微专题2 平面向量、复数
命
题
者
说
考
题
统
计
考
情
点
击
2018·全国卷Ⅰ·T1·复数的运算
2018·全国卷Ⅰ·T6·平面向量的线性运算
2018·全国卷Ⅱ·T1·复数的运算
2018·全国卷Ⅱ·T4·平面向量的数量积运算
2018·全国卷Ⅲ·T2·复数的运算
2018·全国卷Ⅲ·T13·平面向量的坐标运算
高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合；②复数的运算。包括复数的概念、几何意义及四则运算。以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。
考向一
平面向量
微考向1：平面向量的线性运算
【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝()
A.－
B.－
C.＋
D.＋
(2)(2018·重庆调研)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()
A.B.C.D．(2,3)
解析(1)解法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A。
解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故选A。
(2)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)。设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)。设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0 所以λ＋μ＝1－x，又0 答案(1)A(2)A 解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法 (1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答。 (2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决。 变|式|训|练 1．(2018·陕西检测)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于() A.B．2 C．3 D．4 解析 由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2。故选B。 答案 B 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，则λ＝________。 解析 由题可得2a＋b＝(4,2)。因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。 答案 微考向2：平面向量的数量积运算 【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4 B．3 C．2 D．0 (2)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________。 (3)如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点。若·＝1，则AB的长为______。 解析(1)因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3。故选B。 (2)因为＋＝2，所以O是BC的中点。所以△ABC为直角三角形。在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。由定义，得向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3。 (3)解法一：由题意可知＝＋，＝－＋。因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1。① 因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。因此①式可化为1＋||－2＝1，解得||＝0(舍去)或||＝。所以AB的长为。 解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DM⊥AB于点M。由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，D。因为E是CD的中点，所以E。所以＝，＝。由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。所以m＝0(舍去)或m＝。故AB的长为。 答案(1)B(2)3(3) 解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法 (1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解。 (2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决。 变|式|训|练 1．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝() A．13＋6 B．2 C.D.解析 依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，则|3a＋b|＝＝＝＝。故选D。 答案 D 2．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F 分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF 。若·＝1，则λ的值为________。 解析 解法一：如图，由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。 解法二：以A为原点建立直角坐标系如图，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，D(－1，)，E，设F (x0，)，则·＝·(x0，)＝1，则x0＋1＝1，则x0＝0，所以F 为DC中点，所以DC＝2DF，即λ＝2。 答案 2 微考向3：平面向量的最值问题 【例3】(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量。若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是() A．－1 B．＋1 C．2 D．2－ 解析 解法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆。因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1。故选A。 解法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0。设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF 为直径的圆上，如图。设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。故选A。 答案 A 平面向量的最值问题的两种解法 (1)坐标法：建立平面直角坐标系，计算有关向量的坐标，利用向量的坐标计算。 (2)几何法：根据向量的几何意义构造图形，通过分析图形得出结论。 变|式|训|练 已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为() A．3 B．4 C．3－1 D．3＋1 解析 解法一：因为A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，所以设A(cosθ，sinθ)，B(－cosθ，－sinθ)，C(cosα，sinα)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因为M(1,1)，所以＋＋＝(cosθ－1，sinθ－1)＋(－cosθ－1，－sinθ－1)＋(cosα－1，sinα－1)＝(cosα－3，sinα－3)，所以|＋＋| ＝ ＝ ＝，当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1。故选D。 解法二：连接AB，因为AC⊥BC，所以AB为圆O的直径，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。故选D。 答案 D 考向二 复数的运算 【例4】(1)(2018·全国卷Ⅱ)＝() A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i (2)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析(1)因为＝＝＝－＋i。故选D。 (2)＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为。故选D。 答案(1)D(2)D 复数问题的解题思路 (1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题。 (2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题。 变|式|训|练 1．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝() A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析 因为a＋＝a＋＝a－2＋i为纯虚数，所以a－2＝0，得a＝2。故选D。 答案 D 2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为() A．(3,3) B．(－1,3) C．(3，－1) D．(2,4) 解析 因为z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在复平面内对应的点的坐标为(－1,3)。故选B。 答案 B 3．复数z满足＝i(i为虚数单位)，则＝() A．1＋i B．1－i C.D.解析 因为＝i，所以z＝(z－i)i＝zi＋1，z＝＝，＝，故选D。 答案 D 1．(考向一)(2018·河北、河南、山西联考)如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若＝x＋y，则x＋y＝() A.B.C.D.解析 设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。故选B。 答案 B 2．(考向一)(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若点E为边CD上的动点，则·的最小值为() A． B． C． D．3 解析 解法一：如图，以D为原点DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，所以·＝(－1，t)·＝t2－t＋，因为t∈[0，]，所以当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝。故选A。 解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，因为＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。当λ＝－＝时，·取得最小值。故选A。 答案 A 3．(考向二)(2018·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝() A．2 B．1 C．0 D．－1 解析 因为1－i＝，所以2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，所以a＝0。故选C。 答案 C 4．(考向二)已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)＝5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限。故选A。 答案 A
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