微专题13 椭圆、双曲线、抛物线
命
题
者
说
考
题
统
计
考
情
点
击
2018·全国卷Ⅰ·T8·直线与抛物线位置关系
2018·全国卷Ⅰ·T11·双曲线的几何性质
2018·全国卷Ⅱ·T5·双曲线的渐近线
2018·全国卷Ⅱ·T12·椭圆的离心率
2018·全国卷Ⅲ·T11·双曲线的离心率
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等。
考向一
圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】(1)(2018·衡水中学五调)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________。
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点。设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析(1)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|。所以|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5,2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5。
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3。因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1。故选C。
答案(1)－5(2)C
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式。
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
变|式|训|练
1．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()
A．1
B．
C．
D．
解析 在双曲线－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2。不妨设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，所以|PF1|＝＋，|PF2|＝－。又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1。故选A。
答案 A
2．(2018·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的倾斜角为()
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
解析 分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NC|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NC|＝|MN|，所以∠MNC＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°。故选B。
答案 B
考向二
圆锥曲线的几何性质
微考向1：圆锥曲线的简单几何性质
【例2】(1)已知双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：－y2＝－1，给出下列说法，其中错误的是()
A．它们的焦距相等
B．它们的焦点在同一个圆上
C．它们的渐近线方程相同
D．它们的离心率相等
(2)(2018·福州联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析(1)由题意知C2：y2－＝1，则两双曲线的焦距相等且2c＝2，焦点都在圆x2＋y2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点。渐近线方程都为y＝±x。由于实轴长度不同，故离心率e＝不同。故选D。
(2)由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x。故选A。
答案(1)D(2)A
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝
；在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝。
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x。注意离心率e与渐近线的斜率的关系。
变|式|训|练
1．已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点。若△OAB的面积为1，则p的值为()
A．1
B．
C．2
D．4
解析 双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为，|AB|＝2p，所以S△OAB＝·2p·＝＝1，因为p>0，解得p＝，故选B。
答案 B
2．(2018·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
解析 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝＝，所以双曲线的离心率为＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故选A。
答案 A
微考向2：离心率问题
【例3】(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()
A．
B．
C．
D．
解析
由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因为|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D。
答案 D
椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值。
变|式|训|练
1．(2018·广州调研)在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为()
A．
B．
C．1＋
D．2＋
解析 解法一：设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋。故选C。
解法二：依题意|OP|＝|OF′|＝c＝|PF|，又△OPF为正三角形，所以∠F′OP＝120°，所以|PF′|＝c，又|PF′|－|PF|＝2a＝c－c，所以e＝＝＝＋1。故选C。
答案 C
2．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()
A．
B．
C．
D．
解析 解法一：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为。故选A。
解法二：若求椭圆C的离心率的最大值，因为c＝1，e＝，所以只需求a的最小值。因为P在椭圆上，依定义得|PA|＋|PB|＝2a，而A(－1,0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3,2)，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝2，即2a≥2，所以a≥，所以emax＝＝。故选A。
答案 A
考向三
直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若∠AMB＝90°，则k＝________。
解析 解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝，取AB中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′。因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)。因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，即k＝2。
解法二：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1。由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2。
答案 2
将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法。
变|式|训|练
1．(2018·潍坊统考)已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则＋的值为()
A．－
B．－
C．
D．
解析 设A，B，易知y1y2≠0，则k1＝，k2＝，所以＋＝，将x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝。故选D。
答案 D
2．(2018·常德一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为()
A．±
B．±1
C．±
D．±
解析 由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)。由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝。又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，所以＋＝＋1＝5，所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，所以k＝±。故选C。
答案 C
1．(考向一)(2018·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()
A． B．
C． D．
解析
如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故选D。
答案 D
2．(考向一)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为()
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析 由y＝x，可得＝。①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程为－＝1。故选B。
答案 B
3．(考向二)(2018·贵阳摸底)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为()
A．
B．
C．
D．
解析 解法一：根据题意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝。又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1－e＝，e＝。故选A。
解法二：设∠PAF＝α，则cos∠PAQ＝cos2α＝，cos2α＝＝，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝，所以a(a＋c)＝2b2＝2(a2－c2)，2c2＋ac－a2＝0,2e2＋e－1＝0，解得e＝。故选A。
答案 A
4．(考向二)(2018·洛阳统考)过椭圆＋＝1上一点H作圆x2＋y2＝2的两条切线，A，B为切点。过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则△POQ(O为坐标原点)的面积的最小值为()
A．
B．
C．1
D．
解析 依题意，设H(3cosθ，2sinθ)(sinθcosθ≠0)，由题意知H，A，O，B四点共圆，故以OH为直径的圆的方程为x(x－3cosθ)＋y(y－2sinθ)＝0，即x2＋y2－3xcosθ－2ysinθ＝0，所以两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为3xcosθ＋2ysinθ－2＝0，所以P，Q，所以S△POQ＝××＝×≥×1＝。故选B。
答案 B
5．(考向三)(2018·郑州质检)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝()
A．
B．
C．
D．
解析 设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋。由y2＝4x得p＝2，因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，则y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，由根与系数的关系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝。过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝。又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝。故选D。
答案 D
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