第一篇：高考数学总复习第三讲—数形结合
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高考数学总复习第三讲：数形结合
一、专题概述---什么是数形结合的思想
数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．
恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．
数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．
二、例题分析
1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．
观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．
例1．函数的图象的一条对称轴方程是：
（A）（B）（C）（D）
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分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．，观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．
例2．问：圆个？
分析 由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两
上到直线的距离为的点共有几条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．
将圆方程变形为：心到定直线L的距离为，知其圆心是C(-1,-2)，半径，由此判定平行于直线L且距离为，而圆的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）
启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．
3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．
数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相
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成，相互转化．
例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．
分析 由=，可知函数
是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．
例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．
分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．
例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是
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多少？
分析 满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）
因此所求图形的面积为： 4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．
在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．
例6．已知C<0，试比较的大小．
分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：
例7 解不等式
解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：
解得
故原不等式的解集是
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解法二（采用图象法）设即
对应的曲线是以是一直线．（如图）
为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．
借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．
例8 讨论方程的实数解的个数．
分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数交点个数即可． 的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的 ∴当a＜0时，解的个数是0；
当a=0时或a＞4时，解的个数是2；
当0＜a＜4时，解的个数是4；
当a=4时，解的个数是3．
9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为
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∴过（外，过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故
正确答案为（D）
例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为
∴过（外，过（正确答案为（D））点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线
上移动，求
是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）
消去y得
解得：
故的最大值为，最小值为
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例11．求函数值．
分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图
（其中a,b,c是正常数）的最小
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设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则
其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即 故y的最小值为时成立．
例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．
分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．
解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为
故即由点在椭圆上可知有：
整理得：原点，焦点在y轴上
就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在的椭圆．
三解题训练
1．求下列方程实根的个数：
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（1）
（2）
（3）
2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 3．已知函数（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的实根个数都是（）的图象如右图则（）
4．不等式的解集是（）
（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式
一定有解，则a的取值范围是（）
（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：
（1）（2）
7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量，则点C对应的复数是_______．
绕点A逆时针方向旋转至向量 8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 9．若复数z满足
10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两
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定点的坐标是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–2，–），2））（–2 11．曲线与直线的交点个数是（）．
（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲线（）
与直线
有两个交点，则实数k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）
满足，求实数b的取值范围．
14．函数的值域是（）
（A）（B）
（C）（D）
四、练习答案
1．（1）2个（2）63个（3）2个
提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．
2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．
3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形
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f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故选（A）4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0 可知b=-14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 高考数学总复习第三讲：数形结合 一、专题概述---什么是数形结合的思想 数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想． 恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观． 数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等． 二、例题分析 1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系． 观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程． 例1．函数的图象的一条对称轴方程是： （A）（B）（C）（D） 分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．，观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系． 例2．问：圆个？ 分析 由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两 上到直线的距离为的点共有几条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数． 将圆方程变形为：心到定直线L的距离为，知其圆心是C(-1,-2)，半径，由此判定平行于直线L且距离为，而圆的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1） 启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用． 3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图． 数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相 成，相互转化． 例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象． 分析 由=，可知函数 是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象． 例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）． 分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）． 例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是 多少？ 分析 满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°） 因此所求图形的面积为： 4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性． 在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段． 例6．已知C<0，试比较的大小． 分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论： 例7 解不等式 解法一（用代数方法求解），此不等式等价于： 解得 故原不等式的解集是 解法二（采用图象法）设即 对应的曲线是以是一直线．（如图） 为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是． 借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果． 例8 讨论方程的实数解的个数． 分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数交点个数即可． 的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的 ∴当a＜0时，解的个数是0； 当a=0时或a＞4时，解的个数是2； 当0＜a＜4时，解的个数是4； 当a=4时，解的个数是3． 9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为 ∴过（外，过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故 正确答案为（D） 例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为 ∴过（外，过（正确答案为（D））点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线 上移动，求 是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示） 消去y得 解得： 故的最大值为，最小值为 例11．求函数值． （其中a,b,c是正常数）的最小 分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图 设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则 其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即 故y的最小值为时成立． 例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程． 分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决． 解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为 故即由点在椭圆上可知有： 整理得：原点，焦点在y轴上 就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在的椭圆． 三解题训练 1．求下列方程实根的个数： （1） （2） （3） 2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 3．已知函数（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1) （C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的实根个数都是（）的图象如右图则（） 4．不等式的解集是（） （A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式 一定有解，则a的取值范围是（） （A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式： （1）（2） 7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量，则点C对应的复数是_______． 绕点A逆时针方向旋转至向量 8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 9．若复数z满足 10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两 定点的坐标是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲线与直线的交点个数是（）． （A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲线（） 与直线 有两个交点，则实数k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D） 满足，求实数b的取值范围． 14．函数的值域是（） （A）（B） （C）（D） 四、练习答案 1．（1）2个（2）63个（3）2个 提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数． 2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系． 