初中奥数题目_几何不等式

第一篇：初中奥数题目_几何不等式

九年级数学竞赛专题 几何不等式

一、选择题

1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b;B．2b < a + c;C．c – b > a;D．b< ac 2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）A．0°< ∠B < 64°;B．58°< ∠B < 64° C．58°< ∠B < 122°;D．64°< ∠B < 122°

3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）A．2 < c < 4;B．2 < c < 3;C．2 < c < 10;D．22< c < 10 4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）A．x > y > z;B．x = z > y C．x = z < y;D．x < y = z 5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b

二、解答题

1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

2．如图，已知△ABC，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。求证：∠AEB > ∠AEC。

6．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求证：AB + CF > AC + BE。

7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求证： BC + AD > AB + CD。

8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。求证：AE > DE。

答案

一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A答案c – a < b及已条条件a < b < c可推出a + b > c，a + c > b, b + c > a，因此可以组成三角形，B、C、D答案均可举出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B和C，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C，但不能组成三角形。2．因为AB > BC 所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°-58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C、D。

令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B。

3．若∠C是最大角，则∠C < 90°

所以c < a2b2，即c <；若∠B是最大角，则∠B < 90° 所以bac 所以9 < 1 + c 所以 c > 22 所以22 < c < 10

4．易证△ABD≌△ACEBD=EC，即x = z 又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2 所以BD > DE即x > y，所以x = z > y 选B

5．根据两边之和大于第三边和条件a≤b < c，b = 7，有以下情况：

a 2 3 4 5 6 7 b 7 7 7 7 7 7 c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A 2222-5∠2即∠3 < ∠4 所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略证：

过E作ED平行且等于BC，连结DF，DC（如图）所以BCDE是平行四边行

所以DC平行且等于BE，所以∠1=∠A 因为AB=AC，AE=FC 所以BE=AF=DC 所以△AEF≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD中，EF+DF > DE 所以2EF > BC即EF >

1∠BAC 21BC 21BC 2当E、F为AB、AC中点时，EF=所以EF≥1BC 2

4．略证：连结BE（如图）

因为BC > AB，BC > AC，易证△AOD≌△AOD，△COB≌△COD（SAS）所以AD=AD，CB= CB 在△CDE中，CE+DE > CD ① 在△ABE中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + DE + BE + CE > AB + CD 所以A D + BC > AB + CD 所以AD + BC > AB + CD

8．略证：由已知可得

2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC 在BD上截取DF=AC，连结AF、AD（如图）因为BD+DC=2AC，所以DC+BF=AC=AB，所以在△BAF中，AF> AB – BF = DC 在△BADC与△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF > CD，所以∠1 > ∠2 所以AE > DE

9．略证：延长BA到D使AD=AC，连结DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，连结DE、EP（如图）

易证△ADC是等边三角形，△DCE≌△ACP 所以AC=CD=AD，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60° 且DE=AP 所以△CEP是等边三角形 所以CP=EP 所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB

10．略证：这里只证明（1）

利用勾股定理可以证明

2b2c22ma''''''''''''''''12a] 2b2c2a2(bc)2a2a2bcbc∴m 242442ab2c2a2又m 242a-89-

第二篇：初中奥数题

初中奥数题

1.水果超市运来苹果2500千克，比运来的梨的2倍少250千克。这个超市运来梨多少千克？

2.A、B两地相距300千米，甲车从A地出发24千米后，乙车才从B地相向而行。已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行52千米，若甲车是上午8时出发，两车相遇 时是几时几分？

3.家店商场运来一批洗衣机和彩电，彩电的台数是洗衣机的3倍，现在每天平均售出10台洗衣机和15台彩电，洗衣机售完后，彩电还剩下120台没有售出，运来洗

衣机、彩电各多少台？

4.小民以每小时20千米的速度行使一。段路程后，立即沿原路以每小时30千的速度返回原出发地，这样往返一次的平均速度是多少？

5.粮店运来大米，面粉共3700千克，已知运来的面粉比大米的2倍多100千克，运来大米、面粉各多少千克?

6.一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，则剩余1只船，求有多少只船?

7.学校举办的美术展览中，有50幅水彩画、80画幅蜡笔画。蜡笔画比水彩画多几分之几?水彩画比蜡笔画少几分之几?

