高考数学专题复习：数形结合思想

第一篇：高考数学专题复习：数形结合思想

高考冲刺：数形结合

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升 热点分析 高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是

A．

解析：画出

由题设有，B．的示意图.，若，且，则

C．

D．

∴，令，则

∵

∴，∴ 在，.上是增函数.∴

举一反三：

【变式1】已知函数

.选C.在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数

（Ⅰ）写出

（Ⅱ）设的单调区间；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时。

（2）当a≤1时，当

当

【变式3】已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，（这是不可能的）

（2）当，时，∵，所以，（图1）

（图2）

(1)当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

(2)当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，设切点

又直线，则过切点，即，得，解得切点，∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.∴.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

.举一反三：

2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。这时

∴

。，最小值为

。，∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数

解析：的最小值。

则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和

如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则，选C。

第二篇：高考复习数形结合思想

数形结合

定义：数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

应用：大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。Ⅰ、再现题组：

1.设命题甲：0

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212112B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5

B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5

D.减函数且最大值为－5

y35.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全国)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且满足cos2－sin2＝1sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若复数z的辐角为6，实部为－23，则z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全国理)133A.B.3C.2

D.10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。2z1例2.设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直线L的方程为：x＝－

2(p>0),椭圆中心D(2＋2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？

Ⅲ、巩固性题组：

1.已知5x＋12y＝60，则x2y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不对 4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。6.设z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： x22x>b－x

x2xa≤0的解集，试确定a、b10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组2x2bx5≤02的取值范围，使得AB。（90年高考副题）

11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。

12.已知函数y＝(x1)21＋(x5)29，求函数的最小值及此时x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。

第三篇：高考数学重点难点37数形结合思想

重点重点难点36 函数方程思想

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场

1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为

.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究

［例1］已知函数f(x)=logm

(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有

当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴

即

即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴

∴0＜m＜

故当0＜m＜ 时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.-1-命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 ★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：

又A、B锐角为三角形内两内角 ∴ ＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴ ∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m= 且 ≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3 ●锦囊妙计

函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：

（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［ –(2a)2］对任意x∈［ ,+∞］都有意义，则实数a的取值范围是（）A.(0，B.(0,)

C.［ ,1

D.(,）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是（）A.［，+∞

B.(1，C.［ ,+∞

D.(1, ］

二、填空题

3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是

.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为

.三、解答题

5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且-2-方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, „gn(x)=f［gn–1(x)］,„

（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)=(a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参 考 答 案

●重点重点难点磁场

1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1 故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′=，又点M在直线 上有，即

∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练

一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意 得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A 2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C-3-3.解析：显然有x＞3，原方程可化为

故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞.答案： ＜a＜10 4.解析：原式化为.当 ＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤ ≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当 ＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5

二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4 验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1 ②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素

综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须

＜x≤2 6.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=– =1得a=–1，故f(x)=–x2+2x.（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤

而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤ 时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤ ,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立； 设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0= ∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1 要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x–6x2＞1

故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=

-4-∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0, ∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴a≥ 在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥ 在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范 围是［ ,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2– m+1=0，n2– n+1=0 故方程x2– x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场

1.曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围

.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数

∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4} 要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知： 必须且只需

解得 ≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需

-5-解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A= 此时B=C=，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

又∵单位圆的圆心到直线l的距离

由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴.●锦囊妙计

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是（）A.2

B.3

C.4

D.以上均不对

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为（）A.α＜a＜b＜β

B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β

D.a＜α＜β＜b

二、填空题

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是

.三、解答题

-6-5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案 ●重点难点磁场

1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］

2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：

不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练

一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B 2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：

答案：A

二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：

4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3

三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠

时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan，故tan(α+β)=3.-7-6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小

a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图：

由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：

设AE=x,BE=y, 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴

∴.高考数学重点难点突破 重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长？这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面„„

重点难点38 分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

●重点难点磁场

1.（★★★★★）若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为

.2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x-a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究

［例1］已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1-），得

，(n∈N*)

（2）要使，只要

因为

所以，(k∈N*)

故只要Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*）

因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)

①

所以Sk-2≥S1-2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得

Sk-2＜Sk+1-2

故当k≥2时，Sk-2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立

因为，又Sk-2＜Sk+1-2

所以当k≥3时，Sk-2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=

①

依题设，点C在直线AB上，故有

由x-a≠0，得

②

将②式代入①式，得y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为

（1-a）x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1

③ 此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为

④

所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∴

∵

∴整理，得

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(-1,b)，则BO的方程为y=-bx，直线AB的方程为

∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ，∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

又tan2θ=-b ∴-b=

① ∵C点在AB上 ∴

②

由①、②消去b，得

③ 又，代入③，有

整理，得(a-1)x2-(1+a)y2+2ax=0

④

当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：

a≠1时，④式变为

当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；

当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段.●锦囊妙计

分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：

1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）已知其中a∈R，则a的取值范围是（）

A.a＜0

B.a＜2或a≠-2

C.-2＜a＜2

D.a＜-2或a＞2

2.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

二、填空题

3.（★★★★）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2-3x+2=0},B={x｜x2-ax+(a-1)=0}，C={x｜x2-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为

.三、解答题

5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足：

①A∩B≠,②A∩B={-2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,...)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）计算xn；

（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a＞0时，函数f(x)=ax-bx2

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b;

