几何不等式测试题

第一篇：几何不等式测试题

几何不等式测试题

1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。

证明：∠MDC≤45°。

2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧

R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。

3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。

证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。

4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，求证：表示六边形DGHEFI的面积。表示△ABC的面积。上异与N的任一点，PS交AB于

5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。

6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。

7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。求证：

成立。

8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0

9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP＜180°，求证：BN>CN。

参考答案

【同步达纲练习】

1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又

2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA

连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时（1）

同理

4．如图8。

（2）

由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。

设∽同理，三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有，（易知OE=CF），所以，从而

由

由柯西不等式

于是

5．设G到各边距离为

（r为内切圆半径），得

（艾尔多斯——莫德尔不等式）。故

即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

又

6．分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF为⊙A、⊙B外公切线，⊙P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m，则

化简得

由，即

知命题成立。

7．由外接圆心O向BC作垂线OD于D，则AH=2·OD，∠DOC=∠A，故

HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是，得

同理

而

∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)

故

。于是原不等式等价于的垂直平分线，8．如图，引进有关边长、对角线、角的记号，则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角

.于是u<2等价于证明：

下面证明更强的结论：，不妨设，则

且，同样可设，由圆的半径为1及正弦定理得

由于

故结论成立。

9．取BC中点M，只需证∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四点共圆。

如图，连结ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC

∴△MDE∽△MEP，从而ME=MD·MP=MC又∵RQ∥FP，∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ∴B、R、C、Q四点共圆。

RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC-MD=MD·MP-MD=MD·PD∴R、M、Q、P四点共圆。

即∠MRP+∠MQP=180°，当N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°时，N必在M右侧，故BN>CN。

连结ME。

第二篇：几何法证明不等式

几何法证明不等式

用解析法证明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

设一个正方形的边为C,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为A,另一条直角边为B,(B>A)A=B,刚好构成,若A不等于B时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(B-A)^2,经化简有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因为(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因为A不等与B,所以不取等号

可以在直角三角形内解决该问题

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明SINx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)

做出一个单位圆，以O为顶点，x轴为角的一条边

任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x

那个角另一条边与圆有一个交点

交点到x轴的距离就是SINx

因为点到直线，垂线段长度最小，所以SINx小于等于x，当且尽当x=0时，取等

已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;

能给出其他方法的就给分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一个是算术，一个是几何。人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)

我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

要的是数学法证明也就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下

【柯西不等式的证明】二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0，移项得AC≥B，欲证不等式已得证。

第三篇：几何证明测试题

第一章测试题

1.半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆周角度数为：2.⊙O半径为5，弦AB=8，CD=6，且AB∥CD，则AB、CD间的距离是.3.过⊙O内一点P，的最长弦是10，最短的弦是6，那么OP的长为____________.4.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长。

5.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，的度数和EF的度数． 求BE

7.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。求证：DC是⊙O的切线。

A

8.如图，⊙O与△ABC三边分别截于DE、FG、HM，且DE=FG=HM，若∠A=70°,求∠BOC度数.A

OF

9.如图，C为⊙O直径AB延长线上的点，CD切⊙O于D点，CE平分∠DCA，交AD于E

CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F．连

结AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线．（2）若∠ABD＝60°，问：AB与EF是否平行？E

11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：（l）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB

＝AC．

中点，12.如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BCDE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AC、AB的长.A

13.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF，（1）求证：AE是∠BAC的平分线，（2）若∠ABD=60°，AB是否与EF平行，为什么？

14.如图，梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，求证：（1）以AB为直径的圆与CD相切；（2）以CD为直径的圆与AB相切.A

B15．如图5，CD是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，BC＝3，BF＝AE∶

EF＝8∶3． 1，2

图5

求：(1)线段EF的长；(2)⊙O的直径的长．

第四篇：方程与不等式测试题

《方程与不等式》测试题

（时间60分钟，满分100分）

班级__________学号______姓名__________成绩________

一、选择题（本题有10个小题, 每小题3分, 满分30分 ,下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.）

1．不等式组x20

x30的解集是（）

A.x2B.x3C.2x3D.无解

2．解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（）

A．x3x3B． x≥2x≤2

图1x3x3C．D． x≥2x≤

23．若关于x的方程

A．3m1x0有增根，则m的值是（）x1x1B．2C．1D．－

1x22x34．分式的值为0，则x的取值为（）x1

A、x3B、x3C、x3或x1D、x3或x

15．一元二次方程x4x40的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

22B．有两个不相等的实数根D．没有实数根 6．用配方法解方程x6x20，下列配方正确的是（）

A．(x3)11

D．(x3)7

27．已知三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x6x80的解，则这个三角形2B．(x3)72C．(x3)9 2