8.某校航空模型小组在飞机模型比赛中,第一架模型飞机比第二架模型飞机少飞行480米.已知第一架模型飞机的速度比第二架模型飞机的速度快1米/秒,两架模型

飞机在空中飞行的时间分别为12分和16分,这两架模型飞机各飞行了多少距离?

9.一条环形跑道长400米,甲每分钟行80米,乙每分钟行120米.甲乙两人同时同地通向出发,多少分钟后他们第一次相遇?若反向出发,多少时间后相遇?

10.甲乙两人同时从A,B两地出发,相向而行,3小时后两人在途中相遇已知A,B两地相距24千米,甲乙两人的行进速度之比是2:3.问甲乙两人每小时各行多少千米.11.已知甲,乙两地相距290千米,现有一汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地,出发30分钟后,另有一辆摩托车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地.问摩托

车出发后几小时与汽车相遇?

12.小东到水果店买了3千克的苹果和2千克的梨共付15元，1千克苹果比1千克梨贵0.5元，苹果和梨每千克各多少元？

13.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时行50千米，乙每小时行40千米，甲比乙早1小时到达中点。甲几小时到达中点？

14.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇。如果甲从A地，乙从B地同时出发，同向而行，那么4小时后甲追上乙。已知甲速度是15千米/时，求乙的速度。

15.一个三角形的底边长4.3厘米，面积是17.2厘米。它的高是多少厘米？

16.去年小明比他爸爸小28岁，今年爸爸的年龄是小明的8倍。小明今年多少岁？

17.果园里梨树和桃树共有365棵，桃树的棵树比梨树的2倍多5棵。果园里梨树和桃树各有多少棵？

18.一辆汽车第一天行了3小时，第二天行了5小时，第一天比第二天少行90千米。平均每小时行多少千米？

19.甲、乙两地相距1000米，小华从甲地、小明从乙地同时相向而行，小华每分钟走80米，小明每分钟走45米。两人几分相遇？

20.两地间的路程是210千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3.5小时相遇，甲车每小时行28千米。乙车每小时行多少千米？

