小学奥数之几何五大定理(五六年级使用)

第一篇：小学奥数之几何五大定理(五六年级使用)

小学奥数之几何五大定理 1：共高定理——这是最基本最重要最常用最简单的定理，要求熟练掌握，牢固记忆

S1a或者S1:S2a:b S2b（共高三角形面积比等于底的比。）

2：鸟头定理——鸟头定理又叫共角定理，是由共高定理推出来的。

如图在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点则证明：连DC，根据共高定理，则所以

SADEADAEADAESABCABACABAC。

SSADEAEAD，ADC SADCACSABCABSADESADCSADEADAEADAE。SADCSABCSABCABACABAC

3：沙漏定理（相似里的平行线截线段）

4：蝴蝶定理——这个也是由共高定理推出来的

S1S4OD S2S3OB也可以用外项之积等于内项之积来写：S1S3S2S4。

用文字叙述为：梯形的对角线将梯形分成四个三角形，腰上两个三角形面积的乘积等于上、下底两个三角形面积之乘积。

S1×S3=S2×S4。5:燕尾定理

由共高定理得，所以，SABFAF,SBCFCFSADFAF,SDCFCFSBCFBC.SDCFDCSABFAFSADF=,SBCFCFSDCFSABFSBCFBC.SADFSDCFDC

这里的最后一行就是燕尾定理，整个过程是燕尾定理怎么用共高定理推出来。

第二篇：小学奥数学习方法五大窍门

小学奥数学习方法五大窍门

学习小窍门一：记笔记

这方法其实很普遍也很简单，但恰恰是很多同学不容易做到的，记笔记有很多好处，一是可以把老师的精华记录下来方便复习，二是练习学生的书写能力，三是可以让学生养成边听边写的学习能力，这对于提高学习效率是非常有效的。

学习小窍门二：错题本

很多孩子都马虎，但有些马虎其实是同学对知识点理解不清晰造成的，这类的题目一定要记录下来。还有的是出题者故意设计的陷阱，这也可以记录下来，定时复习，久了之后很多马虎自然而然地就避免了。

学习小窍门三：学习小组

定期地和小组成员分享好试题，好方法，好技巧，好经验，即可以增加同学之间的情感，又可以在交朋友的过程学习到新的东西，提高学习效率，培养合作精神，增强协调能力。

学习小窍门四：题目分类本

和错题本一样，专门记录自己做过的试题，分类指的是将自己做过的试题分为几大类，一类是极其简单，自己一看就会的。一类是有一定难度，需要思考找到突破口的，还有一类就是难度很大，需要综合运用很多知识并进行推理才能解答的，后两类都应该是我们的记录重点。在对试题分类的过程中同学自然地就增强了对试题的进一步理解。

学习小窍门五：旧题新解

不定时的翻翻原来做过的试题，但是重点是思考有没有新的解题思路和解题技巧。这样不断地增加思考有利于形成学生思考习惯的形成，也有利于学生发散思维的形成，多角度考察问题的思路，并随时利用新学知识去解决问题。

第三篇：小学六年级奥数教案几何类

小学六年级奥数教案：图形面积

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把

这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4= 16(格);右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5= 15(格).上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2= 10(格);右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明，这两个三角

形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3= 15(格);右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积

用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：

三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?

解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形 ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面积= 8× 4÷2=16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 16÷4=4.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是

FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是

20×12÷2=120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?

解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此

面积=4×10÷2= 20.对三角形 ADC来说，DC是底边，高是 8，因此

面积=7×8÷2=28.四边形 ABCD面积= 20+ 28= 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积

三角形 ABE面积=3×6×2= 9.三角形 BCF面积= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面积=2×(6-3)÷2= 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

三角形 BEF面积=6×6-9-12-3=12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD(阴影部分)的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2=7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2=3.5.因为 BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是

3.5×4=14.长方形 ABCD面积=7×(8+2)=70.四边形 ABMD面积=70-7-14= 49.二、有关正方形的问题

先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度)，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图(a).四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图(b).一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图(a)知，它的面积是

直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图(b)知，它的面积是

斜边的平方÷4

例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32.这一个图形的面积是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少?

