．点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0),它不包括垂直于x轴的直线。

2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。

yy1xx13．两点式：已知直线经过P、两点，则直线方程为，(x,y)P(x,y)111222y2y1x2x

1它不包括垂直于坐标轴的直线。

4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为xy1，它不包ab

括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5．一般式：任何直线均可写成AxByC0(A,B不同时为0)的形式。如

（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,)的直线的点斜式方程是___________

（答：y1x2)）；

（2）直线(m2)x(2m1)y(3m4)0，不管m怎样变化恒过点______

（答：(1,2)）；

（3）若曲线ya|x|与yxa(a0)有两个公共点，则a的取值范围是_______

（答：a1）

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

四．设直线方程的一些常用技巧：

1．知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；

2．知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线)；

3．知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为yk(xx0)y0，当斜率k不存在时，则其方程为xx0；

4．与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10；

5．与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点P(x0,y0)到直线AxByC

0的距离d；（2）两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC2

0间的距离为d 六．直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20的位置关系：

1．平行A1B2A2B10（斜率）且B1C2B2C10（在y轴上截距）；

2．相交A1B2A2B10；

3．重合A1B2A2B10且B1C2B2C10。

ABCABABC提醒：（1）111、11、111仅是两直线平行、相交、重合A2B2C2A2B2A2B2C

2的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。

如（1）设直线l1:xmy60和l2:(m2)x3y2m0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合1（答：－1；；m3且m1；3）； 2

（2）已知直线l的方程为3x4y120，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______

（答：3x4y90）；

（3）两条直线axy40与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是____

（答：1a2）；

（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinAxayc0

与bxsinBysinC0的位置关系是____

（答：垂直）；

l（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)0上一点，P2(x2,y2)是直线外一点，则方程

f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____

（答：平行）；

（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3xy60和3xy30所截得的线段长为9，则直线l的方程是________

（答：4x3y40和x1）

七．到角和夹角公式：

1．l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角，0,且tan=k2k1(k1k21)； 1k1k

2kk1（2）l1与l2的夹角是指不大于直角的角,(0,]且tan=︱2︱(k1k21)。21k1k2

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如

已知点M是直线2xy40与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______

（答：3xy60）

八．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如

（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线xy0对称，则点Q的坐标为_______

（答：(b,a)）

（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为yx，若l1的方程为axbyc0(ab0)，那么l2的方程是___________

（答：bxayc0）；

（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________

（答：y=3x＋3）；

（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________

（答：18x＋y510）；

（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程

（答：2x9y650）；

（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______

（答：（5,6））；

（7）已知Ax轴，Bl:yx，C（2，1），ABC周长的最小值为______。

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

九．简单的线性规划：

1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特

殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若Ax1By1C与Ax2By2C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如

已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:ykx2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________

（答：－，－31，＋）

2．线性规划问题中的有关概念：

①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；

③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；

3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如

|1（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件||xy|1下，取最小值的最优解是____ 

（答：（－1，1））；

（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________ 2（答：t）；

3（3）不等式|x1||y1|2表示的平面区域的面积是_________

（答：8）；

xy20（4）如果实数x,y满足xy40，则z|x2y4|的最大值_________

2xy50

（答：21）

4．在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

十．圆的方程：

1．圆的标准方程：xaybr2。

2．圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2＋E2－4F0)，特别提醒：只有当

DED2＋E2－4F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为(,)，半径

为2

2Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？（AC0,且B0且D2E24AF0））；

xarcos3．圆的参数方程：ybrsin（为参数），其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的22

