-新课标人教A版选修4-5不等式选讲教学指导

第一篇：-新课标人教A版选修4-5不等式选讲教学指导

２００６年４月８日

在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言

吴公强

按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲 ４－２矩阵与变换 ４－４坐标系与参数方程 ４－５不等式选讲 四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨．

关于选修4-5专题：不等式选讲的教学研究

一、学习本课程已有的相关知识准备

（一）初中课标要求：不等式与不等式组

①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

（一）初中课标要求：不等式与不等式组

（二）高中必修

5不等式（约16课时）

（1）不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

（4）基本不等式：ababa，b02。

①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。

二、课程标准内容与要求

在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提

高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2.理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1）abab；

（2）abaccb；

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

axbc；

axbc；

xcxba。

3.认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。

（1）证明：柯西不等式向量形式：·。

2a（2）证明：

（3）证明： 2b2c2d2acbd。

x1x22y1y2

2x2x32y2y32 x1x32y1y32

（通常称作平面三角不等式）。

4.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：

n22ababiii·ii1。i1i

15.用向量递归方法讨论排序不等式。

6.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：

n1x1nx（x1，x0，n为大于1的正整数）。nn2

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

8.会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

9.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

三、教学建议

1.在本专题教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。

2.利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。

3.数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。

4.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用。（3）对不等式学习的感受、体会。

5、考试内容：

绝对值不等式．

不等式的基本证明方法：比较法、综合法、分析法．

6、考试要求：（１）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

ababa,bR；abaccba,bR．

（２）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式．

axbc

axbc

xcxba

（３）能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值，会用比较法、综合法，分析法证明简单的不等式．

四、参考例题

１、设0x2,求函数f(x),并求出相应的x的值。

２、已知x>1 , y>1 且xy10, 求 lg x lg y的最大值。

4．

第二篇：人教数学数学选修不等式选讲简介

人教数学（A版）培训手册之三十九──“不等式选讲”简介

人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的。根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用

一、内容与要求1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）证明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）证

明：

≥。4．用22222参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：5．用向量递归方法讨论排序不等式。6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

二、内容安排 本专题内容分成四讲，结构如下图所n

示：

本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．第一讲是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础．

本讲的第一部分类比等式的基本性质，从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．

绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题

对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。教科书引导学生探讨了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的问题，介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法． 比较法是证明不等式的最基本的方法，比较法可以分为两种，一种是相减比较法，它的依据是：

另一种是相除比较法，是把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系，它的依据是：当b＞0

时，在比较法的两种方法中，相减比较法又是最基本而重要的一种方法。在证明不等式的过程中，根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类，证明方法又可以分为分析法和综合法。在证明不等式时，可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件，从而证明不等式的方法就是分析法．证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发，即假设要证明的结论不成立，经过正确的推理，得出矛盾结果，从而说明假设错误，而要证的原不等式结论成立

在证明不等式的过程中，有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的，这就是所谓的放缩法． 教科书对以上方法都结合实例加以介绍。本讲内容对进一步

讨论不等式提供了思想方法的基础． 本讲的教学内容中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。第三讲是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它们的简单应用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用。在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式。接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明。教科书在讨论排

序不等式时，展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是数学课程标准正式引入到高中数学教学中。第四讲是“数学归纳法证明不等式”．本讲介绍了数学归纳法及其在证明不等式中的应用．对于某些不等式，必须借助于数学归纳法证明，所以在不等式选讲的专题中安排这个内容是很有必要的。教科书首先结合具体例子，提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题．然后，类比多米诺骨牌游戏，引入用数学归纳法证明命题的方法，并分析了数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题（两个步骤缺一不可）．接着举例说明数学归纳法在证明不等式中的应用，特别地，证明了贝努利不等式。本专题的教学重点：不等式基本性质、基本不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用； 教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式；

本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）第一讲 不等式和绝对值不等式

一、不等式约３课时

二、绝对值不等式约２课时第二讲 证明不等式的基本方法

一、比较法约1课时

二、综合法与分析法约2课时

三、反证法与放缩法约1课时

第三讲 柯西不等式与排序不等式一、二维形式的柯西不等式约1课时二、一般形式的柯西不等式约1课时

三、排序不等式约2课时

第四讲 数学归纳法证明不等式

一、数学归纳法约2课时

二、用数学归纳法证明不等式约2课时

学习总结报告约1课时

三、编写中考虑的几个问题

根据课程标准，本专题应该强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，我们在教科书的编写中努力去实现课程标准的思想。

