直线与抛物线的位置关系简单教学设计

第一篇：直线与抛物线的位置关系简单教学设计

直线与抛物线的位置关系

（一）直线与抛物线的位置关系

例：已知抛物线的方程为 y24x，动直线

l 过定点 P(2,1)，斜率为k

.当

k 为何值时，直线 l 与抛物线C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

（二）抛物线的弦长公式

例：斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线y22px 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.抛物线的焦点弦|AB| 的公式：

2练习：（2013届北京西城区一模文科）抛物线y2x的准线方程是______;该抛物线的焦点为F,点M(x0,y0)在此抛物线上,且MF

5,则x0______.2例：直线ykxb 与抛物线y22px交于A(x1,y1),B(x2,y2)，你能推出弦长|AB|的公式吗？

思考题：已知抛物线y26x

，过点(4,1)P平分，求这条弦所在的直线方程.引一条弦PP12

，使它恰好被点

第二篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解；抛物线C上的点方程y24x的解；L与21y(x1)C的公共点方程组的解。2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切？

3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C＝0与抛物线C：y＝2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0； L与C有两个不同的公共点22a0a0；L与C相切于一点  00L与C相离 a0

02、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个？

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数？

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值？

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（a0,1,

（五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224）后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，y1k(x2)由方程组2，（*）

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0.①（1）当k0时，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y4x，得x21.414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1).(2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1).21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，21.2直线l与抛物线只有一个公共点.22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，21。2直线l与抛物线有两个公共点.23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点.综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点.21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点.21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点.2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）

“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第三篇：直线与抛物线的位置关系 教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

例1：已知抛物线的方程为y4x动直线l过定点P(-2,1),斜率为k.。当k为何值时，直线l与抛物线y4x。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程ky4y4(2k1)0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的 222位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练

已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(0,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）过点（3,1）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条

（3）过点（0,2）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线 有____条

（4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

3、思维拓展

在抛物线y4x上是否存在一点，使它到直线l:yx3的距离最短，并求此距离.课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业： 222222

第四篇：直线与圆的位置关系教学设计

直线与圆的位置关系（1）教学设计

教学目标：(一)教学知识点：

1.了解直线与圆的三种位置关系。2.了解圆的切线的概念。

3.掌握直线与圆位置关系的性质。(二)过程目标：

1.通过多媒体让学生可以更直观地理解直线与圆的位置关系。

2.通过让学生发现与探究来使学生更加深刻地理解知识。(三)感情目标：

1.通过图形可以增强学生的感观能力。

2.让学生说出解题思路提高学生的语言表达能力。教学重点：直线与圆的位置关系的性质及判定。

教学难点：有无进入暗礁区这题要求学生将实际问题转化为直线与圆的位置关系的判定，有一定难度，是难点。教学过程：

一、创设情境，引入新课

请同学们看一看，想一想日出是怎么样的? 屏幕上出现动态地模拟日出的情形。(把太阳看做圆，把海平线看做直线。)师：你发现了什么?

第 1 页(希望学生说出直线与圆有三种不同的位置关系，如果学生没有说到这里，我可以直接问学生，你觉得直线与圆有几种不同的位置关系。)让学生在本子上画出直线与圆三种不同的位置图。(如图)师：你又发现了什么?(希望学生回答出有第一个图直线与圆没有公共点，第二个图有一个公共点，而第三个有两个公共点，如果没有学生没有发现到这里，我可以引导学生做答)

二、讨论知识，得出性质

请同学们想一想：如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系

设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 让学生讨论之后再与学生一起总结出： 当直线与圆的位置关系是相离时，dr 当直线与圆的位置关系是相切时，d=r 当直线与圆的位置关系是相交时，d 知识梳理：

直线与圆的位置关系 图形 公共点 d与r的大小关系 相离 没有 r 相切 一个 d=r 相交 两个 d

第 2 页

三、做做练习，巩固知识 抢答，我能行活动：

1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为(1)d=4.5cm(2)d=6.5cm(3)d=8cm，那么直线和圆有几个公共点?为什么?(让个别学生答题)师：第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?请大家思考后作答：

2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别 为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值?(1)相交;(2)相切;(3)相离。

师：前面两题中直接告诉了我们是直线的问题，而下面的这题是在三角形中解决直线与圆的位置关系，看题： 考考你

3.在Rt△ABC中，C=900，AC=3cm，BC=4cm.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是.师：同样地第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?(2)以C为圆心，半径r为何值时，⊙C与 直线AB相切? 相离?相交?