参数方程的主要应用是三角换元：x2y2r2xrcos,yrsin；x2y2

t xrcos,yrsin(0r。

4．Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20如

（1）圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为____________

（答：x2(y1)21）；

（2）圆心在直线2xy3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________

（答：(x3)2(y3)29或(x1)2(y1)21）；

rcos（3）

已知P(是圆xyrsin（为参数，02)上的点，则圆的普通方

程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________

2

（答：x2y2＝4；；x40）； 3

22（4）如果直线l将圆：x+y-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值

范围是__

（答：[0，2]）；

２（5）方程x2+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____ 1（答：k）； 2

x3cos（6）若M{(x,y)|y3sin（为参数，0)}，N(x,y)|yxb，若

MN，则b的取值范围是_________

十一．点与圆的位置关系：已知点Mx0,y0及圆C：x-ayb

（1）点M在圆C外CMrx0ay0br2；

（2）点M在圆C内CMrx0ay0br2； 222222（答：－）r2r0，

（3）点M在圆C上CMrx0ay0br2。如

点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：|a|

十二。直线与圆的位置关系：

直线l:AxByC0和圆C：xaybr2r0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如

（1）圆2x22y21与直线xsiny10(R,k，kz)的位置关系为

2____

（答：相离）；

（2）若直线axby30与圆x2y24x10切于点P(1,2)，则ab的值____

（答：2）；

（3）直线x2y0被曲线x2y26x2y150所截得的弦长等于

（答：；

（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是

（答：4）；

22221）1

3（5）已知M(a,b)(ab0)是圆O:x2y2r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:axbyr2，则

A．m//l，且l与圆相交B．lm，且l与圆相交

C．m//l，且l与圆相离D．lm，且l与圆相离

（答：C）；

（6）已知圆C：x2(y1)25，直线L：mxy1m0。①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B

两点，若AB，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：②60或120③最长：y1，最短：x1）

十三．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分

别为O1，O2，半径分别为r1,r2，则

（1）当|O1O2r1r2时，两圆外离；

（2）当|O1O2r1r2时，两圆外切；

（3）当r1r2<|O1O2r1r2时，两圆相交；

（4）当|O1O2r1r2|时，两圆内切；

（5）当0|O1O2r1r2|时，两圆内含。如 x2y

2双曲线221的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则ab

分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为

（答：内切）

十四．圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆x2y2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0yy0R2，过圆(xa)2(yb)2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(xa)(x0a)(ya)(y0a)R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x2y2DxEyF0（(xa)2(yb)2R2）外一点P(x0,y0)所引圆的；如

设A为圆(x1)2y21上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________

（答：(x1)2y22）；

1（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半a及圆的半径r所构

21成的直角三角形来解：r2d2(a)2；②过两圆C1:f(x,y)0、C2:g(x,y)0交点的圆(公

2共弦)系为f(x,y)g(x,y)0，当1时，方程f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.。

十五．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!

第二篇：高考二轮复习数学理配套讲义12 直线与圆

微专题12　直线与圆

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅲ·T6·直线与圆位置关系的应用

2018·北京高考·T7·点到直线距离的最值

2017·全国卷Ⅲ·T10·直线与圆的位置关系

2016·全国卷Ⅱ·T4·圆的方程、点到直线的距离

1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。

2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。

考向一

直线的方程

【例1】(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()

A．1或3

B．1或5

C．3或5

D．1或2

(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1

A．

B．

C．

D．

解析(1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件。故选C。

(2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，从而△ABC的面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1

答案(1)C(2)B

直线方程应用的两个关注点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况。

(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。

变|式|训|练

1．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是()

A．－8

B．－

C．8

D．

解析　易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由题意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故选D。

答案　D

2．(2018·河南名校联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为()

A．

B．

C．1

D．

解析　此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x＋4y＝6与l2：3x＋4y＝1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|＝，因为l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故选C。

答案　C

考向二

圆的方程

【例2】(1)(2018·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________。

解析(1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。

(2)解法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则将O，A，B的坐标分别代入得解得所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8。

解法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。

答案(1)B(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

求圆的方程的两种方法

(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。

(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。

变|式|训|练

1．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________。

解析　由题意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4。

答案(x－1)2＋y2＝4

2．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________。

解析　解法一：由题意得：半径等于＝＝≤

≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝，所求圆为(x－1)2＋y2＝2。

解法二：直线mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒过点M(2，－1)，如图，设C(1,0)，则M为切点时半径最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。

答案(x－1)2＋y2＝2

考向三

直线与圆的位置关系

微考向1：直线与圆的相交弦

【例3】(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________。

(2)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为()

A．±

B．±

C．±3

D．±9

解析(1)直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1。

(2)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±。故选B。

答案(1)y＝2x＋1或y＝x＋1(2)B

(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路

研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。

(2)弦长的求解方法

①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2。

②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解。

③求出交点坐标，用两点间距离公式求解。

变|式|训|练

(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为()

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。

答案　B

微考向2：直线与圆位置关系的应用

【例4】(1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()

A．[2,6]

B．[4,8]

