高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理

第一篇：高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

高考数学总复习第三讲：数形结合

一、专题概述---什么是数形结合的思想

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．

恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．

数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．

二、例题分析

1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．

例1．函数的图象的一条对称轴方程是：

（A）（B）（C）（D）

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．，观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．

例2．问：圆个？

分析 由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两

上到直线的距离为的点共有几条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．

将圆方程变形为：心到定直线L的距离为，知其圆心是C(-1,-2)，半径，由此判定平行于直线L且距离为，而圆的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）

启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．

3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．

数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

成，相互转化．

例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．

分析 由=，可知函数

是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．

例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．

分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

多少？

分析 满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求图形的面积为： 4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．

在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．

例6．已知C<0，试比较的大小．

分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：

例7 解不等式

解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：

解得

故原不等式的解集是

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

解法二（采用图象法）设即

对应的曲线是以是一直线．（如图）

为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．

例8 讨论方程的实数解的个数．

分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数交点个数即可． 的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的 ∴当a＜0时，解的个数是0；

当a=0时或a＞4时，解的个数是2； 当0＜a＜4时，解的个数是4；

当a=4时，解的个数是3．

9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

∴过（外，过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故

正确答案为（D）

例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为

∴过（外，过（正确答案为（D））点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线

上移动，求

是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）

消去y得

解得：

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

故的最大值为，最小值为

（其中a,b,c是正常数）的最小 例11．求函数值．

分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图

设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则

其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即 故y的最小值为时成立．

例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决． 解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

故即由点在椭圆上可知有：

整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．

三解题训练

1．求下列方程实根（1）的个数：

（2）

（3）

2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 3．已知函数（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的实根个数都是（）的图象如右图则（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，则a的取值范围是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

（1）（2）

7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量，则点C对应的复数是_______．

绕点A逆时针方向旋转至向量 8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 9．若复数z满足

10．函数定点的坐标是()（A）（–（C）（–2的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲线与直线的交点个数是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲线（）

与直线

有两个交点，则实数k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

满足，求实数b的取值范围．

14．函数的值域是（）

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

（A）（B）

（C）（D）

四、练习答案

1．（1）2个（2）63个（3）2个

提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．

2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．

3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故选（A）4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！

12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

第二篇：精简易下载版 高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理

Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！高考数学总复习第三讲：数形结合

一、专题概述---什么是数形结合的思想

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．

恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．

数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．

二、例题分析 1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．

例1．函数的图象的一条对称轴方程是()（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将

代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）

2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．

观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．

例2．问：圆 分析 由平面几何知：到定直线L：这两条直线与已知圆的交点个数．

将圆方程变形为：

上到直线的距离为的距离为的点共有几个？ 的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定，而圆心到定直线L的距离为，由此，知其圆心是C(-1,-2)，半径判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）

启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．

3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．

数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．

例3．判定下列图中，哪个是表示函数

图象．

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

分析 由是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数 例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．，图象．

=，可知函数的图象应当是上凸的，（在第盛满液体，经过3分钟注落的距离，则H与下落时间分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）． 5．若复数z满足析 满足，且

越来越 例 分面与，则在复平面上对应点的图形面积是多少？

为半径的圆面，该圆的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求图形的面积为：

4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．

在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．

例6．已知C<0，试比较的大小．

分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：

例7 解不等式

解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：

解得 故原不等式的解集是 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！解法二（采用图象法）设 对应的曲线是以 解方程

即

为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）

可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．

例8 讨论方程的实数解的个数．

分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的交点个数即可．

∴当a＜0时，解的个数是0；

当a=0时或a＞4时，解的个数是2；

当0＜a＜4时，解的个数是4；

当a=4时，解的个数是3．

9．已知直线和双曲线

有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个）的直线系，双曲线的渐近线方程为）点

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）

例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（近线方程为 ∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确）的直线系，双曲线的渐个不同值，此外，过（答案为（D）