第 3 页(请同学们思考讨论后，再请个别同学说出答案)总结：作题时要找出d与r中哪些量在变化，而哪些没有变化的。

比如日出就是r没有变化而d发生了变化。不管哪些变了，哪些没有变，总之d，r和位置关系中，已经两个都可以求第三个量。

四、联系现实，解决实际

在码头A的北偏东60方向有一个海岛，离该岛中心P的15海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向东方向航行，行驶了18海里到达B，这时岛中心P在北偏东30方向。若货船不改变航向，问货船会不会进入暗礁区? 让学生完整解答。

五、归纳总结，形成体系 师：这节课你有何收获? 请个别学生回顾知识，教师再总结完整。

六、布置作业，课后巩固 分层作业：

1.基础题：作业本(2)P21;

2.自选题： 如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿AB方向航行，问BAO的度数是多少时船就会进入风暴影响圈?

第 4 页

第五篇：直线与圆的位置关系教学设计

直线与圆的位置关系教学设计

大虹桥乡阳城一中

杨跟上

一：教材：

人教版九年义务教育九年级数学上册 二：学情分析

初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法，因此本节课设计了探究活动，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。

三教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）

1、知识与技能

（1）了解直线与圆的位置关系

（2）了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念（3）了解判断直线与圆相切的方法

（4）能运用直线与圆的位置关系解决实际问题 2．过程与方法

（1）通过运用直线与圆的位置关系解决实际问题，体验数学与现实生活的密切联系。（2）

能综合运用以前的数学知识解决与本节有关的实际问题。

3． 情感态度与价值观

（1）通过和点与圆的位置关系的类比，学习直线与圆的位置关系，培养学生类比的思维方法。

（2）培养学生的相互合作精神 四：教学重点与难点：

1.重点：直线与圆的位置关系 2难点：理解相切的位置关系

五：教学方法：

启发探究

六、教学环境及资源准备

1、教学环境：学校多媒体教室。2.教学资源

（1）.教师多媒体课件，（2）学生准备硬币或其他类似圆的用具

七：教学策略选择与设计

1、自主学习策略：通过提出问题让学生思考，帮助学生学会探索直线与圆的位置关系关系。

2、合作探究策略：通过学生动手操作与相互交流，激发学生学习兴趣，让学生在轻松愉快的教学气氛下之下掌握直线与圆的位置关系。

3、理论联系实际策略；通过学生综合运用数学知识解决直线与圆的位置关系的实际问题，培养学生利用知识 解决实际问题的能力。

教学流程：

一.复习回顾，导入新课

由点和圆的位置关系设计了两个问题，让学生独立思考，然后回答问题，为下面做准备。

1.请回答点和圆有那几种位置关系？

2.如果设圆的半径是r，某点到圆心的距离为d,那么在不同的位置关系下，d和r有什么样的数量关系？

二：合作交流，探求新知

第一步，学生对直线与圆的公共点个数变化情况的探索。

通过学生动手操作和探索，然后相互交流，并画出图形，得出直线与圆的公共点个数的变化情况。

第二步，师生共同归纳出直线与圆相交、相切等有关概念。

第三步，直线与圆的位置关系的教学，我设计了三个问题：

1． 设圆O的半径为r, 圆心O到直线的距离为d,那么直线与圆在不同的位置关系下，d与r有什么样的数量关系？请你分别画出图形，认真观察和分析图形，类比点和圆的位置关系，看看d和r什么数量关系。

2．反过来，由d与r的数量关系，你能得到直线与圆的位置关系吗？

3．类比点和圆的位置关系，你能总结出直线和圆的位置关系吗？ 通过引导学生由图形联想到数量关系，又由数量关系联系到图形，分两步引导学生思考，使学生更好的理解图形与数量之间的互推关系，培养学生类比的思维方法，并且为以后学习充要条件做准备。三：应用新知

我设计了两个问题，使学生学会通过计算圆心到直线的距离，来判断直线与圆的位置关系。四：巩固提高：

我设计了一个问题，让学生通过运用直线与圆的位置关系解决实际问题，体验数学与现实生活的密切联系。并且通过学生的相互交流，培养他们的合作精神。五：小结升华

通过让学生小结，培养学生善于总结和善与反思的习惯，为以后的学习打下良好的基础。六：布置作业

在本节的教学中，我设计了两个练习、一个作业加以巩固，使学生能更好的掌握本节内容