（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2；

（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.-11-

参 考 答 案

●重点难点磁场

1.解析：即f(x)=(a-1)x2+ax-=0有解.当a-1=0时，满足.当a-1≠0时，只需Δ=a2-(a-1)＞0.答案：或a=1

2.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+｜-x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2｜a｜+1.f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+

若a≤，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞，则函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+

若a≤-，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(-)=-a，且f(-)≤f(a)；

若a＞-，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤-时，函数f(x)的最小值为-a；

当-＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.●歼灭重点难点训练

一、1.解析：分a=

2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.答案：C

2.解析：任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C

二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或2

4.解析：A={1,2},B={x｜(x-1)(x-1+a)=0}，由A∪B=A可得1-a=1或1-a=2；

由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（-2，2）

三、5.解：设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={-2,0}，从而p=2,q=0,B={-}.此时A∩B=与已知矛盾，故x0≠0.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得

.即满足B中的方程，故∈B.∵A∩={-2},则-2∈A,且-2∈.设A={-2,x0}，则B={}，且x0≠2（否则A∩B=）.若x0=-，则-2∈B,与-2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.-12-

即A={-2,1}或A={-2,-1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根-2，1或-2，-1

∴

6.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1，∴｜MN｜2=｜MO｜2-｜ON｜2=｜MO｜2-1

设动点M的坐标为(x,y)，则

即（x2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线；

（2）当λ≠1时，方程化为：

它是以为圆心，为半径的圆.7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由

∴x1=1

又由f(x2)=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由

即x2-x1= ∴x2=1+ 记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得

又由f(xn)=n,f(xn-1)=n-1 ∴xn-xn-1=()n-1,n=1,2,......由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为.因b≠1，得(xk-xk-1)=1++...+ 即xn=（2）由（1）知，当b＞1时，当0＜b＜1，n→∞, xn也趋于无穷大.xn不存在.（3）由（1）知，当0≤y≤1时，y=x，即当0≤x≤1时，f(x)=x;当n≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,...),由（2）知 当b＞1时，y=f(x)的定义域为［0,);当0＜b＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x∈R，都有f(x)≤1 ∵ ∴≤1 ∵a＞0,b＞0 ∴a≤2.（2）证明：必要性：

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1-1≤f(x），据此可以推出-1≤f(1)-13-

即a-b≥-1，∴a≥b-1

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.因为b＞1，可以推出f()≤1即a•-1≤1，∴a≤2,∴b-1≤a≤2

充分性：

因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1

即ax-bx2≥-1

因为b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1

即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1

综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.(3)解：∵a＞0，0＜b≤1

∴x∈［0,1］,f(x)=ax-bx2≥-b≥-1

即f(x)≥-1

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1

即a≤b+1

a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1

即f(x)≤1 所以当a＞0，0＜b≤1时高考数学重点难点突破 重点难点39 化归思想.txt人和人的心最近又最远，真诚是中间的通道。试金可以用火，试女人可以用金，试男人可以用女人--往往都经不起那么一试。

第四篇：高考专题训练二十三数形结合思想

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第五篇：高考数学总复习第三讲—数形结合

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高考数学总复习第三讲：数形结合

一、专题概述---什么是数形结合的思想

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．

恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．

数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．

二、例题分析

1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．

例1．函数的图象的一条对称轴方程是：

（A）（B）（C）（D）

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分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．，观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．

例2．问：圆个？

分析 由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两

上到直线的距离为的点共有几条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．

将圆方程变形为：心到定直线L的距离为，知其圆心是C(-1,-2)，半径，由此判定平行于直线L且距离为，而圆的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）

启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．

3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．

数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相

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成，相互转化．

例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．

分析 由=，可知函数

是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．

例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．

分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是

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多少？

分析 满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求图形的面积为： 4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．

在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．

例6．已知C<0，试比较的大小．

分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：

例7 解不等式

解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用图象法）设即

对应的曲线是以是一直线．（如图）

为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．

例8 讨论方程的实数解的个数．

分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数交点个数即可． 的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的 ∴当a＜0时，解的个数是0；

当a=0时或a＞4时，解的个数是2；

当0＜a＜4时，解的个数是4；

当a=4时，解的个数是3．

9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为

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∴过（外，过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故

正确答案为（D）

例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为

∴过（外，过（正确答案为（D））点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线

上移动，求

是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）

消去y得

解得：

故的最大值为，最小值为

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例11．求函数值．

分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图

（其中a,b,c是正常数）的最小

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设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则

其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即 故y的最小值为时成立．

例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．

解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为

故即由点在椭圆上可知有：

整理得：原点，焦点在y轴上

就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在的椭圆．

三解题训练

1．求下列方程实根的个数：

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（1）

（2）

（3）

2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 3．已知函数（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的实根个数都是（）的图象如右图则（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，则a的取值范围是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

（1）（2）

7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量，则点C对应的复数是_______．

绕点A逆时针方向旋转至向量 8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 9．若复数z满足

10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两

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定点的坐标是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–2，–），2））（–2 11．曲线与直线的交点个数是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲线（）

与直线

有两个交点，则实数k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

满足，求实数b的取值范围．

14．函数的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

四、练习答案

1．（1）2个（2）63个（3）2个

提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．

2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．

3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形

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f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故选（A）4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0

可知b=-14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点

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