微专题1 集合与常用逻辑用语
命
题
者
说
考
题
统
计
考
情
点
击
2018·全国卷Ⅰ·T2·集合的补集运算
2018·全国卷Ⅱ·T2·集合的元素个数
2018·全国卷Ⅲ·T1·集合的交集运算
2017·全国卷Ⅰ·T1·集合的交、并集运算
高考对本部分内容的考查主要是集合间的基本关系和运算，含有量词的命题的真假判断以及含有一个量词的命题的否定，多数与函数、不等式、复数等知识相结合，难度一般，属于送分题，故复习时不必做过多的探究，只要掌握以下知识点，就能保证不失分，得满分。
考向一
集合及运算
【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()
A．{x|－1 B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} (2)(2018·辽宁五校联考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是() A．2 B．3 C．4 D．5 (3)(2018·济南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是() A．{2} B．{3} C．{2,3} D．{0,2,3} 解析(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}。故选B。 解法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。 (2)因为A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3个。故选B。 (3)因为A∪B＝B，所以A⊆B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。当a＝0时，集合A为空集，符合题意；集合A不是空集时，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以实数a的所有值构成的集合是{0,2,3}。故选D。 答案(1)B(2)B(3)D (1)求解集合的运算中，要根据集合的表示把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算。 (2)对于元素个数有限的集合一般可用列举的方法求解，若集合涉及不等式的解集，则常借助数轴处理。 变|式|训|练 1．设全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，则(∁UA)∩B＝() A．{x|－2≤x<3} B．{x|x≤－2} C．{x|x<－2} D．{x|x<3} 解析 全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以∁UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|x<－2}。故选C。 答案 C 2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为() A．2或 B．－1或2 C．2 D．－1 解析 由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因为A⊆B，所以m＝2。故选C。 答案 C 3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________。 解析 因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以当x＝5时，y可以是1,2,3,4；当x＝4时，y可以是1,2,3；当x＝3时，y可以是1,2；当x＝2时，y只能是1。综上所述，B中所含元素的个数为10。 答案 10 考向二 命题及其真假判断 【例2】(1)(2018·郑州预测)下列说法正确的是() A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1” B．“若am2 C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4 x0成立 D．“若sinα≠，则α≠”是真命题 (2)(2018·渭南质检)已知命题p：∃a，b∈R，a>b且>，命题q：∀x∈R，sinx＋cosx<。下列命题是真命题的是() A．(綈p)∧q B．p∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 解析(1)对于A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于B，“若am2 (2)命题p：当a>0，b<0时，表达式就成立；命题q：∀x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表达式成立。故两个命题均为真命题。故选B。 答案(1)D(2)B (1)命题真假的判定方法 ①一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别。 ②四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律，特别注意逆命题与否命题。 ③形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定。 (2)全称命题与特称命题真假的判定 ①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可。 ②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题。 变|式|训|练 1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，则綈p为() A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0 B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0 C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0 解析 命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定为綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故选D。 答案 D 2．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) 解析 因为x>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，则命题p为真命题；因为1>－2，但12<(－2)2，所以命题q是假命题，则(綈q)是真命题，所以p∧(綈q)是真命题。故选B。 答案 B 考向三 充要条件 【例3】(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析(1)解法一：由<，得0 解法二：由<，得0 (2)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故选C。 答案(1)A(2)C 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qDp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)。 (2)集合法：利用集合间的包含关系。例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件。 (3)转化法：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，则p是q的充要条件。 变|式|训|练 1．设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件，故选A。 答案 A 2．(2018·福建联考)设命题p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命题q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是() A.B.C.D.解析 命题p：a 答案 A 1．(考向一)(2018·济南联考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝∅，则集合B不可能是() A．{x|4x<2x＋1} B．{(x，y)|y＝x－1} C．{y D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)} 解析 集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，对于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝∅；对于B，集合为点集，满足A∩B＝∅；对于C，{y＝{y，满足 A∩B＝∅；对于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠∅。故选D。 答案 D 2．(考向一)(2018·西安联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2的概率为________。 解析 如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝＝＝。 答案 3．(考向二)(2018·西安质检)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集，命题q：f (x)＝(2a－5)x在R上满足f ′(x)<0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是() A． B．[3，＋∞) C．[2,3] D．∪[3，＋∞) 解析 由题意命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集。当a＝0时，不满足题意。当a≠0时，必须满足：解得a≥2；命题q：f (x)＝(2a－5)x在R上满足f ′(x)<0可得函数f (x)在R上单调递减，所以0<2a－5<1，解得 答案 D 4．(考向三)(2018·西安联考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 解法一：设与的夹角为θ，因为·>0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。 解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。 答案 A 5．(考向三)(2018·辽师大附中模拟)“0 (x)＝满足：对任意的x1≠x2，都有f (x1)≠f (x2)”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为当0 (x)在(－∞，＋∞)上递减，所以任意x1≠x2都有f (x1)≠f (x2)，所以充分性成立；若m<0，g(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)在(－∞，1)上递减，g(x)<0，h(x)≥0，满足对任意x1≠x2，都有f (x1)≠f (x2)，必要性不成立。故选A。 答案 A
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