(一)重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解

数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面，不等式则是从数量关系的角度来刻画现实世界的。我们一般借助于代数方法证明不等式。代数证明要经过一系列的变形，人们常常不能很直接地看出其中的数量关系。而借助于几何的方法，把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来，则往往能很好地指明不等关系，使学生从几何背景的角度，直观地，从而也是直接地理解不等式。本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教科书注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质。如对于是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量和三角形中的边长关系，柯西不等式是借助于向量运算，排序不等式是借助于三角形的面积。这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径

(二)重视数学思想方法的教学

数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会。

(三)重视引导学习方式和教学方式的改进

在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够。学生的问题意识不强，发现问题的能力不强，独立地解决问题的能力也不强。针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推广。例如，在讲述了基本不等式以后，教科书就提出了一个思考问题：“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在证明了关于三个正数的均值不等式以后，又直接给出了一般的均值不等式；在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见。

(四)注意发展数学应用意识

重要不等式在许多实际问题中可以得到应用，在实际工作中常常能起到节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本专题中，教科书注意体现数学在实际工作中的广泛应用，编写了一些体现数学应用的例、习题。如经典的等周问题、盒子体积问题、施工队临时生活区选点问题、关于面积和体积的最值问题。通过这些简单的应用问题，使学生体会数学在实践中的作用。

四、对教学的几个建议

(一)注意把握教学要求

无论是不等式还是数学归纳法，都已经发展成为内容非常丰富的初等数学分支，也出版了一些专门的论著，老师们对于这些内容一般都有丰富的教学经验，很容易把这些内容作一

些拓展和补充。所以，在这个专题的教学中，要特别注意把握好教学要求，不要随意提高教学要求，而应该按照数学课程标准的要求来控制教学的深广度。课程标准对于本专题的几个教学内容都明确的教学要求，如：对于解含有绝对值的不等式，只要求能解几种特殊类型的不等式，不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式。对于数学归纳法在证明不等式的要求也只要求会证明一些简单问题。只要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，会利用所学的不等式证明一些简单不等式，等等。

另外，在不等式和数学归纳法的许多问题中，常常需要一些技巧性比较强的恒等变形，在本专题的教学中则要控制这方面的教学要求，不要使教学陷于过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中，教学中不要补充一些代数恒等变形过于复杂或过于技巧化的问题和习题，以免冲淡对于基本思想方法的理解，也不要引入一些过于专业和形式化、抽象化的数学符号语言，对于数学归纳法的理解，不必要求学生对于方法的理解水平提高到专业数学工作者才需要的数学理论高度，而只需要通过一些学生容易理解的数学问题中加深对于方法的理解和掌握。对于大多数的学生来说，要重视通过比较简单的问题让学生认识、理解和掌握这部分的基本数学思想和方法。

当然，对于部分确有余力的学生，仍可以适当对于教学内容作一些拓展，如可以介绍一般的均值不等式的证明及其应用，以使学生对于这一重要不等式有一个比较完整的了解。

(二)要抓住教学重点

无论对于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，还是解含有绝对值的不等式，不等式证明的方法，或数学归纳法的教学，都要抓住教学重点，抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁。对于几个重要不等式，最基本的是二元(二维)的情况，核心的思想也是在二元(二维)的不等式中得到直接的体现；对于不等式的证明的最基本的方法是比较法；解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；让学生能对数学归纳法思想真正理解和掌握，就能使学生灵活地加以应用。这样，学生就能掌握本专题最基本也是最重要的知识。

第三篇：几何证明选讲教学指导 新课标 选修4-1

几何证明选讲教学指导

在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言

吴公强

按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲 ４－２矩阵与变换 ４－４坐标系与参数方程 ４－５不等式选讲 四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨．