解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2=4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1.阴影部分的总面积是 4+1=5.例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7，BC=3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗?图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对)，每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?

解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-11=4

是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此

中间小正方形边长=11-4×2=3.中间小正方形面积=3×3= 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地(见图)，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道

长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?

如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个

大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的 长+宽=8(米).因此 长=(8+1)÷2= 4.5(米).宽=8-4.5=3.5(米).那么划出的长方形面积是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG(阴影部分)的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长)，因此

三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有

阴影部分面积=三角形ECG面积

=小正方形面积的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积

这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图)，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此

三角形AEF面积=(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?

解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上(如前页右图)，草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小，因此

草地面积=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于

梯形 ABCD面积=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面积=(4+4)× 3÷2=12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF= FE= EC=3，所以 AGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.因为CB=BD=4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积

= 2×2×(三角形 GBC面积)+2×(三角形 GCE面积).三角形ABC面积

=(三角形 GBC面积)+3×(三角形GCE面积).四边形BCEG面积

=(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求图形面积=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)

=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少?

解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此

(三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)

=(长方形面积)+(阴影部分面积).三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽;三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有

阴影部分面积=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时?

答案：1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？

解：设男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28

第四篇：奥数平面几何几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有

D F P C A ADBE

DBECCF1． FAB E ADSADPSADC证明：运用面积比可得DBS． SBDPBDC根据等比定理有

SADPSADCSADCSADPSAPCSBDPSBDCSBDCSBDPSBPC，ADSAPCBESAPBCFSBPC所以DBS．同理可得，． ECSAPCFASAPBBPCADBECF1． 三式相乘得DBECFA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，ADBECF1，那么直且D、E、F均不是ABC的顶点，若

DBECFA线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

AD/BECF1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都

因为

DBECFADBDB在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、B E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

D E C G A F

ADBE

DBECCF1． FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

CGCF因为CG // AB，所以 ————（1）ADFACGEC因为CG // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF1．由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ACADBECF1，的延长线上有一点F，若

DBECFA

那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

AD/BECF1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都因为

DBECFADBDB

在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其证明

定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM．

因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得

D E A M B C ADDE，即ADBCACDE ————（1）ACBC由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得

ABBE

，即ABCDACCDAC ————（B2）

由（1）+（2）得

BC

ADABCDACDEACBE ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．构造有特点，不容易想到，要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明

定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．

证法1（同一法）：

在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 ADAC

———（2）

则由DAECAB及（2）可得DAE∽

E D C CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由EBADCA，得DBADCA，这说明A、B、C、D四点共圆．

证法2（构造转移法）

延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C共线，则命题获证）

那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆． A/B/

因此，ABA/DB/C/，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //ABADBCCD////

可得 ABBC.BDA/C/

另一方面，AC/A/DACAD//AC，即． CDCDABA/DBCC/DACA/D

欲证=，即证

CDBDABCDA/DBCCDC/DACBDA/D

//

即 BCCDCD(ACBDABCD)AD．

据条件有 ACBDABCDADBC，所以需证

BCCDC/DADBCA/D，//CDCDADAD，这是显然的．所以，即证A/B/B/C//ACA/、B/、C/共线．所以A/B/B与BB/C/，即

////互补．由于ABBDAB，BBCDCB，所以DAB与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明

定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB且

————（2）ADAC则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其证明

定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其

延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．

证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．

B F A D C E P 因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．

因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．

所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．

所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．

由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．

注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．

（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．

五、欧拉定理

9．欧拉定理及其证明

定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足OH3OG．

BOHADEC

证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则

OHOAAH ——— ①

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

从而得AHDC．而DC2OE，所以AH2OE．

1因为OE2OBOC，所以AHOBOC ——— ②

由①②得：OHOAOBOC ———— ③ 另一方面，OGOAAGOA2GFOAGBGC．

GCGOOC，所以 而GBGOOB，

1OGOA2GOOCOBOGOAOBOC 3—— ④

由③④得：OH3OG．结论得证．

注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；

（2）此题也可用纯几何法给予证明． 又证（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽

BEOG ADHCEOG/．所以

AHAG/HG/2//． OEGEGO1AG/2由/，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即GE1G/与点G重合．