21.甲、乙两地相距189千米，一列快车从甲地开往乙地每小时行72千米，一列慢车从乙地去甲地每小时行54千米。若两车同时发车，几小时后两车相距31.5千米？

22.一个筑路队要筑1680米长的路。已经筑了15天，平均每天筑60米。其余的12天筑完，平均每天筑多少米？

23.学校买来6张桌子和12把椅子，共付215.40元，每把椅子7.5元。每张桌子多少元？

24.菜场运来萝卜25筐，黄瓜32筐，共重1870千克。已知每筐萝卜重30千克，黄瓜每筐重多少千克？

25.用两段布做相同的套装，第一段布长75米，第二段长100米，第一段布比第二段布少做10套。每套服装用布多少米？

26.红光农具厂五月份生产农具600件，比四月份多生产25％，四月份生产农具多少件？

27.红星纺织厂有女职工174人，比男职工人数的3倍少6人，全厂共有职工多少人？

28.蓓蕾小学三年级有学生86人，比二年级学生人数的2倍少4人，二年级有学生多少人？

29.某校有男生630人，男、女生人数的比是7∶8，这个学校女生有多少人？

30.张华看一本故事书，第一天看了全书的15％少4页，这时已看的页数与剩下页数的比是1∶7。这本故事书共有多少页？

31.一个书架有两层，上层放书的本数是下层的3倍；如果把上层的书取30本放到下层，那么两层书的本数正好相等。原来两层书架上各有书多少本？

32.第一层书架放有89本书，比第二层少放了16本，第三层书架上放有的书是一、二两层和的1.5倍，第三层放有多少本书？

艺书的本数与其他两种书的本数的比是1∶5，工具书和文艺书共有180本。图书箱里共有图书多少本？

33.有甲、乙两个同学，甲同学积蓄了27元钱，两人各为灾区人民捐款15元后，甲、乙两个同学剩下的钱的数量比是3∶4，乙同学原来有积蓄多少元？

34.小红和小芳都积攒了一些零用钱。她们所攒钱的比是5∶3，在“支援灾区”捐款活动中小红捐26元，小芳捐10元，这时她们剩下的钱数相等。小红原来有多少

钱？ 35.学校买回315棵树苗，计划按3∶4分给中、高年级种植，高年级比中年级多植树多少棵？

36.三、四、五年级共植树180棵，三、四、五年级植树的棵树比是3∶5∶7。那么三个年级各植树多少棵？

37.学校计划把植树任务按5∶3分给六年级和其它年级。结果六年级植树的棵数占全校的75％，比计划多栽了20棵。学校原计划栽树多少棵？

38.一杯80克的盐水中，有盐4克，现在要使这杯盐水中盐与水的比变为1∶9，需加多少克盐或蒸发多少克水？

39.水果店运来苹果和梨共540千克，苹果和梨重量的比是12∶15。运来梨多少千克？

40.水果店运来橘子300千克，运来的葡萄比橘子多50千克，运来苹果的重量是葡萄的2倍，苹果比橘子多运来多少千克？

41.把960千克的饲料按7∶5分给甲、乙两个养鸡专业户。甲专业户比乙专业户多分得饲料多少千克？

42.甲、乙两个仓库原存放的稻谷相等。现在甲仓运出稻谷14吨，乙仓运出稻谷26吨，这时甲仓剩下的稻谷比乙仓剩下的稻谷多40％。甲、乙两个仓库原来各存放

稻谷多少吨？

43.学校操场是一个长方形，周长是280米，长、宽的比是4∶3，这个操场的长、宽各是多少米？

44.碧波幼儿园内有一块巧而美的长方形花坛，周长是64米，长与宽的比是5∶3，这块花坛占地多少平方米？

45.在一幅比例尺是 的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？

46.某玩具厂生产一批儿童玩具，原计划每天生产120件，75天完成。为了迎接“六一”儿童节，实际只用60天就完成了任务。实际每天生产玩具多少件？

47.甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅,甲可以生产1800张桌子，乙可以生产1500个椅子一共可生产1500套课桌椅。现在两厂联合生产，经过合理安 排，尽量发挥各自特长。现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？

48.建筑工地要运122吨水泥，用一辆载重4吨的汽车运了18次后，余下的用一辆载重2.5吨的汽车运，还要运多少次？

49.空调机厂四月份生产空调机1800台，五月份比四月份增产10％。

四、五月份共生产空调机多少台？

50.师徒两人合作生产一批零件，师傅每小时生产40个，徒弟每小时生产30个，如完成任务时徒弟正好生产了450个，这批零件共几个？

51.甲每小时加工48个零件，乙每小时加工 36个零件，两人共同工作 8小时后，检验出64个废品。两人平均每小时共加工多少个合格的零件？

弟生产了540个，这批零件有多少个？

52.某化肥厂第一季度平均每月生产化肥2.4万吨，前两个月生产化肥的总量比三月份多0.8万吨，三月份生产化肥多少万吨？

这批水泥共有多少吨？

53.红星乡今年收玉米3600吨，比去年增产二成，去年收玉米多少吨？

54.买6个排球和8个篮球共用去249.6元。已知排球的单价是15.6元。篮球的单价是多少元？的和没修的就同样多。这段公路长多少米？

55.筑路队第一天筑路55米，第二天筑的路是第一天的3倍，第三天筑的比前两天的总数少30米，第三天筑路多少米？

4700米没有铺。这条公路全长多少米？

56.工程队铺运动场，4天铺了200平方米。照这样的进度，32天铺好了运动场，求这运动场的面积。

57.时新手表厂原计划每天生产75块手表，12天完成任务。实际比计划每天多生产15块，实际多少天完成任务？

第三篇：小学生奥数题目四

地不耕种，再肥沃也长不出果实；人不学习，再聪明也目不识丁.—— 西塞罗

联系电话：62164116

1.用12根火柴，摆四个大小一样的正方形，怎么摆？

【答案】

2.如右图所示，用火柴棒摆了五个三角形.(1)拿掉哪三根，就可以变成一个三角形?(2)拿掉哪两根，就可变成两个三角形?(3)拿掉哪一根，就可变成三个三角形?