例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线

上移动，求是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）

解得： 故 消去y得的最大值为，最小值为

例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．

分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图

设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则线段AB与x轴的交点外，即

时成立． 故y的最小值为

其中的等号在P为

例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决． 解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为

故 整理得：

三解题训练 即由点在椭圆上可知有：

就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．

1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）

2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 的实根个数都是（）

3．已知函数的图象如右图则（）

（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)4．不等式 5．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）

一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！6．解下列不等式：（1）（2）

至向量，则点C对应的复数是 7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转_______．

8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 10．函数（A）（–（C）（–2 11．曲线 12．曲线（A）13．已知集合 14．函数（B），–，2的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是()）（）（2与直线与直线（C），的值域是（），2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2的交点个数是（）．（A）0（B）1（C）2（D）3

有两个交点，则实数k的取值是（）

（D）

满足，求实数b的取值范围．

（A）（B）（C）（D）

四、练习答案

1．（1）2个（2）63个（3）2个 提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．

2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．

3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）

4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0

地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625

第三篇：高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

高考数学思想方法专题讲义3－－数形结合的思想

1．设f(x)1x2，a，bR，且a≠b，求证：f(a)f(b)ab．

2．求下列函数的最值：（1）y（2）y2x25x42x22x1的最小值； x22x26x26x13的最大值．

p4的实数p，使得x2px4xp3恒成立，求x的取值范围． 3．对于满足04．已知z1，求u2zi54i的最值．

x24a1有相异实根的个数． 5．讨论方程6．已知a1，b1，求证：ab1．

1abq），求它的第pq项和第pq项．

． 7．已知等差数列的第p项为q，第q项为P（p8．求证：2a12a2b12b22a1b1a2b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求证：tg10．设zC，aR，且az11．已知sinsinBC1ctg． 2290，求证：zazaz为纯虚数．

11，coscos，求tg()． 432，求zu24v21的最小值． 12．已知u，v，是正数，且uv13．求函数y14．已知m3(x2)8x的值域．

n0，求证：m2n22mnn2m．

215设定点M（－3，4），动点N在圆xy24上运动，以OM，ON为两边作□MONP，求P点的轨迹．

表示两曲线有公共点，求半径r的最值． 22x4y4,16．已知222(x4)yrx2y2217．当m，a，b满足什么条件时，椭圆221（a0，b0）与抛物线yxm有四个交点？

ab数形结合的思想参考答案

1．将，1a2，1b2分别看做两直角三角形的斜边，于是可以构造图2－1．设Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，则 PA

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

1a2．在Rt△POB中，OB＝b，则

PB1b2．在△PAB中，PAPBAB，于是可得f(a)f(b)ab（当ab结论一样成立）

2．（1）提示：配方得y557112((x)2(x)2)，可视为P（x，0）分别与A（441624，74），B（1，21）这两点的距离之和．由于A，B分别位于x轴的上方和下方，显然当P在A，B连线与x轴交点时PAPB最短，最小值为22AB230272（2）提示：配方得y(x1)252(x3)222，可视为P（x，0）分别与A（－1，5），B（3，2）的距离之差的最大值，由于A，B位于x轴的同旁，由几何知识知，P在AB与x轴交点的位置上，最大值为

APBP最大，AB5．AB，直线AB的方程为y25217．令，y0，得xx31332．故点P位于（173，0）时，ymax3．原不等式整理成(x1)P(x4x3)>0，设f(b)(x1)p(x24x3)．可视为p的一次函数，由图象

2f(0)0,x4x30,x3或x1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用即2f(4)0,x104．u52izi22，因此，u表示单位圆