2的周长是（）

A．11B．13C．11或13D．11和

3Y

8．若X2+2XY4=0，则X的值为（）

A．1B．0C．-1D．-2

xy3

9．二元一次方程组的解是：（）

2xy0

A． 

x1

B． y2x1x2x1

C．D． y2y1y2

10．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组

xy27A、

2x3y66xy27



3x2y100

xy27

B、

2x3y100xy27C、 D

3x2y66、二、填空题(本题有6个小题,每小题3分, 共18分)11．方程x14的解为

212．已知一元二次方程2x3x10的两根为x1、x2，则x1x213．方程4x2(k1)x10的一个根是2，那么k_____，另一根是 14．代数式

1x

2x的值不大于8的值，那么x的正整数解是

4215.已知关于x的方程xk2(x2)的根小于0，则k的取值范围是

16．某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则

平均每年增长的百分数是

三、解答题(本大题有4小题, 共52分，解答要求写出文字说明, 证明过程或计算步骤)17．解下列方程（每题6分，共12分）

（1）x2＋3＝3(x＋1)（2）

4

1x1x

18．（本题满分12分）某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

19．（本题满分14分）己知一元二次方程x2xm20有两个不相等的实数根x1，x2。（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数 m，使方程的两实数根互为倒数？如果存在，求出m的值；如果不

存在，请说明理由。

20．（本题满分14分）如图所示要建一个面积为150m的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)试讨论题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

第五篇：不等式、推理证明测试题

高三第五次月考数学（文）试题

命题人：王建设

一、选择题（每题5分）1.不等式

x

10的解集为（）2x

A.{x|1x2} B.{x|1x2} C.{x|x1或x2} D.{x|x1或x2}

2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3、下面几种推理是类比推理的是（）A..两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=1800

B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，2100

是偶数，所以2

能被2整除.4、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

②①

„

③

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）

A．6n2B．8n

2C．6n2D．8n2

5.两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（）

A．B．1C．2D．

32x2y

4

6.在约束条件xy1下，目标函数z3xy（）

x20

A.有最大值

3，最小值3B.有最大值

5，最小值3 C.有最大值5，最小值9D.有最大值3，最小值9 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是………………………………………（）A．10πB．11πC．12πD．13

238、在十进制中2004410010010210，那么

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.2004 9.如果a0且a1，Mloga(a31),Nloga(a21)，则（）

A.MNB.MN C.MND.M,N的大小与a值有关

10.已知正数a,b满足4ab30，则使得（）

1取得最小值的有序实数对(a,b)是ab

A.(5,10)B.(6,6)C.(7,2)D.(10,5)

11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为450，腰和上底均为

1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A．22B．

122

2C．D．12 22

12.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

R3B．

R3C．

R3D．

R3248248

112,q()x2，其中a2,xR，则p,q的大小关系为（）a22

A．

13.已知pa

A.pqB.pqCpq.D.pq 14.若实数x,y满足

1，则x22y2有（）22xy

A.最大值322B.最小值322C.最小值6D.最小值615.函数f(x)

x的最大值为（）x1

212A.B.C.D.1 522

16.若x1,x2是方程xax80的两相异实根，则有（）A.|x1|2,|x2|2B.|x1|3,|x2|

3C.|x1x2|

D.|x1||x2|17.在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A

．

B

．C．

4D

．

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

n1 ab，所以(a21)(b21)6

a2b28，∴(ab)2a22abb282ab8a2b216 12b的等比中项，且ab0，则18.若a是12b与

2|ab|的最大值为（）

|a|2|b|

A.25252

B.C.D.15452

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.19．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O20.设某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为4

．

21、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若

将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是14。

22、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同

一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则当ｎ＞４时，fn＝

（用含n的数学表达式表示）。

23、已知1xy1,1xy3，则3xy的取值范围是1,7 24.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于4R220

三、解答题：

25、（12分）求证：(1)6+7>22+5;(2)a2b23abab);

（3）若a,b,c均为实数，且ax2x

，by2y

，cz2z



求证：a，b，c中至少有一个大于0。

（8分）如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，00

AB

5，CDAD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积ACAE

27．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则 ＝BCBE

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD

－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的正确结论是（Ⅱ）证明你所得到的结论.A G

E

B

B HC

图

1图

2C

A 11

28.设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1,x2，且x11,0,x21,2.（1）求b,c满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条件的点（b,c）的区域；

（2）求证：10f(x2).答案：

25、证明：（2）∵a2b22ab,（1）要证原不等式成立，a23,只需证（+）2>（22+5）2，b23;即证242240。

将此三式相加得∵上式显然成立,2(a2b23)2ab,∴原不等式成立.∴a2b23abab).．(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ22

2而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2z＋）＋（z－2x＋

236

222222

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.26．解：S表面S圆台底面S圆台侧面S圆锥侧面

52(25)

21)

V

1(r12r1r2r22)hr2h

3V圆台V圆锥

31483

27．结论:

SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

＝ 或＝ 或＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD

－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵ ＝ ＝SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴ SΔBCDBE

A

A GC

B

B HC

图

1图

228、解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）

依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]

等价于f'（-1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0． 由此得b，c满足的约束条件（略）（4分）

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则2bx2=-x22-c，故 ．f(x2)x233bx223cx2-x23cx2（8

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故-43cf(x2)c． 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，（10分）所以10f(x2).232

1232