所以，G、O、H三点共线，且满足OH3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其证明

定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM = MQ．

证明：过点M作直线AB的垂线l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/，交线段AB于点Q/．连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．据圆的性质和图形的对称性可知：

MFQ =MFP，FQM =FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因为C、D、F/、F四点共圆，所以

CDF +CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以

CDF =QPF，即MDF =QPF． /

/

/

/又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有

MDF =MQF． /

//这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM． 因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．这说明点Q与点Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CFx轴上的截距互为相反数．

证：以AB所在直线为x轴，段AB的垂直平分线为y轴建立直坐标系，M点是坐标原点．

设直线DE、CF的方程分别为

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直线CD、EF的方程分别为

y = k1 x，y = k2 x ．

则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为

(y –k1 x)(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy

–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0． 由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须

+ k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在线角

若=0，则k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故≠0； 又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有(n1 + n2)= 0，从而得n1 + n2 = 0．

这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ．

注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．

另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

第五篇：初中奥数题目_几何不等式

九年级数学竞赛专题 几何不等式

一、选择题

1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b;B．2b < a + c;C．c – b > a;D．b< ac 2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）A．0°< ∠B < 64°;B．58°< ∠B < 64° C．58°< ∠B < 122°;D．64°< ∠B < 122°

3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）A．2 < c < 4;B．2 < c < 3;C．2 < c < 10;D．22< c < 10 4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）A．x > y > z;B．x = z > y C．x = z < y;D．x < y = z 5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b

二、解答题

1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

2．如图，已知△ABC，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。求证：∠AEB > ∠AEC。

6．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求证：AB + CF > AC + BE。

7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求证： BC + AD > AB + CD。

8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。求证：AE > DE。

答案

一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A答案c – a < b及已条条件a < b < c可推出a + b > c，a + c > b, b + c > a，因此可以组成三角形，B、C、D答案均可举出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B和C，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C，但不能组成三角形。2．因为AB > BC 所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°-58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C、D。

令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B。

3．若∠C是最大角，则∠C < 90°

所以c < a2b2，即c <；若∠B是最大角，则∠B < 90° 所以bac 所以9 < 1 + c 所以 c > 22 所以22 < c < 10

4．易证△ABD≌△ACEBD=EC，即x = z 又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2 所以BD > DE即x > y，所以x = z > y 选B

5．根据两边之和大于第三边和条件a≤b < c，b = 7，有以下情况：

a 2 3 4 5 6 7 b 7 7 7 7 7 7 c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A 2222-5∠2即∠3 < ∠4 所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略证：

过E作ED平行且等于BC，连结DF，DC（如图）所以BCDE是平行四边行

所以DC平行且等于BE，所以∠1=∠A 因为AB=AC，AE=FC 所以BE=AF=DC 所以△AEF≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD中，EF+DF > DE 所以2EF > BC即EF >

1∠BAC 21BC 21BC 2当E、F为AB、AC中点时，EF=所以EF≥1BC 2

4．略证：连结BE（如图）

因为BC > AB，BC > AC，易证△AOD≌△AOD，△COB≌△COD（SAS）所以AD=AD，CB= CB 在△CDE中，CE+DE > CD ① 在△ABE中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + DE + BE + CE > AB + CD 所以A D + BC > AB + CD 所以AD + BC > AB + CD

8．略证：由已知可得

2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC 在BD上截取DF=AC，连结AF、AD（如图）因为BD+DC=2AC，所以DC+BF=AC=AB，所以在△BAF中，AF> AB – BF = DC 在△BADC与△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF > CD，所以∠1 > ∠2 所以AE > DE

9．略证：延长BA到D使AD=AC，连结DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，连结DE、EP（如图）

易证△ADC是等边三角形，△DCE≌△ACP 所以AC=CD=AD，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60° 且DE=AP 所以△CEP是等边三角形 所以CP=EP 所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB

10．略证：这里只证明（1）

利用勾股定理可以证明

2b2c22ma''''''''''''''''12a] 2b2c2a2(bc)2a2a2bcbc∴m 242442ab2c2a2又m 242a-89-