（－2，－z1上的点z与点A

52）的距离的2倍．由几何知识知，AB，AC分别是最小值、最大值，即

umax2AC2(OAOC)412，umin2AB2(OAOB)412

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

5．提示：在同一坐标系中作出y同的根；当ax24和ya1的图象如图，从图象可以看出：当a1，a3时，方程有两个不3时，方程有三个不同的根；当1a3时，方程有四个不同的根；当a1时，方程没有根

ab1ab(a1)(b1)AP1ab6．设数轴上三点A，P，B的坐标分别为－1，1，则＝．∵ a1，b1，ab1ab(a1)(b1)PB11ab∴ 0．即P是AB的内分点，于是17．由等差数列的通项公式anabab1即1

1ab1ab，B（q，p）是平a1(n1)，得点（n，an）在直线ya1(x1)d上．设A（p，q）面直角坐标系中的两点，则AB的直线方程为yqpq(xp)，即ypqx．∵

点（n，an）在an这条直线上，qp∴ anpqn．于是，apq0，apq2q

8．提示：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），则原式左边＝9．如图，以线段BC的中点O为原点建立直角坐标系，∵

OAOBABACBC＝右边

BC10，ABAC8,∴

A（x0，y0）在双曲线

．∵

55x2y21的右支上．从而，由焦半径公式得ABx04，ACx0444169ACcoCs5x0，＝ABcosB5x，∴

tgBCctg22

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

BCBBCcos2sincos2cos222222sinB1cosCBCBCC1cosBsinCcossin2cos22sincos222225x045x0x1140 5x045x09(x01)94sinACACcosCABABcosB＝

10．在复平面内，z，a，－a所对应的点分别为P，A，B，∵

∴

A、B在实轴上．

z0，故P不可能在坐标原点，即AB的中点．又aR，a0，zazaAPBP动点P的轨迹为线段AB的中垂线除去AB的中点P点的轨迹为虚

16轴（除去原点）z为纯虚数．

11．设A（cos，sin），B（cos，sin，则A，B在单位圆上，连结AB．若C是AB的中点，则点C的坐标为（），∠DOC＝，1），连结OC，则OC⊥AB．设D（1，0），连结OA，OB，则有∠DOA＝，∠DOB＝812tg24832∠DOC＝，tg() 14721tg262，tg

2＝tg

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点（u，2），B（－v，－1），则

zOAOBAB，而

uv42AB(uv)2(21)2223213，v即z13，等号成立条件uv2，．即u，2133

时成立．故zmin

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

13

13．令x2t，原函数为y23t10t2（t0），设vy3t，则

①v3ty, 2v10t(t0).方程①表示斜率为－3的直线，方程②表示四分之一圆．原问题转化为过圆②上的点，求①中直线截距的取值范围．如图，过圆上

30y31．解得y2∴ 10．的点（0，时，截距最小，ymin10．当直线与圆②相切时，其截距最大，即1010）

② 10y210

14．如图，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，则AC∴ 又∵

m2n2．∵

ACBCAB

m2n2nm．

①

mn0，∴

mnn2，2mn2n2，2mnn2n2，即2mnn2n ②

由①、②知，m2n22mnn2m

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

16．如图，设P点所对应的复数为

xyi，M所对应的复数为34i，N所对应的复数为z1，．即

z12．∵，∴ OPOMON，∴ xyi34iziz1(x3)(y4)i，∵

z12(x3)2(y4)24．但点M，O，N

46x与x2y24，解得x1，358686868y1；x2，y2．因此，所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点（，），（，）5555555共线时，不能构成平行四边形，由y

x2217．将方程x4y4化为标准形式2y1，它表示中心在（0，0），长半轴为2且在x轴上，短半轴为1的椭圆．而

222方程(x4)20）的同心圆系，如图，可知当2r6时，两曲线有公共点．即rmax6，rmin2 y2r2表示圆心在A（4，taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

x2xm,b2b22222f(y)yymb0．要使两曲线有四个交点，方程f(y)0在（－18．由x消去x，得y22aa221,bab2b，b）内有两个不同的实根．由于函数f(y)为开口向上的抛物线，而对称轴方程为y2a2．因此，有

b2f(2)0,2ab2a2,22bb22b2b,b2即两曲线有四个交点的充要条件为b2a，且bma4a222abma2.4af(b)0,f(b)0

第四篇：高考数学解题方法数形结合

高考数学解题方法（数形结合）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x2)2(y1)24

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

k的取值范围。

例1.若关于x的方程x2kx3k0的两根都在1和3之间，求

分析：令f(x)x2kx3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)0 22f(3)0，的解，由yf(x)的图象可知，要使二根都在13，之间，只需f(1)0，f(b)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(1，0)2a

