微专题18 解题有法——领悟四种数学思想巧突破
高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度。数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类整合思想、转化与化归思想
一、函数与方程思想
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决
方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
【例1】(1)已知f
(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f
(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为()
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(2)已知f
(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增。若实数a满足f
(2|a－1|)>f
(－)，则a的取值范围是________。
【解析】(1)因为x∈[2,16]，所以f
(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0对m∈[1,4]恒成立。设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以即
解得x<－2或x>2。
(2)由f
(x)是偶函数且f
(x)在区间(－∞，0)上单调递增可知，f
(x)在区间(0，＋∞)上单调递减。又因为f
(2|a－1|)>f
(－)，而f
(－)＝f
()，所以2|a－1|<，即|a－1|<，解得 【答案】(1)D(2) 函数与方程思想在不等式问题中的应用要点 (1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的值域解决问题。 (2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要进行常变量分离，确定主要变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数。 【变式训练1】 定义域为R的可导函数y＝f (x)的导函数为f ′(x)，满足f (x)>f ′(x)，且f (0)＝1，则不等式<1的解集为() A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝。由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减。又因为g(0)＝＝1，所以<1，即g(x) 答案 B 二、数形结合思想 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，以数作为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合【例2】 已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f (x)＝的图象上，若函数h(x)＝f (x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是() A． B.C.D．(1，＋∞) 【解析】 由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由可得直线过定点(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f (x)－mx＋2＝0，得f (x)＝mx－2，在同一坐标系中作出y1＝f (x)与y2＝mx－2的图象(如图所示)，易得 【答案】 B (1)本题利用了数形结合思想，把函数h(x)＝f (x)－mx＋2有三个不同的零点转化为函数y1＝f (x)与y2＝mx－2的图象有三个不同的交点。 (2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 ①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两图象的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解。 ②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合。 【变式训练2】 已知函数y＝f (x)(x∈R)满足f (x＋2)＝2f (x)，且x∈[－1,1]时，f (x)＝－|x|＋1，则当x∈[－10,10]时，y＝f (x)与g(x)＝log4|x|的图象的交点个数为() A．13 B．12 C．11 D．10 解析 先作出函数y＝f (x)在[－1,1]内的图象，由f (x＋2)＝2f (x)可知函数图象向右平移两个单位后，纵坐标变为原来的2倍，即函数图象纵向拉伸为原来的2倍，则向左平移两个单位后图象纵向缩为原来的。如图，作出函数y＝f (x)在[－10,10]上的图象，然后作出函数g(x)＝log4|x|的图象。由图可知，两函数图象在y轴左侧的交点为(－1,0)和，共有2个交点，在y轴右侧共有9个交点。综上，知f (x)与g(x)的图象共有11个交点。故选C。 答案 C 【例3】 已知函数f (x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1 (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，则m的最小值为________。 【解析】 对任意的xi，xj，|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2，欲使m取得最小值，则尽可能使xi(i＝1,2，…，m)取最值点，考虑到0≤x1 (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，则按照如图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8。 【答案】 8 涉及三角函数的性质问题，同时还涉及绝对值及其应用，解决问题的关键是通过数形结合法进行直观分析与处理，省去不必要的推理与分析以及繁杂的运算，有效地解决有关三角函数的图象与性质问题。 【变式训练3】 已知函数f (x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1 008π，且|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝2 016(m≥2，m∈N*)，则m的最小值为________。 解析 对任意的xi，xj，|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2，欲使m取得最小值，尽可能让xi(i＝1,2，…，m)取最值点，由以上分析知f (x1)＝f (xm)＝0，中间的f (x2)，f (x3)，…，f (xm－1)有规律地取1与－1，且逐一间隔开，即若f (x2)＝1，则f (x3)＝－1，f (x4)＝1，f (x5)＝－1，…，此时m才取得最小值，又0≤x1 008π，|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝2 016(m≥2，m∈N*)，那么2 016－2＝2 014，2 014÷2＝1 007，即中间有1 007组|f (xi)－f (xj)|＝2的关系式，此时对应的自变量有1 007＋1＝1 008(个)，故此时m的值是1 008＋2＝1 010，即m的最小值为1 010。 答案 1 010 三、分类整合思想 分类整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合。 【例4】(1)设函数f (x)＝则满足f (f (a))＝2f (a)的a的取值范围是() A． B．[0,1] C． D．[1，＋∞) (2)设F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点。已知P，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则的值为________。 【解析】(1)由f (f (a))＝2f (a)得，f (a)≥1。当a<1时，有3a－1≥1，解得a≥，所以≤a<1。当a≥1时，有2a≥2>1，解得a≥1。综上，a≥，故选C。 (2)若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2，解得|PF 1|＝，|PF 2|＝，所以＝。若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以＝2。综上所述，＝2或。 【答案】(1)C(2)2或 分类整合思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类。有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 (3)由数学运算和字母参数变化引起的分类。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等。 【变式训练4】(1)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是() A． B． C．或 D．或 (2)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________。 解析(1)因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4。当m＝4时，圆锥曲线＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝＝；当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝。综上可知，选项D正确。 (2)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有 ①或 ② 由①得－1 答案(1)D(2)(－1,0)∪(0，＋∞) 四、转化与化归思想 转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想。其应用包括以下三个方面： (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。 (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。 (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。 【例5】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝______。 (2)已知f (x)＝，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________。 【解析】(1)显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝。 (2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018。 【答案】(1)(2)2 018 转化与化归思想遵循的原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题。 (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。 (3)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)。 (4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法、补集法或用逆否命题间接地解决问题。 【变式训练5】(1)已知函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数x0，使f (x0)>0，求实数p的取值范围。 (2)若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋。求证：a，b，c中至少有一个大于0。 解(1)记p的范围是I，原题可作为命题：若p∈I，则函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数x0，使f (x0)>0。 等价命题为：若函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上对任意的x都有f (x)≤0，则p∈∁RI。 由对任意的x都有f (x)≤0，结合图形知⇒⇒p≤－3或p≥，即∁RI＝，所以I＝，故所求的p的取值范围为。 (2)证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0。而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，因为π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0。 这与a＋b＋c≤0矛盾。 因此a，b，c中至少有一个大于0。
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