C．[，3]

D．[2，3]

(2)(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为()

A．1

B．2

C．3

D．4

解析(1)因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2。故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的取值范围为[，3]。则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故选A。

(2)解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。

解法二：由题意可得

d＝＝

＝

＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。

答案(1)A(2)C

利用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常规的方法简单、便捷。

变|式|训|练

1．(2018·太原五中模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为()

A．15

B．9

C．1

D．－

解析　由题意得，圆心到直线x＋y＝2k的距离d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以当k＝－3时，ab取得最大值9。故选B。

答案　B

2．(2018·山西晋中二模)由直线y＝x＋1上的一点P向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______。

解析　设圆心M到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2。所以切线长l＝≥＝。则切线长的最小值为。

答案

1．(考向一)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　直线l1⊥l2的充要条件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故选A。

答案　A

2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________。

解析　因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)。又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝＝|a|。又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2

3．(考向三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为()

A．2

B．4

C．8

D．9

解析　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9。故选D。

答案　D

4．(考向三)(2018·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于______。

解析

令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。

答案　－

5．(考向三)某学校有2

500名学生，其中高一1

000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________。

解析　由题意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直线的距离为＝，因为直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝

第三篇：教辅：高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线

考点十五　直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线

一、选择题

1．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()

A．1

B．－2

C．1或－2

D．－

答案　A

解析　①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1，故选A.2．(2020·广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()

A．[－3，＋∞)

B．(－∞，－3]

C．(0，＋∞)

D．(－∞，＋∞)

答案　D

解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤2，化简，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D.3．(2020·山东菏泽高三联考)已知双曲线－＝1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为，则实数a的值为()

A．2

B．4

C．6

D．8

答案　B

解析　由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为＝，则＝，解得a＝4.故选B.4．(2020·山东泰安四模)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝()

A．1

B．

C．2

D．2

答案　B

解析　由题意，得在抛物线上，代入抛物线的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故选B.5．(2020·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()

A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

答案　A

解析　由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合，则m2－1＝n2＋1，则m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故选A.6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()

A．经过点O

B．经过点P

C．平行于直线OP

D．垂直于直线OP

答案　B

解析　如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，()

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±

x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

答案　ACD

解析　对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m>n>0，所以<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，此时曲线C表示双曲线，由mx2＋ny2＝0可得y＝±

x，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()

A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1

B．椭圆C的短轴长可能为2

C．椭圆C的离心率的取值范围为

D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋

答案　ACD

解析　因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，又＋>1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选ACD.二、填空题

9．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2＝2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

答案　2＋y2＝1

解析　抛物线y2＝2x的焦点为，准线方程为x＝－，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为，半径为1，故圆的标准方程为2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．

答案(3,0)

解析　在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.11．(2020·河南开封高三3月模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，点M在E上，且∠F1MF2＝，则△F1MF2的面积为________．

答案　3

解析　由题意，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面积S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中学4月模拟)如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是________．

答案(4,6)

解析　∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，圆x2＋(y－1)2＝4的圆心F(0,1)，半径R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，∴△AFB的周长为|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1

三、解答题

13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；

(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程．

解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)．

(2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A为线段ON的中点，∴A，又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0(x≠0)．

14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；

(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

解(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0)，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，因为椭圆C1的方程为＋＝1，所以当x＝c时，有＋＝1⇒y＝±，因此A，B的纵坐标分别为，－.又因为抛物线C2的方程为y2＝4cx，所以当x＝c时，有y2＝4c·c⇒y＝±2c，所以C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆C1：＋＝1，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线方程为x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.一、选择题

1．(2020·山东济南二模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|＝()

A．2

B．3

C．5

D．6

答案　C

解析　将x＝4代入抛物线方程得P(4,4)，根据抛物线定义得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故选C.2．(2020·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为()

A.r＋R

B．r＋R

C.r＋R

D．r＋R

答案　A

解析　椭圆的离心率e＝∈(0,1)(c为半焦距，a为长半轴长)，设该卫星远地点离地面的距离为n，如图：

则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故选A.3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()

A．4

B．5

C．6

D．7

答案　A

解析　设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.4．(2020·山东潍坊高密二模)已知双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为()

A.B．

C．

D．2

答案　A

解析　双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A.5．(2020·山西太原五中3月模拟)若过椭圆＋＝1内一点P(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()