例2.解不等式x2x

解：法

一、常规解法：

x0

原不等式等价于(I)x20x2x2x0或(II)

x20

解(I)，得0x2；解(II)，得2x0

综上可知，原不等式的解集为{x|2x0或0x2}{x|2x2}

法

二、数形结合解法：

令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象

在y2x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xAxxB}

而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，故不等式的解集为{x|2x2}。

例3.已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为（A.1个 B.2个

C.3个

D.1个或2个或3个)

分析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.如果实数x、y满足(x2)y3，则22y的最大值为(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x2)y3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而yy0则表示圆上的点(x，y)与坐 xx0标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图 可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°3

x2y21，求y3x的最大值与最小值

例5.已知x，y满足1625x2y21下求最值问题，常采用

分析：对于二元函数y3x在限定条件1625构造直线的截距的方法来求之。

令y3xb，则y3xb，x2y21上求一点，使过该点的直线斜率为3，原问题转化为：在椭圆162

5且在y轴上的截距最大或最小，x2y21相切时，有最大截距与最小

由图形知，当直线y3xb与椭圆1625截距。

y3xb

x2169x296bx16b24000 y216251

由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13。x3cos(0)，集合N{(x，y)|yxb}

例6.若集合M(x，y)y3sin且MN≠，则b的取值范围为。

分析：M{(x，y)|x2y29，0y1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为b，由图形易知，欲使MN≠，即是使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为32，即3b32

x2y21上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

例7.点M是椭圆2516MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），则|MF1||MF2|2a，而a5

|MF1|2，∴|MF2|8

又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|11|MF2|×84 2

2②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8.已知复数z满足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。

分析：由于|z22i||z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的

点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z(22i)|2的复数z对应点 Z，在以(2，2)为圆心，半径为2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数z对应的 点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值，|z|min2，|z|max32，∴|z|的取值范围为[2，32]

sinx2的值域。

cosx2sinx2得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则ycosx

2例9.求函数yxycosx2y2，y21sinx()2y2

sin

∴sin(x)2y2y12，而|sin(x)|1

4747y 3 ∴|2y2y21|1，解不等式得

∴函数的值域为[4747，] 33yy1sinx2 的形式类似于斜率公式y2cosx2x2x

1解法二（几何法）：y

ysinx2表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx2

由于点P在单位圆x2y21上，如图,显然，kP0AykP0B

设过P0的圆的切线方程为y2k(x2)

则有|2k2|k211，解得k4±73即kP0A4747，kP0B

33∴47474747，] y

∴函数值域为[3333例10.求函数u2t46t的最值。

分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t4m，无法 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x2t4，y6t，则uxy

且x22y216(0x4，0y22)

所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

yxu22

23x4ux2u160 2x2y16

解，得u±26，取u26

∴umax26

三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练

见优化设计。【模拟试题】

一、选择题：

1.方程lgxsinx的实根的个数为（）

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

2.函数ya|x|与yxa的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A.(1，)

B.(1，1)

D.(，1)(1，)

C.(，1][1，)

3.设命题甲：0x3，命题乙：|x1|4，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

4.适合|z1|1且argz

A.0个

4的复数z的个数为（）

C.2个

D.4个 B.1个

5.若不等式xax(a0)的解集为{x|mxn}，且|mn|2a，则a的值为（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知复数z13i，|z2|2，则|z1z2|的最大值为（）