【答案】

3.下面是用火柴棒摆成的小猪图形.请你移动一根火柴棒，使小猪的头朝向相反的方向.【答案】方法如下图：

4、下图是一只头朝前的牛。只许移动2根火柴棍，让它回头。你行吗? 学而思教育

07年秋季

一年级

实验班

第十四讲

答案

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地不耕种，再肥沃也长不出果实；人不学习，再聪明也目不识丁.—— 西塞罗

联系电话：62164116

【答案】

5.用火柴棒摆成头朝上的龙虾，移动三根火柴，使它头朝下.方法：

【答案】如右上图：

学而思教育

07年秋季

一年级

实验班

第十四讲

答案

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第四篇：几何不等式测试题

几何不等式测试题

1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。

证明：∠MDC≤45°。

2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧

R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。

3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。

证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。

4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，求证：表示六边形DGHEFI的面积。表示△ABC的面积。上异与N的任一点，PS交AB于

5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。

6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。

7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。求证：

成立。

8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0

9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP＜180°，求证：BN>CN。

参考答案

【同步达纲练习】

1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又

2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA

连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时（1）

同理

4．如图8。

（2）

由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。

设∽同理，三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有，（易知OE=CF），所以，从而

由

由柯西不等式

于是

5．设G到各边距离为

（r为内切圆半径），得

（艾尔多斯——莫德尔不等式）。故

即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

又

6．分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF为⊙A、⊙B外公切线，⊙P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m，则

化简得

由，即

知命题成立。

7．由外接圆心O向BC作垂线OD于D，则AH=2·OD，∠DOC=∠A，故

HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是，得

同理

而

∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)

故

。于是原不等式等价于的垂直平分线，8．如图，引进有关边长、对角线、角的记号，则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角

.于是u<2等价于证明：

下面证明更强的结论：，不妨设，则

且，同样可设，由圆的半径为1及正弦定理得

由于

故结论成立。

9．取BC中点M，只需证∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四点共圆。

如图，连结ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC

∴△MDE∽△MEP，从而ME=MD·MP=MC又∵RQ∥FP，∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ∴B、R、C、Q四点共圆。

RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC-MD=MD·MP-MD=MD·PD∴R、M、Q、P四点共圆。

即∠MRP+∠MQP=180°，当N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°时，N必在M右侧，故BN>CN。

连结ME。

第五篇：小学六年级奥数教案几何类

小学六年级奥数教案：图形面积

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把

这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4= 16(格);右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5= 15(格).上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2= 10(格);右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明，这两个三角

形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3= 15(格);右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积

用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：

三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?

解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形 ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面积= 8× 4÷2=16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 16÷4=4.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是

FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是

20×12÷2=120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?

解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此

面积=4×10÷2= 20.对三角形 ADC来说，DC是底边，高是 8，因此

面积=7×8÷2=28.四边形 ABCD面积= 20+ 28= 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积

三角形 ABE面积=3×6×2= 9.三角形 BCF面积= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面积=2×(6-3)÷2= 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

三角形 BEF面积=6×6-9-12-3=12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD(阴影部分)的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2=7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2=3.5.因为 BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是

3.5×4=14.长方形 ABCD面积=7×(8+2)=70.四边形 ABMD面积=70-7-14= 49.二、有关正方形的问题

先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度)，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图(a).四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图(b).一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图(a)知，它的面积是

直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图(b)知，它的面积是

斜边的平方÷4

例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32.这一个图形的面积是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少?

解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2=4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1.阴影部分的总面积是 4+1=5.例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7，BC=3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗?图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对)，每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?

解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-11=4

是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此

中间小正方形边长=11-4×2=3.中间小正方形面积=3×3= 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地(见图)，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道

长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?

如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个

大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的 长+宽=8(米).因此 长=(8+1)÷2= 4.5(米).宽=8-4.5=3.5(米).那么划出的长方形面积是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG(阴影部分)的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长)，因此

三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有

阴影部分面积=三角形ECG面积

=小正方形面积的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积

这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图)，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此

三角形AEF面积=(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?

解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上(如前页右图)，草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小，因此

草地面积=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于

梯形 ABCD面积=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面积=(4+4)× 3÷2=12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF= FE= EC=3，所以 AGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.因为CB=BD=4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积

= 2×2×(三角形 GBC面积)+2×(三角形 GCE面积).三角形ABC面积

=(三角形 GBC面积)+3×(三角形GCE面积).四边形BCEG面积

=(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求图形面积=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)

=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少?

解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此

(三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)

=(长方形面积)+(阴影部分面积).三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽;三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有

阴影部分面积=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时?

答案：1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？

解：设男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28