A．8x＋9y－25＝0

B．3x－4y－5＝0

C．4x＋3y－15＝0

D．4x－3y－9＝0

答案　A

解析　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P为AB的中点，因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，则所求直线的斜率k＝－，因为该直线过点P(2,1)，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故选A.6．(2020·山东淄博二模)当α∈时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是()

A．两条直线

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

答案　B

解析　当α∈时，0

A．C的离心率为2

B．C的渐近线方程为y＝±x

C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值

D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为

答案　AC

解析　对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A正确，B错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D错误．故选AC.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则()

A．抛物线的准线方程为x＝－1

B.＋＋＝0，则||，||，||成等差数列

C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1

D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2

答案　ABD

解析　把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化简得y1y2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．故选ABD.二、填空题

9．(2020·深圳调研二)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为________．

答案　＋＝1

解析　根据对称性知P在x轴上，因为|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.10．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________.答案　　－

解析　由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.答案　1＋

解析　由题意可知D是抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，且D，又正方形DEFG的边长为b，所以F，因为F在抛物线上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因为0

解析　如图所示，设PnFn1，PnFn2与圆Gn分别切于点Bn，Cn.根据内切圆的性质可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又点Pn是双曲线En右支上一动点，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答题

13．(2020·山东济南二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A，B，|AB|＝2，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.(1)求椭圆C的方程；

(2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值．

解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：A(－4,0)，B(0，－2)，设M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三点共线，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2|

＝|·|

＝||＝16.所以|AQ|·|BP|为定值16.14．(2020·福建高三毕业班质量检测)已知定点F(0,1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；

(2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值．

解　解法一：(1)设坐标原点为O，因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因为PB是∠APF的平分线，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因为M为线段PF的中点，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因为P为x轴上方的动点，所以点P到点F的距离等于点P到直线y＝－1的距离，所以动点P的轨迹E是顶点在原点，焦点为F(0,1)的抛物线(原点除外)，设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1，所以p＝2，所以E的方程为x2＝4y(x≠0)．

(2)设点P，Q，所以点B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.解法二：(1)设点P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以点B，所以|AB|＝，因为PB是∠APF的平分线，所以点B到直线PF的距离d＝|AB|，因为直线PF的方程为y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以动点P的轨迹E的方程为x2＝4y(x≠0)．

(2)设点P，Q，所以点B，所以kPB＝＝，因为PQ⊥PB，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2

＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.

第四篇：证明直线与圆相切的常见方法（定稿）

证明直线与圆相切的常见方法

学习了直线与圆的位置关系,常会遇到证明一条直线是圆的切线的题目,如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下三种情况.一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“见半径，证垂直”.例1如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,且∠PAC=∠B.求证:PA是⊙O的切线.图 1分析：要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因为∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切线.二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”.例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OC，则OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切线．

三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.例3如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.求证：CD与⊙O相切．

图3

分析：要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过点O作：ON⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。易知OM是⊙O的半径，只要证明：OM=ON即可.证明：连结OM，作ON⊥CD于N，因为 ⊙O与BC相切，所以 OM⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以OM=ON.图 4

所以CD与⊙O相切.总结： 切线判断并不难，认真审题是重点；直线与圆有交点，连接半径是关键，推得垂直是切线；若没明确是切点，作过圆心垂线段，半径相等得切线.

第五篇：怎样证明直线与圆相切？

怎样证明直线与圆相切？

在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．

现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：

(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．

例1：已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．

求证：PA是⊙O的切线．

证明：连接EC．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．

(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．

例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q为AC的中点． 求证：PQ必为⊙O的切线．

证明 连接OP，CP．

∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．

说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．

(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF2的中点。

求证：以EF为直径的圆与BC相切．

证明：作OH⊥BC于H，设AD与EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，则OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半径，则EF为直径的圆与BC相切.思考题：

1．AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=CD，EF过点C，EF⊥BD于G．

求证：EF是⊙O的切线．

提示：连接CO，则OC是⊙O的半径，再证OC⊥EF．

2．DB是圆的直径，点A在DB的延长线上，AB=OB，∠CAD=30°．求证：AC是⊙O的切线．

提示：∵AC与⊙O没有公共点，∴作OE⊥AC于E，再证OE是⊙O的半径．