A.10

2B.5

C.210

2D.222

7.若x(1，2)时，不等式(x1)logax恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定义在R上的函数yf(x)在(，2)上为增函数，且函数yf(x2)的图象的对称轴为x0，则（）

A.f(1)f(3)

C.f(1)f(3)

二、填空题：

9.若复数z满足|z|2，则|z1i|的最大值为___________。

210.若f(x)xbxc对任意实数t，都有f(2t)f(2t)，则f(1)、f(3)、B.f(0)f(3)D.f(2)f(3)

f(4)由小到大依次为___________。

11.若关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

12.函数yx22x2x26x13的最小值为___________。

13.若直线yxm与曲线y1x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：

14.若方程lg(x23xm)lg(3x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范围。

15.若不等式4xx2(a1)x的解集为A，且A{x|0x2}，求a的取值范围。

16.设a0且a≠1，试求下述方程有解时k的取值范围。

log((xa)axak)loga222【试题答案】

一、选择题

1.C

提示：画出ysinx，ylgx在同一坐标系中的图象，即可。

2.D

提示：画出ya|x|与yxa的图象

情形1：a0a1 a1

情形2：

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条a0a1

a1件argz，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz，故满足44条件的z有两个。

5.B

提示：画出yxayx的图象，依题意，ma，na，aaaa0或2。

6.C

提示：由|z2|2可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，而|z1z2||z2(z1)||z2(3i)|

表示复数z2与3i对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：

|PO|r(30)2(10)22102

7.C

提示：令y1(x1)2，y2logax，若a>1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，从而

要使y1y2，只需使loga2(21)2，即a2，综上可知

当1a2时，不等式(x1)2logax对x(1，2)恒成立。

若0a1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒不成立。

可见应选C

8.A

提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（，2）上为增函数，可知，f(x)在(2，)上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：

9.22

提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为22。

10.f(1)f(4)f(3)

提示：由f(2t)f(2t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)x2bxc为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f(1)、f(3)、f(4)的大小。

11.m(1，5)

提示：设y1x24|x|5y2m，画出两函数图象示意图，要使方程x24|x|5m有四个不相等实根，只需使1m5

12.最小值为13

2提示：对x2x2(x1)1(x1)2(10)2，联想到两点的距离公

(x3)2(13)2表示点（x，2式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，x6x131）到点（3，3）的距离，于是yx22x2x26x13表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin13。

13.m(2，1]

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而y1x2则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m[1，2)，即m(2，1]。

三、解答题：

x23xm0x23xm03x0

14.解：原方程等价于 0x30x3x24x3mx23xm3x

令y1x24x3，y2m，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0x3，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或3m0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15.解：令y14xx2，y2(a1)x，其中y14xx2表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，y2(a1)x表示过原点的直线系，不等式4xx2(a1)x的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集A{x|0x2}

因此，只需要a11，∴a2

∴a的取值范围为（2，+）。

16.解：将原方程化为：loga(xak)loga

∴xakx2a2，x2a2，且xak0，x2a20

令y1xak，它表示倾角为45°的直线系，y10

令y2（a，0）的等轴双曲线在x2a2，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）x轴上方的部分，y20

∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知

aka或aak0

∴k1或0k1

∴k的取值范围为(，1)(0，1)

第五篇：高考数学专题复习：数形结合思想

高考冲刺：数形结合

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升 热点分析 高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是

A．

解析：画出

由题设有，B．的示意图.，若，且，则

C．

D．

∴，令，则

∵

∴，∴ 在，.上是增函数.∴

举一反三：

【变式1】已知函数

.选C.在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数

（Ⅰ）写出

（Ⅱ）设的单调区间；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时。

（2）当a≤1时，当

当

【变式3】已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，（这是不可能的）

（2）当，时，∵，所以，（图1）

（图2）

(1)当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

(2)当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，设切点

又直线，则过切点，即，得，解得切点，∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.∴.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

.举一反三：

2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。这时

∴

。，最小值为

。，∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数

解析：的最小值。

则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和

如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则，选C。