008π,|f
(x1)-f
(x2)|+|f
(x2)-f
(x3)|+…+|f
(xm-1)-f
(xm)|=2
016(m≥2,m∈N*),那么2
016-2=2
014,2
014÷2=1
007,即中间有1
007组|f
(xi)-f
(xj)|=2的关系式,此时对应的自变量有1
007+1=1
008(个),故此时m的值是1
008+2=1
010,即m的最小值为1
010。
答案 1
010
三、分类整合思想
分类整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度;分类研究后还要对讨论结果进行整合。
【例4】(1)设函数f
(x)=则满足f
(f
(a))=2f
(a)的a的取值范围是()
A.
B.[0,1]
C.
D.[1,+∞)
(2)设F
1,F
2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点。已知P,F
1,F
2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF
1|>|PF
2|,则的值为________。
【解析】(1)由f
(f
(a))=2f
(a)得,f
(a)≥1。当a<1时,有3a-1≥1,解得a≥,所以≤a<1。当a≥1时,有2a≥2>1,解得a≥1。综上,a≥,故选C。
(2)若∠PF
2F
1=90°,则|PF
1|2=|PF
2|2+|F
1F
2|2,因为|PF
1|+|PF
2|=6,|F
1F
2|=2,解得|PF
1|=,|PF
2|=,所以=。若∠F
2PF
1=90°,则|F
1F
2|2=|PF
1|2+|PF
2|2=|PF
1|2+(6-|PF
1|)2,解得|PF
1|=4,|PF
2|=2,所以=2。综上所述,=2或。
【答案】(1)C(2)2或
分类整合思想在解题中的应用
(1)由数学概念引起的分类。有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。有的定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类。如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的限制,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等。
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等。
【变式训练4】(1)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()
A.
B.
C.或
D.或
(2)设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是________。
解析(1)因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4。当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e==;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e===。综上可知,选项D正确。
(2)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0。当q=1时,Sn=na1>0;当q≠1时,Sn=>0,即>0(n=1,2,3,…),则有 ①或 ② 由①得-11。故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)。
答案(1)D(2)(-1,0)∪(0,+∞)
四、转化与化归思想
转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种思想。其应用包括以下三个方面:
(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。
(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。
(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
【例5】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则=______。
(2)已知f
(x)=,则f
(-2
017)+f
(-2
016)+…+f
(0)+f
(1)+…+f
(2
018)=________。
【解析】(1)显然△ABC为等边三角形时符合题设条件,所以===。
(2)f
(x)+f
(1-x)=+=+==1,所以f
(0)+f
(1)=1,f
(-2
017)+f
(2
018)=1,所以f
(-2
017)+f
(-2
016)+…+f
(0)+f
(1)+…+f
(2
018)=2
018。
【答案】(1)(2)2
018
转化与化归思想遵循的原则
(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题。
(2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。
(3)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想,立体几何问题向平面几何问题转化)。
(4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法、补集法或用逆否命题间接地解决问题。
【变式训练5】(1)已知函数f
(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数x0,使f
(x0)>0,求实数p的取值范围。
(2)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+。求证:a,b,c中至少有一个大于0。
解(1)记p的范围是I,原题可作为命题:若p∈I,则函数f
(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数x0,使f
(x0)>0。
等价命题为:若函数f
(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上对任意的x都有f
(x)≤0,则p∈∁RI。
由对任意的x都有f
(x)≤0,结合图形知⇒⇒p≤-3或p≥,即∁RI=,所以I=,故所求的p的取值范围为。
(2)证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0。而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,因为π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,所以a+b+c>0。
这与a+b+c≤0矛盾。
因此a,b,c中至少有一个大于0。