关于选修4-1专题：几何证明选讲的教学研究

一、学习本课程已有的相关知识准备

（一）初中具体目标

1．图形的认识

(1)点、线、面

通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。

（2）角

①通过丰富的实例，进一步认识角。

②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。

③了解角平分线及其性质【1】角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。

（3）相交线与平行线 ①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④了解线段垂直平分线及其性质【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。

⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

（4）三角形

①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。

②探索并掌握三角形中位线的性质。

③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。和一个三角形是等腰三角形的条件【3】

[3]有两个角相等的三角形是等腰三角形。；了解等边三角形的概念并探索其性质。

⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质【4】直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。和一个三角形是直角三角形的条件【5】有两个角互余的三角形是直角三角形。

⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判

定直角三角形。

（5）四边形

①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。

②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

③探索并掌握平行四边形的有关性质【1】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。和四边形是平行四边形的条件【2】一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质【3】矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。和四边形是矩形、菱形、正方形的条件【4】三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑤探索并了解等腰梯形的有关性质【5】等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等。和四边形是等腰梯形的条件。【6】同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。

⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木重心）。

了解三角形的内心和外心。

⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

（6）圆

①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。

②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。

③了解三角形的内心和外心。

④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。

（7）尺规作图

①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。

②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。

③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。

（8）视图与投影

①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。

⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。

⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。

⑦通过实例了解中心投影和平行投影。2．图形与变换（1）图形的轴对称 ①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。

③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。

④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。

（2）图形的平移

①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

（3）图形的旋转

①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

②了解平行四边形、圆是中心对称图形。

③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

④欣赏旋转在现实生活中的应用。⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］ ⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。（4）图形的相似

①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。

③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。

④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。

⑥通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。

⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

3．图形与坐标

（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。［参见例4］

（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］

（3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］

（4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］

4．图形与证明

（1）了解证明的含义

①理解证明的必要性。

②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

④通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。⑤通过实例，体会反证法的含义。

⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。

（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据

①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。

③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等。

④全等三角形的对应边、对应角分别相等。

（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题

①平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。

②三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

③直角三角形全等的判定定理。

④角平分线性质定理及逆定理；

三角形的三条角平分线交于一点（内心）。⑤垂直平分线性质定理及逆定理； 三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。⑥三角形中位线定理。

⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。

⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。

《几何原本》全书共分１３卷，有５条公设、５个公理，１１９个定义和４６５ 个命题，构成历史上第一个数学公理体系。命题１。４７ 就是著名的“勾股定理”

（二）高中必选系列 2-2推理与证明具体目标

推理方法:（1）合情推理（归纳推理和类比推理）．

（2）演绎推理．

证明方法:直接证明与间接证明．数学归纳法．

（1）了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，做出数学猜想，体会并认识合理推理在数学发现中的作用．

（2）了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．掌握演绎推理的“三段论”，能进行一些简单的演绎推理．

（3）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法。了解综合法和分析法的思考过程和特点．能套用综合法或分析法的思考过程，证明一些简单的数学命题（证明步骤一般不超过五步）．

（4）了解反证法的思考过程和特点，能套用反证法的思考过程，证明一些简单的数学命题（证明步骤一般不超过四步）．

（5）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（不要求用数学归纳法证明不等式有关命题，以及平面图形中的有关命题）．

二、课程标准内容与要求

几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。

1.复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。

2.证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

3.证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。

5.通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：

定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记住β＝0），则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

6.利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。

7.试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）

8.探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。

三、教学建议

1、重视数学思维能力的培养

（1）一堂课能使学生有所领悟，就意味着有可能发展学生的数学空间。在本专题教学中要重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养。

（2）培养学生的几何直观能力。简单地讲：几何直观能力就是发现辅助线的能力。

（3）以问题解决为特征的思维，是普遍存在的形式。对问题解决者来说，问题的解决过程总是创造性的。而重现和亲历发现的过程，是学习、研究数学的高招，也是我们从事数学的高招。

（4）重视直觉的培养和训练，引用彭加勒的一个著名观点，那就是：“逻辑用于证明，直觉用于发现。”

（5）注意辩证思维的引导。以研究图形为主的几何证明专题，在对图形认识的时候应当引导学生还要建立背景的意识，当以一部分图形为主要观察对象时，其他部分就变成了背景，我们需要一道学生注意辩证地观察、分析问题。

