XX年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案

第一篇：XX年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案

XX年点与直线、直线与直线的位置关系

高考复习教案

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX年高考第一轮复习数学北师理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系

考纲要求

．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

知识梳理

．两直线的位置关系

平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．

两直线平行

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2⇔__________________________.两直线垂直

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1•k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2⇔____________.2．两直线的交点

设直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋c1＝0，A2x＋B2y＋c2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.3．有关距离

两点间的距离

平面上两点P1，P2间的距离|P1P2|＝____________.点到直线的距离

平面上一点P到一条直线l：Ax＋By＋c＝0的距离d＝____________.两平行线间的距离

已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：

①求一条直线上一点到另一条直线的距离；

②设l1：Ax＋By＋c1＝0，l2：Ax＋By＋c2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.4．对称问题

中点坐标公式

设A，B，则线段AB的中点坐标为____________．

中心对称

若点m及N关于P对称，则由中点坐标公式得______．

轴对称

若两点P1与P2关于直线l：Ax＋By＋c＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋c＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．

基础自测

．过点且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．

A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0

c．2x＋y－2＝0

D．x＋2y－1＝0

2．点P在直线x＋y－4＝0上，o为坐标原点，则|oP|的最小值为．

A．13

B．22

c．6

D．2

3．已知两条直线y＝ax－2和y＝x＋1互相垂直，则a＝．

A．2

B．1

c．0

D．－1

4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝．

A．－1

B．－12

c．2

D．12

5．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．

思维拓展

．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？

提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零和不为零两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．

2．运用距离公式时应注意什么？

提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．

一、两直线的平行

【例1】直线l1：2x＋y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为．

A．2

B．－3

c．2或－3

D．－2或－3

方法提炼1．判定两直线平行的方法：

判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．

直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：

设直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1c2－B2c1≠0.2．与直线Ax＋By＋c＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．

请做[针对训练]1

二、两直线的垂直

【例2】求经过点A，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

方法提炼1．判定两直线垂直的方法：

判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1•k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．

直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与Ax＋By＋c＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．

请做[针对训练]2

三、距离公式的应用

【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A，B两点距离相等，求直线l的方程．

【例3－2】已知直线l过点P，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．

请做[针对训练]3

四、对称问题

【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A．求：

点A关于直线l1的对称点A′的坐标；

直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；

直线l1关于点A对称的直线l3的方程．

【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．

2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．

请做[针对训练]4

考情分析

通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．

针对训练

．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点的直线l的方程为__________．

2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.3．若P在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．

4．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A和B的距离之差最大；

在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A和c的距离之和最小．

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

．k1＝k2，且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且B1c2－B2c1≠0 －1 A1A2＋B1B2＝0

2．相交平行 重合 3．2＋2

|Ax0＋By0＋c|A2＋B2 ②|c1－c2|A2＋B2

4．x1＋x22，y1＋y22

x＝2a－x1，y＝2b－y1

基础自测

．A 解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12，即x－2y－1＝0.2．B 解析：根据题意知，|oP|的最小值为原点o到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.3．D 解析：∵两直线垂直，∴a＝－1.∴a＝－1.4．B 解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，∴三条直线交于点．

∴－1－2b＝0，即b＝－12.5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32⇒|2－m|＝6⇒m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.考点探究突破

【例1】c 解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；

当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.解法二：若l1∥l2，需2×3－m＝0，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3或2时，－2－12≠0.∴m＝－3或2为所求．

【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k•＝－1.∴k＝12.又∵l经过点A，∴所求直线l的方程为y－1＝12，即x－2y＝0.解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A，∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.故交点P．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k，即kx－y＋k＋2＝0.由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，∴直线l方程为y－2＝－13即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．

综合知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A，B，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．

当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝k＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得

3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则，所以θ=45°.因为两平行线的斜率是，故所求直线的斜率不存在，或为0.又因为直线l过点P，所以直线l的方程为x=3，或y=1.【例4－1】解：设A′，由已知得y＋2x＋1•23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.故A′－3313，413.在直线m上取一点，如m，则m关于l1的对称点必在l2上．

设对称点为m′，则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得m′613，3013.设m与l1的交点为N，由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N．

又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0.解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如m，N．

则m，N关于点A的对称点m′，N′均在直线l3上．

易知m′，N′，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.解法二：∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0．

∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，∴l3的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P是l3上任一点，则P关于点A的对称点为P′．

∵P′在直线l1上，∴2－3＋1＝0.整理得2x－3y－9＝0.【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P，显然P也在l2上．

设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－1＋－34×＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.故l2的直线方程为y＋2＝－211，即2x＋11y＋16＝0.方法二：在直线l1上取一点A，又设点A关于直线l的对称点为B，则

y0－0x0－2＝43，3•2＋x02＋4•0＋y02－1＝0，解得B45，－85.故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.演练巩固提升

针对训练

．3x＋4y－11＝0 解析：解法一：设直线l的斜率为k.∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－34.又∵l经过点，可得所求直线方程为y－2＝－34，即3x＋4y－11＝0.解法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵l经过点，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.2．1 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋•m＝0，即m＝1.3．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝2＋2，可看成是点P与点之间的距离．

又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，∴2＋2即是点与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．

因此，点到直线x＋y＋1＝0的距离即是2＋2的最小值．

由于点到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.4．解：如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．

图甲

设B′的坐标为，则kBB′•kl＝－1，即b－4a•3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①

又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②

①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′．

于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，即l与AB′的交点坐标为P．

如图乙所示，设c关于l的对称点为c′，连接Ac′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|Qc|的值最小．

图乙

设c′的坐标为，∴y′－4x′－3•3＝－1，3•x′＋32－y′＋42－1＝0.解得x′＝35，y′＝245.∴c′35，245.由两点式得直线Ac′的方程为y－1245－1＝x－435－4，即19x＋17y－93＝0.解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.∴所求点Q的坐标为117，267.