3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形 f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故选（A）4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解） （1）x≤-1或0 可知b=-14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点 高考冲刺：数形结合 编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：辛文升 热点分析 高考动向 数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。 知识升华 数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。 选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面： （1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用； （2）数轴及直角坐标系的广泛应用； （3）函数图象的应用； （4）数学概念及数学表达式几何意义的应用； （5）解析几何、立体几何中的数形结合。 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应； （2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错； （3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变 量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。 3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径： （1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何； （2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解； （3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有： （1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆； （2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景； （3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜 率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予 以重视。 5．常见的把数作为手段的数形结合： 主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析 类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是 A． 解析：画出 由题设有，B．的示意图.，若，且，则 C． D． ∴，令，则 ∵ ∴，∴ 在，.上是增函数.∴ 举一反三： 【变式1】已知函数 .选C.在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。 解析：∵ ∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如图所示： （1） （2） （3） （1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即 ∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。 （2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即 。 ∴a―a+1=2，解得 2。 ∵0≤a≤1，∴不合题意。 （3）当a＞1时，如图（3）所示。 当x=1时，y有最大值，即 综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2 【变式2】已知函数 （Ⅰ）写出 （Ⅱ）设的单调区间；，求 在[0，a]上的最大值。 。∴a=2。 解析： 如图： （1）的单调增区间： ，；单调减区间：（1，2） 时。 （2）当a≤1时，当 当 【变式3】已知 () （1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：； （2）当]时，都 ，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。 解析： （1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx 当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0； 若a≠0，假设，∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，（这是不可能的） （2）当，时，∵，所以，（图1） （图2） (1)当 所以 即是方程，时（如图1），则的较小根，即 (2)当 所以 即是方程，时（如图2），则的较大根，即 （当且仅当 时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值 类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。 思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。 解析：画出 和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。 又由当曲线 与曲线 相切时，二者只有一个交点，设切点 又直线，则过切点，即，得，解得切点，∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。 误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。 总结升华： 1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。 2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。 3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三： 【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。 解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。 设（x∈－1，1） 如图：当内有1个实根。 或时，关于x的方程在（－1，1） 【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。 有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程 与直线 转化为三角函数的图象 有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。 设，在同一坐标中作出这两个函数的图象 由图可知，当 或 时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.∴.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。 类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答 3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________； 在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）； （二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）； （三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是 .举一反三： 2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。 （1）求的最大、最小值； （2）求的最大、最小值； （3）求x―2y的最大、最小值。 解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。 （1） 表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。 ∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。 （2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图： 将整理得kx―y+2―k=0。 ∴，解得，所以的最大值为，最小值为。 （3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。这时 ∴ 。，最小值为 。，∴x―2y的最大值为 【变式2】求函数 解析：的最小值。 则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和 如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴ 【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（） 2的取 A． B．或 C． D．或 解析：如图 由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则，即 下面利用线性规划的知识，则斜率 可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则，选C。 数形结合 定义：数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。 应用：大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。Ⅰ、再现题组： 1.设命题甲：0 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若loga2 B.0 C.a>b>1 D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212112B.－2 C.－1 D.2 4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 y35.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。 (90年全国)A.φ B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y＝x＋1 θθθ6.如果θ是第二象限的角，且满足cos2－sin2＝1sinθ,那么2是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7.已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3πA.(2,π) B.(4,4) C.(π, 2) D.(4,4) 5π8.若复数z的辐角为6，实部为－23，则z＝_____。 A.－23－2ｉ B.－23＋2ｉ C.－23＋23ｉ D.－23－23ｉ y229.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。 (90年全国理)133A.B.3C.2 D.10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。 【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组： 例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。2z1例2.设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。 pp例3.直线L的方程为：x＝－ 2(p>0),椭圆中心D(2＋2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ Ⅲ、巩固性题组： 1.已知5x＋12y＝60，则x2y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。 A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3 A.1 B.2 C.3 D.以上都不对 4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。 5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。6.设z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。 2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。 8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： x22x>b－x x2xa≤0的解集，试确定a、b10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组2x2bx5≤02的取值范围，使得AB。（90年高考副题） 11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。 12.已知函数y＝(x1)21＋(x5)29，求函数的最小值及此时x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。 14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。 数形结合谈数轴 一、阅读与思考 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小； 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈 1、利用数轴能形象地表示有理数； 例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（） A． B． C． D． 拓广训练： 1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（） （“祖冲之杯”邀请赛试题） A．1 B．2 C．3 D．43、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。 2、利用数轴能直观地解释相反数； 例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。 拓广训练： 1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则 2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 3、利用数轴比较有理数的大小； 例3：已知且，那么有理数的大小关系是 。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 1、若且，比较的大小，并用“”号连接。 例4：已知比较与4的大小 拓广训练： 1、已知，试讨论与3的大小 2、已知两数，如果比大，试判断与的大小 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 例5： 有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（） A． B． C． D． 拓广训练： 1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为。 2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是。 ① ② ③ ④ 3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是（） （湖北省初中数学竞赛选拨赛试题） A． B． C． D． 三、培优训练 1、已知是有理数，且，那以的值是（） A． B． C．或 D．或 0 A B C2、（07乐山）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（） A． B． C． D．不确定的5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（） A．在A、C点右边 B．在A、C点左边 C．在A、C点之间 D．以上均有可能 6、设，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题） A．没有最小值 B．只一个使取最小值 C．有限个（不止一个）使取最小值 D．有无穷多个使取最小值 7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是。 8、若，则使成立的的取值范围是。 9、是有理数，则的最小值是。 10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且求的值。 11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边。 综上，数轴上A、B两点之间的距离。 （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是； ②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是，如果，那么为； ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是； ④求的最小值。第二篇：高考数学总复习第三讲：数形结合
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