如：

已知：在三角形ABC中，由顶点B出发的高BD、角平分线BF和中线BE，分∠ABC为4 等分，求∠ABC的大小。

Ｂ

Ａ ＤＣ

在解本题时，有两类刺激：一类是角；一类是线段。涉及到角的是：高、角的四等分线构成的角的大小等；涉及到线段的是：中线角平分线的性质等。学生在解题中，对这两类刺激并不是均等地接受的。多数学生都因为角的信息量大而把角作为“图形”，而把线当作背景。实际上，此处的“图形”处于未分化的模糊状态。不宜直接由此解证题目，那就需要将“图形”与“背景”加以转换加以求解。

2、对本专题的教学，都应力求深入浅出。在对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。

在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。

３、考试内容：

相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圆周角定理.、圆的切线的判定定理及性质定理.、相交弦定理.、圆内接四边形的性质定理与判定定理.、切割线定理.． ４、考试要求：

1． 理解相似三角形的定义与性质，了解平面截割定理．

掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理

第四篇：选修4-5----不等式选讲测试题

选修4-5不等式选讲测试题

一.选择题：

1.若a,b是任意的实数,且a>b,则()A．a2b2B．2.若

1a1b

0,则下列不等式中

b

1a1b

1C． lg(a-b)>0D．()()

22a

(1)abab

(2)|a|>|b|(3)a

ba



ab



2正确的个数是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为()

A． ,22,B． ,12,C． ,23,D．,32, 4.下列结论不正确的是()A．x,y为正数,则

xyyx

2B．

x2x

122

2C．lgxlogx102D．a0,则(1a)(1

1a)

45.如果a>0,且a1,Mloga(a31),Nloga(a21),那么()

A．M>NB．M0,则n+A．2

32n

2的最小值为()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,则x2y2的最小值为()A．

B．10C．1D．100

8.函数y=5x125x的最大值为()

A．108B．63C．10D．279.已知0a,b1，用反证法证明a(1b),b(1a)不能都大于A．a(1b),b(1a)都大于

时，反设正确的是()

14，B．a(1b),b(1a)都小于

C．a(1b),b(1a)都大于或等于D．a(1b),b(1a)都小于或等于

10.已知a,bR，且abA．ab

ab

0，则()

ab

B．ab

aabc

C．ab

ccda

ab

D．ab

ab

11.a,b,cR

，设

S

bbcd



ddab，则下列判断中正确的是()

A． 0S1B． 1S2C． 2S3D． 3S4

1111

312．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1时不等式左边()

A．增加了一项B．增加了两项、2k＋12k＋12k＋2

C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对

k＋1二．填空题：

13.已知2x3y6z12，求x2y2z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan3,则an=____________

15.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|b的解集为空集,则b的取值范围为16.设A



1



2



1，则A与1的大小关系是_____________

三．解答题：

17．（12分）（1）证明：a2b22(2ab)5(2)证明：538

18.（12分）用数学归纳法证明：1

1213

n



n22,nN,n2

19.（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式:a1

1a1

1,(a1a2)（1a1

1a2)4,(a1a2a3)（1a1



1a2



1a3)9,…

(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,...,an的不等式.(2)用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.21（22分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求异面直线PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直线AB与平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角MACB的余弦值；（5）求三棱锥PMAC的体积。

第五篇：数学选修4-5不等式选讲教案

选修4-5 不等式选讲

课 题：

不等式的基本性质

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0 abab0 abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nanb(nN，且n>1)。

课 题：

含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab（3）abab（4）

aba(b0)b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和

aba(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而b绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

cc例

4、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

课 题：

含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。例

5、已知xx，如果x0 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是，如{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a）图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab 2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR 强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么

ab）ab（当且仅当ab时取“=”证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab 22 注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] 2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc 指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么

abc3（当且仅当abc时取“=”）abc。证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式： ①．如果a1,a2,,anR,n1且nN 则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式： a1a2an≥na1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab③．ab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则CD2CACBab，ab从而CDab，而半径CDab。

2课 题：

不等式的证明方法之一：比较法

课 题：

不等式的证明方法之二：综合法与分析法 课 题： 不等式的证明方法之三：反证法

课 题：

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

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