第二篇：点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系教案

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．

(二)能力训练点

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．

(三)学科渗透点

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．

二、教材分析

1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用．

(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明．(解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．)

三、活动设计

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．

四、教学过程(一)知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．

1．点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r(2)d=r(3)d＜r 点M在圆外； 点M在圆上； 点M在圆内．

2．直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，判别式为△，则有：(1)d＜r(2)d=r(3)d＜r 直线与圆相交； 直线与圆相切；

直线与圆相离，即几何特征；

直线与圆相交； 或(1)△＞0(2)△=0(3)△＜0 直线与圆相切；

直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：

(1)d=k+r(2)d=k-r(3)d＞k+r(4)d＜k+r 两圆外切； 两圆内切； 两圆外离； 两圆内含；

两圆相交．

(5)k-r＜d＜k+r 4．其他

(1)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．

(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．

(3)圆系方程：

①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．

②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．

(二)应用举例

和切点坐标．

分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．

∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，把这两个切线方程写成

注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，例

2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．

分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．

证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=

∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．

例

3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

解法一：

相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．

∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25． 解法二：

设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0． 小结：

解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．

(三)巩固练习

1．已知圆的方程是x2+y2=1，求：

(1)斜率为1的切线方程；

2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是

(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______．(内切)由学生口答．

3．未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．

分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：

解法一：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：

设过交点的圆系方程为：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．

五、布置作业

2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切． 3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：

(1)切线长；

(2)AB中点P的轨迹方程． 作业答案：

2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3．x2+y2-x+7y-32=0

六、板书设计

第三篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解；抛物线C上的点方程y24x的解；L与21y(x1)C的公共点方程组的解。2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切？

3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C＝0与抛物线C：y＝2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0； L与C有两个不同的公共点22a0a0；L与C相切于一点  00L与C相离 a0

02、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个？

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数？

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值？

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（a0,1,

（五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224）后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，y1k(x2)由方程组2，（*）

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0.①（1）当k0时，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y4x，得x21.414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1).(2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1).21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，21.2直线l与抛物线只有一个公共点.22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，21。2直线l与抛物线有两个公共点.23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点.综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点.21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点.21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点.2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）

“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第四篇：直线与抛物线的位置关系 教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

例1：已知抛物线的方程为y4x动直线l过定点P(-2,1),斜率为k.。当k为何值时，直线l与抛物线y4x。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程ky4y4(2k1)0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的 222位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练

已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(0,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）过点（3,1）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条

（3）过点（0,2）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线 有____条

（4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

3、思维拓展

在抛物线y4x上是否存在一点，使它到直线l:yx3的距离最短，并求此距离.课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业： 222222

第五篇：直线与双曲线的位置关系教案

直线与双曲线的位置关系 xx中学 教者xxx

教学目标:

1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。

2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。

3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。

教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。教学难点: 学生解题综合能力的培养。教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程:

一、课题导入

回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。

二、讲授新课

通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：

相离:没有公共点。相切:有一个公共点。相交:有两个公共点。

通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。

练习：判断直线y1x与双曲线x2y23的位置关系。

2例：已知直线l:ykx1,双曲线x2y24。问k取何值时，直

线与双曲线相交、相切、相离？

分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将 直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。解：

ykx1由2得2xy4（1k2）x22kx50(1)：当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交，但是它们只有一个公共点。(2):当1k20，即k1时(2k)220(1k2)16k22016k220055a:，即k且k1时，直2221k0线与双曲线相交，有两个公共点。16k22005b:，即k时，直线与双曲线相221k0切，只有一个公共点。16k220055c:，即k或k时，直线与双2221k0曲线相离，无公共点。综合以上得：当k（55，1）（1，1）（1，）时，直线与双曲线相交，22

5有两个公共点；当k1时，直线与双曲线相交，有一个公共点；k 255（，）（，）时，时,直线与双曲线相切，有一个公共点；当k22 直线与双曲线相离，没有公共点。结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程

联立，消去x（或y）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。

三、课堂练习

练习:

1、（辨析题）直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的

充要条件。

y22、过点P（0，3）的直线l与双曲线x1有一个公共点，42求直线l的方程。

四、小结

1、直线与双曲线的位置关系

2、直线与双曲线的位置关系的判断方法

3、高考热点：运用方程研究直线与双曲线的位置关系，以及相

交时的弦长、中点弦。最值、范围等有关问题。

五、作业

221、斜率存在且过点P（1，0）的直线l与双曲线xy2

有公共点，求直线l的斜率的取值范围。

2、课本复习题A组第5、6题

六、板书设计

直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系

3、例题

2、直线与双曲线的位置关系的

4、练习 判断方法

5、小结